Sur le meilleur terme primitif en topologie

C AHIERS DU SÉMINAIRE D ’ HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES
A NTOINE A PPERT
Sur le meilleur terme primitif en topologie
Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques, tome 3 (1982), p. 63-67
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-
63 -
"SUR LE MEILLEUR TERME PRIMITIF EN TOPOLOGIE"
*
par Antoine APPERT
Résumé. Plaidoyer pour la construction de la topologie . partie du
terme
primitif .point adhérant t
ensemble".
un
Nous prenons ici les ternie de
de
séné
Bourbaki(3),
W.S.( )
inédit dit
est
qui
sens
dont le
topologie
équivalent
d’espace topologique
et
à celui de notre Manuscrit
cet conforma à celle de le
tarminologia
eu
pré-
sente Nota.
Définition t. Nous appelons
topologiques
logie d’un
temma primitif
de la classa dee espacée
toute notion dont la donnée détermine
espece
quelconque
complètement la topo-
de cette classe. Un tel terme
dit strict s’il cet complètement déterminé par cette
La problème se pose de ..voir
avantageux’ edopter
termes
cae
pour construire à
primitif. envisegeons les notions
vert, ensemble fermé, adhérence
à
un
partir
eaca
topologie.
cet le terme
quel
primitif
primitif le plue
de lui la
topologie. Parmi
suivantes(3):
ensemble
ou-
fermeture d’un ensemble, point adhérent
eu
ensemble(c’est-à-dire point ~ adhérence
de cet
ensemble),
dérivé d’un
ensemble, point d’accumulation d’un ensemble(c’est-à-dire point ~ dérivé
de cet
ensemble),
intérieur d’un
dire ensemble tel que
ce
ensemble, voieinege d’un
point ~ intérieur de cet ensemble), famille daa
voisinages distinguée d’un point(c’est-à-dire famille
point
eu Sens
d’un point
tifs sont
de
Bourbaki),
base de
stricts è l’exception des
l’espace. Tous
lieu de les examiner par rapport &
la notion de
cas
termes
primi-
deux derniers.
Pour voir quel est le plus avantagaux de
a
voisin.;.. d’un
c’..t-à-dira système fondamental de voisinages
de
au sens
da
ces
l’opération
termes
primitif. il y
de relativisetion et à
propriété topologiquement intrinsèque.
( ) Antoine APPERT, "Recherches sur la théorie de la mesure et sur la
topologie généreliséa", Manuscrit déposé aux Archivée de l’Aced. dee Sc.
de Paris dans le Fonds Fréchet
()
023,
()
M.
FRECHET,
Les agaças
en
1979.
abetraita.... Paris, Gauthiar-Villars,
pp. 172 - 1 73.
Las notions ci-après d’ouvert, dp fermé, d’adhérence, d’adhérent
d’intérieur, da voisinage, de base de l’espaça sont prises eu sens de
t,
Bourbaki (Topologie
Chap. I). De plus, un point a aat dit point
d’accumulation d’un ensemble E si a est adhérent & E - {a~ .
M finit ion
on
dira que Q
2. Pour tout espace
déduit de P par
se
de P e3, Q
topoloqique
ensemble E c Q,
e
relativisation
P et ei, pour tout
c
est adhérent à E dans Q
un
espace
~ a
topoloqique.
Définition 3.
Nous disone
sous-ensembles d’un espace
aèqua
ai tout.. les foia que
ensembles sont contenus dana
quel
que soit
~
ou
que Q est
point
e E
Q,
un
Q et tout
aux
est vraie dans P
définitions ususlles d’un
sous-es-
qu’un. proprilSt6 concernant dee pointa
topologique P est topologiquement intrinpoints appartiennent t et que
ca.
un
c.. aoua-
mSae soue-eapaee topologique Q de
sous-espace, alors
ce
cet adhérent à E dans P.
topologique.
Cette définition équivaut(4)
ou
et pour tout ensemble
on e:
Alors Q eat
pace
topologique P
~
P,
et
on 8.
cet vraie dans Q .
On conatate que les aaula termes
primitif.
topologie énoncée
en
plue haut qui aoient toujours topologiquement intrinsèques sont les deux
suivantes
"point adhérant à
un
ansemble"
ensemble". Le premier de
"point d’accumulation d’un
primitif.
eat celui des deux
qui
plue simples des diverses notion. utiliaées
donne les conetructions les
en
et
topologie.
Nous pensons
qu’il
y a intérSt à utiliser
en
topologie
t.ra.
un
primitif topologiquement intrinsèque, et à y formuler les définitions
aussi directement que
possible à partir
alors celles des propriétés considérées
souvent
"point
très
qui
telles
recannues
adhérent à
un
sont
de
terme
priMitif$
en
effet
topologiquement intrinsèques seront
premier
8U
ce
coup d’oeil. Le terme
primitif
ensemble" a donc notre préférence; il est de plus
intuitif(5).
Noue disions autrefois
citerait à dire
()
En
"contiguité"
.contigu.( )
lieu
ce
qui
in
A la place d’"adhérence".
particulier elle équivaut A
( ) Plus intuitif
eu
la définition
que celui d’ensemble
ouvert,
de Bourbaki (loc.cit.).
comme
traduisant la
notion de proximité.
()
Antoine
APPERT. Sur les topologies transitives, Bull. Acad. roy.
t42.~
Belgique (Clesse des Science.), XXIII, 1937, 2,
Antoine APPERT et KY FAN,
... ,
Hermann, 1951.
’°
°°
°
"
’"’"
Les considérations ci-dessus ont été développées, et .tendu..
à
des espaces plus généraux, par
Bien des définitions et
premier
au
cées par
coup d’oeil
é
façon
apparaîtra
ont été énon-
L’emploi systématique
du M.5..
du
ansemble" s’est montré très avanta-
un
uniformes-généralisés,
dans las espaces uniformes et
simplifiant
geux et
formulées de
topologiquement intrinsèques
primitif "point adhérant à
terme
espaces majorés, écartée, distanciés, etc.(voir M.5., Chapitre lïl,
les
Chapitre I, §111;
et
comme
M.5., Chapitre MI, §ÏV at §V.
dans
propriétés
Chapitra III
dans le
noua
nous
Exemples. Soit P
et Q
un
un
usuelle(7)
’
topologique, E
espace
d’un ensemble
connexe g
Pour tous ensembles G et H
E - S
UH,
il existe
un
H
cet adhérent à G.
E cet
connexe
on
ou un
point da
a
~
dans P
E eat
dans Q.
connexe
Donc (Définition 3) la propriété pour
est
vidée tela que
non
point de G qui cet adhérent à H
Alors (Définition 2)
P,
équivaut à la suivants:
connexe
E est
qui
sous-ensemble de
un
de P tel que E c Q.
topologique
sous-espace
La définition
( )).
voir aussi
un
ensemble d’être connexe
topologiquement intrinsèque.
Par contre la propriété pour
n’eat pas
un
ensemble d’être ouvert
topologiquement intrinsèque. En effet,
à la fois ouvert et fexmé dans Q
cens
ei E
(reap. fermé)
Q, alors E
s
aat
être nécessairement ouvert dans P
ni fermé dans P.
La propriété pour
plus général que celui
de
Hausdorff)
un
ensemble d’être
de Bourbaki
puisque
compact( )
ne
(au
supposant
sens
de M.S.
pas l’axiome de séparation
est
tvPQiOQiqUeW,6nt intrinsèque en vertu de la forme
(voir M.5., Chapitre III, §1, p. 67 et Théorème 1, p. 68)que l’on
peut donner
p
è sa définition.
La propriété d’une application d’une partie E d’un espace topoloP
gique
sur une
trinsèque
dans
en
partie F
de P d’être
continue,
vertu de la définition d’une
M.S., Chapitre I, §111,
pp. 15 - 16.
est
topologiquement
in-
application continue donnée
Ici,
dans
l’application
de la
Définition 3, il faut que E U f : Q.
(7)
()
Bourbaki (loc. cit.).
compact
eu sens
de H.S.
c
quasi-compoct
au
sens
de
Bourbaki(loc.cit.)
Il aérait facile de généraliaar
ceci
parti. d’un deuxième
aur une
pd
a’énonce
p
(propriété cantorienne généralisés(6)
comme
toute famille Monotone
un
Noton. que
eet
qui
Le
noua
pertie
Une
comme
continue
vide F de
non
ensemble
tout
diaon.
parti..
qu’une
de
ensemble E). Pour
vidée de E il axiata
non
T.
famille F d’ensemble est
il y
quelconque.
toujoun
un
particulier dse
cee
espaces
M.S.,
topologiques:
topologique
dietinct
ou non
du
premier
sur une
eet dite
ci elle vérifie le condition auivante:
tout eneemble A ~ E et pour tout
point x E [
~ f(x)
f(A) .
eet edhérent è A
x
eet adhérant à
Moue repradui8on8
notre manuscrit M.5., Noua
brièvement
espace
défini
pour tout
une
point
dea
relation
appelons espace topologiques-généralisé, plue
tout ensemble P
topqon,
eapece
on 8.
partiellement ici
quelconque -.
pointe où
appel’.
edhérent t E"
a ~ P et tout ensemble E ~ P. On
qui e
lieu
ou non
appelle adhérence de E
pointe adhérants à E.
Soient le. axioMee auivante que l’on peut admettre
un
e
d’ une application continue, donnée dene
8uit dans le
eapece
(o). Pour
on e
en
monotone
application f d’ une partie E d’un espace topologique
pertie d’un
topo-
de l’autre.
définition( )
a’énonce
espace
topologique P..
espace
d’un
donné deux ensembles
une
partie d’un
auit:
point de E adhérent è
ei, .tant
peu 1. Définition 3 pour étendre
d’une application continue d’une
eu cee
logique P
un
on non
dana
topgen :
Tout point adhérent è
une
pertie d’un ensemble eet edhérent
t cet ensemble.
axi . Tout point d’un ensemble eet adhérent t cet
Aucun point n’aat
axi4.
vida.
(L’adhérence de l’adhérence d’un ensemble quelconque) l’edhérence de cet
exiS8
Tout point edhérent & le réunion de deux ensembles eet
adhérent 6 l’un
au
moins d’entre
eux.
( ) Définition équivalente, dan. lee espaces
de Bourbaki (loc. cit.).
topologiquee,
t celle
67 -
-
Alora
on 8.
topologique -
aapeca
eapaca
topgen vérifiant laa cinq
axiomes
ci-daaaua.
En supprimant
obtient
on
piS’
topologie-transitive(6)
introduite per
eapacea t
était clore appâté
Mi
on
ou
juin 1932 (C08pt.. rendue
noue en
at
axi534
aupprimont
()
aapacea
d~?’T j;
Acad. de. Se., Perie, t94, p.
par nous 03B1. En
na
obtint les espaces
()
de
Nous
evona
introduit l’exiome
axi4,1 (axiome
de
trensitivité). Tout point edhérent
de
pointe chacun adhérent à
(.9
un
E,
ensemble
è
un
ensemble
..t adhérant t E.
topgen(6):
On e dane tout espacs
axi2 ~ (axi4,1
suivant(6):
axi A
Ce qui permet d’écrira!
(1t )
et
axi2, axi3
aapaca
w
() vérifiant
espace
E,
topgen vérifient
et
piS.
(M.S.,
poaona
telle quo, pour tout point
ait:
on
~
eet adhérant à E
da B comprenant
tout ensemble
e
comprend
de E.
point
Noua
,
noua
famille B d’ensembles
et tout ensemble
un
espacs
axi4,1 .
base de
a
-
topologique = espacs topgen vérifiant
Dan. tout espace topgen
e
axi4,1
evone
(M.5.,
démontré
bia) que dans tout
~ ~’
et que lee espaces
topgens possédant
una
poaaèda
une
baaa août
un
topqen Pi
baaa,
peu
plus généraux
que les espaces ().
.
Pour 1.. notion. de beae de voisinages et da voiainaga diatingué
dens laa espacse
topgane,
août
(Note
de la
article. Il
vérifiant
rédaction.) C’est
nous
M.S.,
par la terme
espaces ()
*
voir
écrivait,
pp. 71 - 76. Les espaces ()
d’espaces (),
car ce
août lee
exi .
G.
Choquet qui
a
bien voulu
nous
le 4 avril 1981, à propos de cette
communiquer le présent
Note de A. Appert :t
disciple direct de Fréchet, qui a beaucoup réfléchi sur les fondements
de la topologie, sa Note est un témoignage sur les préoccupations qui ont été celles
des fondateurs de la topologie. A ce titre il m’a semblé qu’elle pourrait intéresser
des historiens des sciences et les mathématiciens ou philosophes qui réfléchissent
"Venant d’un
à la naissance des concepts."