TD n 1. Les réels 1 Borne inférieure et supérieure 2 Axiomatique de R

Université Pierre & Marie Curie L3 de Mathématiques
LM 360 (Topologie et Calcul différentiel) Automne 2011
TD n◦1. Les réels
1 Borne inférieure et supérieure
Exercice 1.
a) Soit ∅#=A⊂Rune partie bornée. Montrer que sup(a1,a2)∈A2|a2−a1|= sup A−inf A.
b) Soient ∅#=A, B ⊂Rdeux parties bornées. On note A+B={a+b:(a, b)∈A×B}. Montrer
que A+Best bornée, puis que inf(A+B) = inf A+ inf Bet sup(A+B) = sup A+ sup B.
Exercice 2 (droite numérique achevée).On ordonne R=R∪{±∞}par : (∀x∈R)(−∞ <x<+∞).
a) Montrer que toute partie non-vide de Ra une borne supérieure et une borne inférieure.
b) Montrer que toute suite monotone (i.e., croissante ou décroissante) de Rconverge dans R.
c) Montrer que l’on ne peut pas étendre la multiplication à Rde façon continue.
Exercice 3 (lim inf et lim sup).Soit (an)n∈N∈Rune suite de réels. On définit pour n∈N:
in= inf{ak:k≥n},s
n= sup{ak:k≥n}
Ceci définit deux suites (in)n∈Net (sn)n∈Nde R(voir Exercice 2).
a) Montrer que (in)est croissante, que (sn)est décroissante, et que pour tout n∈N,in≤an≤sn.
b) En déduire que (in)et (sn)convergent vers deux éléments de Rnotés respectivement lim inf an
et lim sup an, et que l’on a lim inf an≤lim sup an.
c) On suppose que (an)converge dans Rvers une limite !. Montrer que (in)et (sn)tendent vers !
(en d’autres termes, montrer que lim inf an= lim sup an= lim an).
d) Montrer la réciproque : si lim inf an= lim sup an=!, alors (an)converge (dans R) vers !.
Exercice 4 (parties convexes de R).Un sous-ensemble Ade Rest dit convexe si :
(∀(a1,a
2)∈A2)(∀x∈R)(a1≤x≤a2⇒x∈A)
a) Montrer que tout intervalle est convexe.
On démontre à présent la réciproque. Soit Aun sous-ensemble convexe de R. On suppose A#=∅.
b) On suppose Aborné, et que inf Aet sup Asont dans A. Montrer que A= [inf A, sup A].
c) On suppose Aborné, et que ni inf Ani sup An’est dans A. Montrer que A=] inf A, sup A[.
d) On suppose Ani majoré ni minoré. Montrer que A=R.
e) Écrire un plan couvrant tous les cas, et se convaincre que du résultat.
Les parties convexes de Rsont donc exactement les intervalles.
2 Axiomatique de R
Exercice 5 (autour de l’axiome d’Archimède).Montrer que les propriétés suivantes de Rsont équi-
valentes (démontrer qu’elles s’impliquent mutuellement sans dire “elles sont toutes vraies”) :
–(∀x∈R)(∃n∈N)(x<n);
–(∀x∈R>0)(∃n∈N>0)( 1
n<x);
–(∀x∈R>0)(∀y∈R≥0)(∃n∈N)(nx ≥y);
–Qest dense dans R:(∀x∈R)(∀y∈R)((x<y)⇒(∃q∈Q)(x<q<y)).
On dit que Rest archimédien.
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Remarque (corps non-archimédiens).Voici deux façons d’obtenir un corps non-archimédien :
– par l’algèbre, ordonner le corps des fractions rationnelles R(X)en posant Xincommensurable à 1;
– par la logique, introduire des infinitésimaux dans une extension de R.
Exercice 6 (partie entière).Grâce à l’archimédianité de R, la fonction suivante a un sens. À x∈R,
on associe le plus petit n∈Ztel que n≤x<n+1. On note E(x)=n(partie entière de x).
a) Tracer le graphe de la partie entière.
b) Montrer que Eest une fonction croissante.
c) Montrer que Eest sur-additive : E(x+y)≥E(x)+E(y).
d) Montrer que si n∈N>0, alors E(E(nx)
n)=E(x).
Exercice 7 (Qn’est pas complet).Montrer que Qn’est pas complet, par exemple avec la série !1
n!.
Exercice 8 (Rest complet).Montrer que Rest complet.
Exercice 9. Montrer que les propriétés suivantes de Rsont équivalentes (démontrer qu’elles s’im-
pliquent mutuellement sans dire “elles sont vraies”) :
–Rsatisfait le principe de la borne supérieure ;
–Rsatisfait le principe de la borne inférieure ;
– si (an)est une suite croissante, (bn)une suite décroissante, et que pour tout n∈N,an≤bn, alors
il existe c∈Rtel que pour tout n∈N:an≤c≤bn;
–Rest archimédien et complet.
3 Pour aller plus loin
Exercice 10. On ordonne R2par l’ordre lexicographique (celui du dictionnaire). Montrer qu’il n’existe
pas d’application croissante de R2dans R.
Exercice 11 (unicité de R).Montrer que Rest l’unique corps totalement ordonné satisfaisant le
principe de la borne supérieure : on montrera que si Ken est un autre, il existe un unique isomorphisme
de corps ordonné (isomorphisme de corps qui est croissant) entre Ket R.
Exercice 12 (construction de Dedekind).Cet exercice propose une construction alternative de Rà
partir de Q. Une coupure de Qest un sous-ensemble A⊆Qayant les propriétés suivantes :
–A#=∅;
–(∀q∈A)(∀q#∈Q)(q#<q⇒q#∈A);
–(∀q∈A)(∃q#∈A)(q < q#)
On note (dans cet exercice !) Rl’ensemble des coupures de Q.
a) Soit q∈Q. Montrer que Aq={p∈Q:p<q}est une coupure.
b) Montrer que A√2={p∈Q:p2<2}est une coupure qui n’est de la forme Aqpour aucun q∈Q.
c) On ordonne Rpar : A<
RBsi A!B. Montrer que <Rest une relation d’ordre total. Montrer
que Qest dense dans R.
d) Montrer que toute partie non-vide et majorée de Radmet une borne supérieure. On pourra
prendre une famille majorée Fde coupures, et montrer que "A∈FAest encore une coupure.
e) Soient Aet Bdeux coupures. Montrer que {a+b:(a, b)∈A×B}est encore une coupure.
On pose A+RB={a+b:(a, b)∈A×B}.
f) Montrer que cette loi est associative et commutative. Montrer que 0R={q∈Q:q<0}joue le
rôle d’élément neutre.
g) Pour A∈R, soit −A={q∈Q:(∃p>q)(−p/∈A)}. Montrer que −Aest une coupure.
h) Montrer que A+(−A)=0
R.
Rest ainsi un groupe abélien. On peut montrer que l’ordre est compatible avec l’addition ; on
peut aussi définir la multiplication, mais cela devient franchement technique.
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