transformations et nombres complexes

TRANSFORMATIONS ET NOMBRES COMPLEXES
Table des mati`eres
1 Applications g´eom´etriques des nombres complexes 2
1.1 Arguments d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Ensemble de points du plan. ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Un cercle de centre O et de rayon r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Un m´ediatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.3 Une droite (AB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.4 Un cercle de diam`etre [AB] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 ´ Equation param´etrique d’un cercle. ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2´ Ecriture complexe d’une transformation du plan 4
2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Th´eor`eme : ´ecriture complexe des transformations usuelles du plan. ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.1 La translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.2 L’homoth´etie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.3 La rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.4 La sym´etrie centrale de centre O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.5 La sym´etrie axiale d’axe (Ox) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.6 La sym´etrie axiale d’axe (Oy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1

Transformations et nombres complexes Lyc´ee Marie Curie de Tarbes
1 Applications g´eom´etriques des nombres complexes
1.1 Arguments d’un nombre complexe
Soient A, B, C et Dquatre points distincts d’affixes respectives zA, zB, zCet zD
On sait que :
•L’affixe du vecteur −−→ AB est zB−zA.
•AB =|zB−zA|.
•arg (zA) = −→
e1,−→ OA(zA6= 0)
•arg (zB−zA) = −→
e1,−−→
AB
•arg zD−zC
zB−zA=−−→
AB;−−→ CD.
En effet : −−→
AB;−−→ CD=−−→
AB;−→ e1+−→
e1;−−→ CD=−→
e1;−−→ CD−−→
e1;−−→ AB=arg (zD−zC)−arg (zB−zA) = arg zD−zC
zB−zA
1.2 Ensemble de points du plan. ROC
1.2.1 Un cercle de centre O et de rayon r
Soit run rel strictement positif et Ω un point du plan d’affixe le nombre complexe ω.
L’ensemble des points Mdu plan d’affixe ztels que |z−ω|=rest le cercle de centre le point Ω et de rayon le rel r.
1.2.2 Un m´ediatrice
L’ensemble des points Mdu plan d’affixe ztels que |z−zA|=|z−zB|est la m´ediatrice du segment [AB].
1.2.3 Une droite (AB)
L’ensemble des points Mdu plan d’affixe ztels que zB−z
zA−zest r´eel est la droite (AB) priv´e du point A.
1.2.4 Un cercle de diam`etre [AB]
L’ensemble des points Mdu plan d’affixe ztels que zB−z
zA−zest imaginaire pur est le cercle de diam`etre [AB] priv´e
du point A.
D´emonstration 1
1. |z−ω|=r⇐⇒ ΩM=r
2. |z−zA|=|z−zB| ⇐⇒ AM =BM
3. Si zB−z
zA−zest rel alors 
arg zB−z
zA−z= 0 [π]
ou
zB−z
zA−z= 0
ce qui signifie que 
−−→
MA;−−→ MB= 0 [π]
ou
z=zB
A B
M
π
A B
M1 M2
G´eom´etrie 2 Page 2 Francis Rignanese

Transformations et nombres complexes Lyc´ee Marie Curie de Tarbes
4. Si zB−z
zA−zest un imaginaire pur alors 
arg zB−z
zA−z=π 2[π]
ou
zB−z
zA−z= 0
ce qui signifie que 
−−→
MA;−−→ MB=π
2[π]
ou
z=zB
A
B
M1M2
M3
1.3 ´ Equation param´etrique d’un cercle. ROC
Soit Ω un point du plan d’affixe le nombre complexe ω=xΩ+iyΩ.
Un ´equation param´etrique du cercle de centre Ω et de rayon rest :
z=ω+r eiθ ou encore 
x=xΩ+rcos(θ)
y=yΩ+rsin(θ)
, θ tant un r´eel quelconque.
D´emonstration 2
Soit M, d’affixe z, un point du cercle de centre Ωet de rayon r.
Soit θune mesure de l’angle −→
e1;−−→ ΩM.
Nous avons donc arg(z−ω) = θ[2π].
D’autre part, Mtant sur le cercle on a aussi ΩM=rce qui se traduit par
|z−ω|=r
Ainsi le nombre complexe z−ωa pour module ret un argument ´egal `a θ
On peut donc ´ecrire que z−ω=r eiθ .
En ´ecrivant ω=xΩ+i yΩ, r eiθ =rcos(θ) + ir sin(θ)et z=x+i y
on obtient : z−ω=r eiθ ⇐⇒ (x+i y)−(xΩ+i yΩ) = rcos(θ) + ir sin(θ)
Soit (x−xΩ) + i(y−yΩ) = rcos(θ) + i r sin(θ)
Et donc 
x−xΩ=rcos(θ)
y−yΩ=rsin(θ)
Ω
θ
−→
e1
M
Exemple 1
Am´erique de sud novembre 2007
Le plan Pest rapport´e un rep`ere orthonormal direct (O,−→ u , −→ v).
Soit fl’application qui `a tout point Mde P d’affixe non nulle zassocie le point M′d’affixe : z′=1
2z+1 z.
1. Soit E le point d’affixe zE=−i. D´eterminer l’affixe du point E′, image de E par f
2. D´eterminer l’ensemble des points Mtels que M′=M.
3. On note A et B les points d’affixes respectives 1et −1et soit Mun point distinct des points O, A et B.
(a) Montrer que, pour tout nombre complexe zdiff´erent de 0,1et −1, on a : z′+ 1
z′−1=z+ 1 z−12
.
G´eom´etrie 2 Page 3 Francis Rignanese

Transformations et nombres complexes Lyc´ee Marie Curie de Tarbes
(b) En d´eduire une expression de M′B
M′Aen fonction de MB MApuis une expression de l’angle −−→
M′A,−−→ M′Ben fonction
de l’angle −−→
MA,−−→ MB
4. Soit ∆la m´ediatrice du segment [A, B]. Montrer que si Mest un point de ∆distinct du point O, alors M′est un point
de ∆.
5. Soit Γle cercle de diam`etre [A, B].
(a) Montrer que si le point Mappartient Γalors le point M′appartient `a la droite (AB).
(b) Tout point de la droite (AB) a-t-il un ant´ec´edent par f?
1. zE′=1
2−i+1 −i=1 2−i+i 1= 0.E a donc pour image O.
2. M′=M⇐⇒ z=1
2z+1 z⇐⇒ 2z2=z2+ 1 ⇐⇒ z2= 1 ⇐⇒ z= 1 ou z=−1.
Les points invariants´egaux `a leur image sont donc les points d’affixe 1et −1.
3. Soit M(z)avec z6= 0, z 6= 1, z 6=−1.
(a) z′+ 1
z′−1=
1
2z+1 z+ 1
1
2z+1 z−1=z+1
z+ 2
z+1
z−2=z2+ 1 + 2z
z2+ 1 −2z=(z+ 1)2 (z−1)2=z+ 1 z−12
.
(b) – z′+ 1
z′−1=z+ 1 z−12
⇒
z′+ 1
z′−1
=z+ 1
z−12⇐⇒ |z′+ 1| |z′−1|=|(z+ 1)| |(z−1)|2
⇐⇒ M′B
M′A=MB MA2
.
–z′+ 1
z′−1=z+ 1 z−12
⇒−−→
AM′,−−→ BM′= 2 −−→
AM, −−→ BM⇐⇒ −−→
M′A,−−→ M′B= 2 −−→
MA,−−→ MB.
4. (a) M∈∆⇐⇒ MA=MB⇐⇒ MB
MA= 1. Et d’apr`es la question pr´ec´edente M′B M′A=MB MA2
Donc M′B
M′A= 1 ⇐⇒ M′B=M′A⇐⇒ M′∈∆.
(b) Si Mappartient au cercle de diam`etre [AB], alors −−→
MA,−−→ MB=π
2[π].
Donc d’apr`es la question pr´ec´edente −−→
M′A,−−→ M′B=π[2π], donc les points A, B et M′sont align´es ou encore
M′∈[AB].
(c) Le cercle Γa un rayon ´egal `a 1et est centr´e en O. Tout point Mde Γa donc une affixe de la forme z=eiθ, avec
−→
u , −−→ OM=θ. D’o z′=1
2eiθ+1 eiθ=1 2eiθ+e−iθ=1 2(cos θ+isin θ+ cos θ−isin θ) = cos θ.
Or −16cos θ61, donc M′est un point du segment [AB]. Seuls les points de [AB] ont un ant´ec´edent par f
2´ Ecriture complexe d’une transformation du plan
2.1 D´efinition
Soit Tune transformation du plan qui transforme un point M d’affixe zen un autre point M’ d’affixe z′.
L’´ecriture complexe de la transformation Test la bijection fde Cdans Ctelle que z′=f(z).
2.2 Th´eor`eme : ´ecriture complexe des transformations usuelles du plan. ROC
2.2.1 La translation
L’´ecriture complexe de la translation de vecteur −→ ud’affixe best z′=z+b.
G´eom´etrie 2 Page 4 Francis Rignanese

Transformations et nombres complexes Lyc´ee Marie Curie de Tarbes
2.2.2 L’homoth´etie
L’´ecriture complexe de l’homoth´etie de centre Ω d’affixe ωet de rapport le rel kest z′−ω=k(z−ω).
2.2.3 La rotation
L’´ecriture complexe de la rotation de centre Ω d’affixe ωet d’angle le rel θest z′−ω=eiθ (z−ω).
2.2.4 La sym´etrie centrale de centre O
L’´ecriture complexe de la sym´etrie centrale de centre O est : z′=−z.
2.2.5 La sym´etrie axiale d’axe (Ox)
L’´ecriture complexe de la sym´etrie axiale d’axe (Ox) est : z′=z.
2.2.6 La sym´etrie axiale d’axe (Oy)
L’´ecriture complexe de la sym´etrie axiale d’axe (Oy) est : z′=−z.
D´emonstration 3
1. Si M′est l’image du point Mdans la translation de vecteur −→ ud’affixe balors −−−→ MM′=−→ uet donc z′−z=b.
2. Si M′est l’image du point Mdans l’homoth´etie de centre Ωd’affixe ωet de rapport le rel k
alors −−→ ΩM′=k−−→ ΩMet donc z′−ω=k(z−ω).
3. Si M′est l’image du point Mdans la rotation de centre Ωd’affixe ωet d’angle le rel θ
alors 
ΩM′= ΩM
−−→
ΩM;−−→ ΩM′=θ[2π]et donc 
|z′−ω|=|z−ω|
arg z′−ω
z−ω=θ[2π]d’o 
|z′−ω|
|z−ω|=
z′−ω
z−ω
= 1
arg z′−ω
z−ω=θ[2π]
Autrement dit le nombre complexe z′−ω
z−ωa pour module 1 et un argument gal θ.
Son ´ecriture complexe est donc eiθ .Et donc z′−ω
z−ω=eiθ .
Pour les trois autres la figure ci-contre suffit :
O
M(z)
M1(−z)M2(z)
M3(−z)
−→
e1
−→
e2
θ
Exemple 2
D´eterminer la nature des transformations ayant pour ´ecriture complexe :
a)z′=z−1 + i b)z′=1
2z−i√3 2c)z′=√3z d)z′=i z −3i+ 3
1. z′−z=−1 + i. T est la translation de vecteur −→ ud’affixe −1 + i.
2. z′= 1
2−i√3 2!z=e−iπ
3z. T est la rotation de centre O et d’angle −π
3.
G´eom´etrie 2 Page 5 Francis Rignanese