transformations et nombres complexes

TRANSFORMATIONS ET NOMBRES COMPLEXES
Table des matières
1 Applications géométriques des nombres complexes
2
1.1
Arguments d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Ensemble de points du plan. ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.1
Un cercle de centre O et de rayon r
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.2
Un médiatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.3
Une droite (AB)
2
1.2.4
Un cercle de diamètre [AB]
1.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Équation paramétrique d’un cercle. ROC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Écriture complexe d’une transformation du plan
2
3
4
2.1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Théorème : écriture complexe des transformations usuelles du plan. ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2.1
La translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2.2
L’homothétie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.3
La rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.4
La symétrie centrale de centre O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.5
La symétrie axiale d’axe (Ox) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.6
La symétrie axiale d’axe (Oy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1
Transformations et nombres complexes
1
Lycée Marie Curie de Tarbes
Applications géométriques des nombres complexes
1.1
Arguments d’un nombre complexe
Soient A, B, C et D quatre points distincts d’affixes respectives zA , zB , zC et zD
On sait que :
−
−
→
• L’affixe du vecteur AB est zB − zA .
• AB = |zB − zA |.
−→
→
e1 , OA
(zA 6= 0)
• arg (zA ) = −
−
−
→
→
• arg (zB − zA ) = −
e1 , AB
−−
→ −−→
zD − zC
= AB; CD .
• arg
zB − zA
−−
→ −−→ −
−−→ → −−→ −
−
→ → −
−
−
→
zD − zC
En effet : AB; CD = AB; −
e1 ; CD = −
e1 + →
e1 ; CD − →
e1 ; AB = arg (zD − zC )−arg (zB − zA ) = arg
zB − zA
1.2
1.2.1
Ensemble de points du plan. ROC
Un cercle de centre O et de rayon r
Soit r un rel strictement positif et Ω un point du plan d’affixe le nombre complexe ω.
L’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que |z − ω| = r est le cercle de centre le point Ω et de rayon le rel r .
1.2.2
Un médiatrice
L’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que |z − zA | = |z − zB | est la médiatrice du segment [AB].
1.2.3
Une droite (AB)
L’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que
1.2.4
zB − z
est réel est la droite (AB) privé du point A .
zA − z
Un cercle de diamètre [AB]
L’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que
du point A .
zB − z
est imaginaire pur est le cercle de diamètre [AB] privé
zA − z
Démonstration 1
1. |z − ω| = r ⇐⇒ ΩM = r
2. |z − zA | = |z − zB | ⇐⇒ AM = BM

zB − z


arg
=0


zA − z

zB − z
est rel alors
3. Si
 ou
zA − z



 zB − z = 0
zA − z
[π]
ce qui signifie que
 −−→ −−→


M A; M B = 0


[π]
ou



 z=z
B
π
b
A
b
M
Géométrie 2
b
B
b
b
A
M2
Page 2
b
B
b
M1
Francis Rignanese
Transformations et nombres complexes
Lycée Marie Curie de Tarbes

π
zB − z


=
arg


zA − z
2

zB − z
est un imaginaire pur alors
4. Si
ou

zA − z



 zB − z = 0
zA − z
M1
[π]
 −−→ −−→
π

M A; M B =



2
ce qui signifie que
ou



 z=z
[π]
B
M2
b
b
A
b
b
B
b
M3
1.3
Équation paramétrique d’un cercle. ROC
Soit Ω un point du plan d’affixe le nombre complexe ω = xΩ + iyΩ .
Un équation paramétrique du cercle de centre Ω et de rayon r est :

 x = x + r cos(θ)
Ω
z = ω + r eiθ
ou encore
, θ tant un réel quelconque.
 y = y + r sin(θ)
Ω
Démonstration 2
Soit M, d’affixe z, un point du cercle de centre Ω et de rayon r.
−−→
→
Soit θ une mesure de l’angle −
e ; ΩM .
1
Nous avons donc arg(z − ω) = θ
[2π].
D’autre part, M tant sur le cercle on a aussi ΩM = r ce qui se traduit par
b
|z − ω| = r
Ainsi le nombre complexe z − ω a pour module r et un argument égal à θ
θ
Ω
b
On peut donc écrire que z − ω = r eiθ .
En écrivant ω = xΩ + i yΩ ,
M
b
→
−
e1
r eiθ = r cos(θ) + ir sin(θ) et z = x + i y
on obtient : z − ω = r eiθ ⇐⇒ (x + i y) − (xΩ + i yΩ ) = r cos(θ) + ir sin(θ)
Soit
Et donc
Exemple 1
(x − xΩ ) + i(y − yΩ ) = r cos(θ) + i r sin(θ)
 x − x = r cos(θ)
Ω
 y − y = r sin(θ)
Ω
Amérique de sud novembre 2007
→
→
Le plan P est rapporté un repère orthonormal direct (O, −
u, −
v ).
Soit f l’application qui à tout point M de P d’affixe non nulle z associe le point M ′ d’affixe : z ′ =
1. Soit E le point d’affixe zE = −i. Déterminer l’affixe du point E′ , image de E par f
1
2
z+
1
z
.
2. Déterminer l’ensemble des points M tels que M ′ = M .
3. On note A et B les points d’affixes respectives 1 et −1 et soit M un point distinct des points O, A et B.
2
z′ + 1
z+1
(a) Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de 0, 1 et −1, on a : ′
.
=
z −1
z−1
Géométrie 2
Page 3
Francis Rignanese
Transformations et nombres complexes
Lycée Marie Curie de Tarbes
−−→ −−→
MB
M ′B
en
fonction
de
puis
une
expression
de
l’angle
M ′ A, M ′ B en fonction
(b) En déduire une expression de
M ′A
MA
−−→ −−→
de l’angle M A, M B
4. Soit ∆ la médiatrice du segment [A, B]. Montrer que si M est un point de ∆ distinct du point O, alors M ′ est un point
de ∆.
5. Soit Γ le cercle de diamètre [A, B].
(a) Montrer que si le point M appartient Γ alors le point M ′ appartient à la droite (AB).
(b) Tout point de la droite (AB) a-t-il un antécédent par f ?
1
1
i
−i +
=
−i +
= 0. E a donc pour image O.
1. z
−i
2
1
1
1
2. M ′ = M ⇐⇒ z =
z+
⇐⇒ 2z 2 = z 2 + 1 ⇐⇒ z 2 = 1 ⇐⇒ z = 1 ou z = −1.
2
z
Les points invariantségaux à leur image sont donc les points d’affixe 1 et −1.
E′
1
=
2
3. Soit M (z) avec z 6= 0, z 6= 1, z 6= −1.
2
1
1
z + z1 + 2
(z + 1)2
z+1
z′ + 1
z 2 + 1 + 2z
2 z + z + 1
=
=
.
= 1
=
(a) ′
=
1
z −1
z 2 + 1 − 2z
(z − 1)2
z−1
z + z1 − 2
2 z+ z −1
′
2
2
2
z + 1 z + 1 2 z′ + 1
|z ′ + 1|
M ′B
z+1
|(z + 1)|
MB
=
(b) – ′
⇒ ′
⇐⇒
⇐⇒
.
=
=
=
z −1
z−1
z − 1 z − 1 |z ′ − 1|
|(z − 1)|
M ′A
MA
2
−−→ −−→
−−→ −−→
−−→ −−→
−−→ −−→
z+1
z′ + 1
– ′
=
⇒ AM ′ , BM ′ = 2 AM , BM ⇐⇒ M ′ A, M ′ B = 2 M A, M B .
z −1
z−1
2
M ′B
MB
MB
= 1. Et d’après la question précédente
=
4. (a) M ∈ ∆ ⇐⇒ M A = M B ⇐⇒
MA
M ′A
MA
′
MB
Donc
= 1 ⇐⇒ M ′ B = M ′ A ⇐⇒ M ′ ∈ ∆.
M ′A
−−→ −−→ π
(b) Si M appartient au cercle de diamètre [AB], alors M A, M B =
[π].
2
−−→ −−→
Donc d’après la question précédente M ′ A, M ′ B = π [2π], donc les points A, B et M ′ sont alignés ou encore
M ′ ∈ [AB].
(c) Le cercle Γ a un rayon égal à1 et est centré
en O. Tout point M de Γ a donc une affixe de la forme z = eiθ , avec
1
−−→
1
1 iθ
1 iθ
−
→
e + iθ =
e + e−iθ = (cos θ + i sin θ + cos θ − i sin θ) = cos θ.
u , OM = θ. D’o z ′ =
2
e
2
2
Or −1 6 cos θ 6 1, donc M ′ est un point du segment [AB]. Seuls les points de [AB] ont un antécédent par f
2
Écriture complexe d’une transformation du plan
2.1
Définition
Soit T une transformation du plan qui transforme un point M d’affixe z en un autre point M’ d’affixe z ′ .
L’écriture complexe de la transformation T est la bijection f de C dans C telle que z ′ = f (z).
2.2
2.2.1
Théorème : écriture complexe des transformations usuelles du plan. ROC
La translation
→
L’écriture complexe de la translation de vecteur −
u d’affixe b est
Géométrie 2
Page 4
z′ = z + b .
Francis Rignanese
Transformations et nombres complexes
2.2.2
Lycée Marie Curie de Tarbes
L’homothétie
z ′ − ω = k(z − ω) .
L’écriture complexe de l’homothétie de centre Ω d’affixe ω et de rapport le rel k est
2.2.3
La rotation
L’écriture complexe de la rotation de centre Ω d’affixe ω et d’angle le rel θ est
2.2.4
z ′ − ω = eiθ (z − ω) .
La symétrie centrale de centre O
L’écriture complexe de la symétrie centrale de centre O est : z ′ = −z .
2.2.5
La symétrie axiale d’axe (Ox)
L’écriture complexe de la symétrie axiale d’axe (Ox) est : z ′ = z .
2.2.6
La symétrie axiale d’axe (Oy)
L’écriture complexe de la symétrie axiale d’axe (Oy) est : z ′ = −z .
Démonstration 3
−−−→ →
→
1. Si M ′ est l’image du point M dans la translation de vecteur −
u d’affixe b alors M M ′ = −
u et donc z ′ − z = b.
2. Si M ′ est l’image du point M dans l’homothétie de centre Ω d’affixe ω et de rapport le rel k
−−→
−−→
alors ΩM ′ = k ΩM et donc z ′ − ω = k(z − ω).
3. Si M ′ est l’image du point M dans la rotation de centre Ω d’affixe ω et d’angle




′



 |z − ω| = |z − ω|
 ΩM ′ = ΩM
′
d’o
et
donc
alors
−
−
→
z
−
ω
−→


 −
= θ [2π]

 arg
ΩM ; ΩM ′ = θ [2π]

z−ω
′
z −ω
Autrement dit le nombre complexe
a pour module 1 et un argument gal θ.
z−ω
z′ − ω
Son écriture complexe est donc eiθ . Et donc
= eiθ .
z−ω
le rel θ
|z ′ − ω| z ′ − ω =
=1
|z −ω|
z−ω ′
z −ω
= θ [2π]
arg
z−ω
M3 (−z)
b
M(z)
b
→
−
e2
Pour les trois autres la figure ci-contre suffit :
θ
b
O
M1 (−z)
b
→
−
e1
b
M2 (z)
Exemple 2
Déterminer la nature des transformations √
ayant pour écriture complexe :
√
1
3
′
′
a) z = z − 1 + i
b) z = z − i
c) z ′ = 3 z
d) z ′ = i z − 3i + 3
2
2
→
1. z ′ − z = −1 + i. T est la translation de vecteur −
u d’affixe −1 + i.
√ !
π
3
π
1
z = e−i 3 z. T est la rotation de centre O et d’angle − .
−i
2. z ′ =
2
2
3
Géométrie 2
Page 5
Francis Rignanese
Transformations et nombres complexes
3. z ′ =
√
3z.
Lycée Marie Curie de Tarbes
T est l’homothétie de centre le point O et de rapport le rel
4. z ′ = i(z − 3) + 3 et donc z ′ − 3 = i(z − 3).
√
3.
T est la rotation de centre le point Ω d’affixe 3 et d’angle
π
.
2
Exemple 3
France juin 2007
Partie A
On considère l’équation : (E)
z 3 − (4 + i)z 2 + (13 + 4i)z − 13i = 0 où z est un nombre complexe.
1. Démontrer que le nombre complexe i est solution de cette équation.
2. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z on ait :
z 3 − (4 + i)z 2 + (13 + 4i)z − 13i = (z − i) az 2 + bz + c .
3. En déduire les solutions de l’équation (E).
Partie B
→
→
Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct (O, −
u, −
v ), on désigne par A, B et C les points d’affixes
respectives i, 2 + 3i et 2 − 3i.
π
. Déterminer l’affixe du point A′ , image du point A par la rotation r.
4
2. Démontrer que les points A′ , B et C sont alignés et déterminer l’écriture complexe de l’homothétie de centre B qui
1. Soit r la rotation de centre B et d’angle
transforme C en A′ .
Partie A
Soit (E) l’équation z 3 − (4 + i)z 2 + (13 + 4i)z − 13i = 0.
1. On a : i3 − (4 + i)i2 + (13 + 4i)i − 13i = −i + 4 + i − 4 + 13i − 13i = 0 donc i est solution de (E).
2. (z − i)(az 2 + bz + c) = az 3 + (b − ai)z 2 + (c − bi)z − ic.
Deux
polynômes sont égauxsi et seulement si les coefficients






a
= 1
a
= 1








a




 c
 b − ai = −4 − i
= 13
⇔
⇔
b






b−i
= −4 − i
c − bi = 13 + 4i



 c






 13 − bi = 13 + 4i
 −ic
= −13i
sont égaux. On obtient le système :
=
1
=
−4
=
13
donc z 3 − (4 + i)z 2 + (13 + 4i)z − 13i = (z − i)(z 2 − 4z + 13).
3. L’équation (E) s’écrit (z − i)(z 2 − 4z + 13) = 0.
Dans C, un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
• z−i=0⇔z =i
• z 2 − 4z + 13 = 0.
∆ = −36 = (6i)2 < 0. Il y a deux racines complexes conjuguées
4 − 6i
= 2 − 3i et 2 + 3i.
2
L’ensemble des solutions est : S = {i ; 2 − 3i ; 2 + 3i}
Partie B
π
.
4 π
π
Une écriture complexe de r est z ′ − zB = ei 4 (z − zB ) ⇔ z ′ =!ei 4 (z − 2 − 3i) + 2 + 3i.
√
√
√
√ π
2
2
On en déduit zA’ = ei 4 (−2 − 2i) + 2 + 3i = −2
(1 + i) + 2 + 3i = −2i 2 + 2 + 3i = 2 + 3 − 2 2 i.
+i
2
2
1. Soit r la rotation de centre B et d’angle
Géométrie 2
Page 6
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Transformations et nombres complexes
Lycée Marie Curie de Tarbes
2. Les affixes de A’, B et C ont la même partie réelle 2 donc les trois points sont alignés sur la droite d’équation x = 2.
A’ est donc l’image de C par une √
homothétie
B et de rapport k.
√ de centre
√
2
3 − (3 − 2 2)
2 2
BA’
=
=
=
.
k > 0 donc k =
BC
3 − (−3)
6
3
Une écriture complexe de cette homothétie
est alors :
√
2
′
′
(z − 2 − 3i) + 2 + 3i.
z = k(z − zB ) + zB c’est-à-dire z =
3
Géométrie 2
Page 7
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