Corrigé
Lycée POTHIER ORLEANS
Si vous notez des erreurs, merci de nous les signaler.
2004 CCP MP Physique 2
PARTIE A - OPTIQUE
I – Étude géométrique
1. Les étoiles émettent des faisceaux de lumière parallèle (Ondes électromagnétiques planes), celui provenant
de Ea parallèle à l’axe optique de la lunette, l’autre provenant de Eb faisant un angle
θ
avec cet axe optique.
2.a. A1 et BB1 se trouvent dans le plan focal image de
la lentille L1.AB f f
11 1 1
=≈'.tan '.
θθ
2.b. AB
AB
OA
OA
22
11
22
21
=2= et 111
22 21 2
OA OA f
−=
'
donnent OA f
21 2
1
2125=− =', cm
3.a. AB f f AB
f
22
11
1
=='. ' '
θ
donne f’ = 2f’1.
3.b. AA OA OA OA
12 22 21 21
=−= 125=, cm
L’encombrement est plus important avec cette association de deux lentilles, mais l’image finale est plus
grande, ce qui permettra de mieux séparer les images des deux étoiles.
B2
B1
F’2
4. AB f
22 1
29
min min
'==
θ
m
μ
, ce qui donne
θ
min = 6,0.10-7 rad = 0,12 seconde d’arc. De même, on aura
θ
max = 768*
θ
min =1,6 minute d’arc.
II – Pouvoir séparateur de la lunette dû à la diffraction
A. Préliminaires
1. Principe de Huygens-Fresnel : La pupille diffractante est équivalente à un ensemble de sources secondaires
émettrices d’ondes sphériques secondaires réparties continûment à la surface de la pupille. L’amplitude
d’une onde sphérique est proportionnelle à la surface dS occupée par la source secondaire, à l’amplitude de
l’onde incidente arrivant sur la source secondaire, à une constante de proportionnalité caractéristique du
dispositif utilisé, à la transmission de la pupille et au déphasage lié à la position relative des points sur la
source secondaire.
Pour une diffraction à l’infini, on supposera que les distances O’M, OP et OO’ sont très grandes par rapport
aux dimensions de l’ouverture, ce qui se traduit également par O’P petit par rapport à OO’ et OM petit par
rapport à OO’.
2. Comme on observe la diffraction à l’infini, placer une lentille convergente permet d’observer la figure de
diffraction dans le plan (π), le plan focal de la lentille L3. On aura XP =
α
.f’3 et YP =
β
.f’3.
3. L’amplitude complexe de l’onde s’écrit :
APKjuuCMdSKjuuCOO
a
a
i
b
b
a
a
i
b
b
'( ) exp ( ). exp ( )
/
/
/
/
/
/
/
/
=−
⎯→⎯
MdS
F
H
G
G
G
I
K
J
J
J=−
⎯→⎯
+
⎯→⎯
F
H
G
G
G
I
K
J
J
J
F
H
G
G
G
I
K
J
J
J
−
+
−
+
−
+
−
+
zz zz
12
2
2
2
12
2
2
2
22
π
λ
π
λ
GG GG
O2A1 A2
2004 CCP MP Physique 2 page 1 / 7 Lucas – Delorme - Coq
AP K j u u CO j u u OM dS
a
a
i
b
b
i
'( ) exp ( ) exp ( )
/
/
/
/
=−
⎯→⎯
F
H
G
G
G
I
K
J
J
J
F
H
G
G
G
I
K
J
J
J−
⎯→⎯
F
H
G
G
G
I
K
J
J
J
F
H
G
G
G
I
K
J
J
J
−
+
−
+
zz
12
2
2
222
π
λ
π
λ
GG GG
AP juuCOK juuOMd
ia
a
b
b
i
'( ) exp ( ) exp ( )
/
/
/
/
=−
⎯→⎯
S
F
H
G
G
G
I
K
J
J
J
F
H
G
G
G
I
K
J
J
J−
⎯→⎯
F
H
G
G
G
I
K
J
J
J
F
H
G
G
G
I
K
J
J
J
−
+
−
+
zz
22
12
2
2
2
π
λ
π
λ
GG GG
Comme
⎯
→
⎯
=+CO d u d u
xx yy
GG
, on obtient
AP juududuK juuOMd
ixxyy
a
a
i
b
b
'()exp (). exp ()
/
/
/
/
=−+
F
H
GI
K
J−
⎯→⎯
S
F
H
G
G
G
I
K
J
J
J
F
H
G
G
G
I
K
J
J
J
−
+
−
+
zz
22
12
2
2
2
π
λ
π
λ
GG G G GG
di , ce qui peut s’écrire :
AP j u u du du AP
ixxyy
'( ) exp ( ). ( )=−+
F
H
GI
K
J
2
π
λ
GG G G
di
soit AP jhd d AP
xy
'( ) exp , ( )=di
ej
avec
hd d u u du du
xy i xx yy
(,) ( ).=− +
2
π
λ
GG G G
di
B. Application : diffraction par la lunette
1.a. L’élément diffractant est le carré placé devant la lunette puisqu’il est inclus dans l’ouverture de la lunette.
Pour une incidence normale, u et donc uO
GG
u
iz
=M
i.
G
⎯
→
⎯
=0M x y x y....... Par ailleurs, uO
G
⎯
→
⎯
=++=+
αβγαβ
0
et
αβ
==
X
f
Y
f
P
''
11
et P
. Comme dS = dx.dy, on obtient l’intégrale suivante pour A(P) :
AP K j X
fxdx j Y
fydy
P
a
aP
a
a
() exp '.exp '
/
/
/
/
=−
F
H
GI
K
J−
F
H
GI
K
J
−
+
−
+
zz
1
1
2
2
1
2
2
22
π
λ
π
λ
exp '
exp
'
'
exp 'exp '
'
/
//
/
−
F
H
GI
K
J=
−
−
=
−
F
H
GI
K
J−F
H
GI
K
J
−
−
+
z
F
H
I
K
L
N
MO
Q
P−
+
jX
fxdx
j
X
f
x
jX
f
jX
faj
X
fa
jX
f
P
a
a
P
PP
P
a
a
P
2
2
22
1
2
2
1
11
1
2
2
1
π
λ
π
λ
π
λ
π
λ
π
λ
π
λ
=
−
F
H
G
I
K
J
−
=F
H
GI
K
J
2
2
1
1
1
jX
fa
jX
f
ac
X
fa
P
P
P
sin '
'
sin '
π
λ
π
λ
π
λ
On obtient donc AP aK c X
fac
Y
fa
PP
() sin 'sin '
=
F
H
G
I
K
J
F
H
G
I
K
J
2
1
11
π
λ
π
λ
.
1.b. L’éclairement vaut
ε
aPP
XY(,)=APA PRe().*()
1
2bg
, ce qui
conduit à
επ
λ
π
λ
aPP
PP
XY aK c X
fac
Y
fa(,) sin 'sin '
=
g
(X)
F
I
F
I
H
GK
JH
GK
J
1
2
4
1
22
1
2
1
.
2004 CCP MP Physique 2 page 2 / 7 Lucas – Delorme - Coq
On a
ε
aKa
max =1
21
24
et gX c X
fa
P
P
()sin '
=
F
H
G
I
K
J
2
1
π
λ
1.c. Le centre de la figure de diffraction se situe en O’, image géométrique de Ea. La figure de diffraction est
symétrique puisque la fonction sinc2(X) est une fonction paire. Elle s’annulera pour
π
λπ
X
fa
P
'1
=± , soit pour
X
f
a
P=±
λ
'1 et on obtiendra une tache de largeur 21
λ
f
a
'.
1.d. Si le carré devient une fente très longue selon l’axe y, alors la fonction sin '
cY
fa
P
y
2
1
π
λ
F
H
G
I
K
J a une valeur quasi-
nulle en toute direction, sauf pour YP = 0 où alors la valeur est maximale et vaut 1.
On observera une amplitude AP aaK c X
fa
xy
P
() sin '
=
F
H
G
I
K
J
1
1
π
λ
et l’éclairement aura alors comme expression
επ
λ
aP xy
P
XaaKc
X
fa() sin '
=
F
H
G
I
K
J
1
2
22
1
22
1
et sa forme sera la même que celle obtenue au 1.b.
2.a. Pour Eb, on a
α
i = sin
θ
,
β
i = 0 et
γ
i = cos
θ
. Pour
θ
faible,
α
i ≈
θ
et
γ
i ≈ 1.
2.b. On obtient
APKjuuOMdSKjX
ba
a
i
b
b
a
a
PP
b
b
( ) exp ( ). exp
/
/
/
/
/
/
/
/
=−
⎯→⎯
YdS
F
H
G
G
G
I
K
J
J
J=−
F
H
GI
K
J
−
+
−
+
−
+
−
+
zz zz
12
2
2
2
12
2
2
2
22
π
λ
π
λθα β
GG bg
−
, ce qui
conduit à AP aK c aXc
aY
bP
() sin sin=− P
F
H
GI
K
J
F
H
GI
K
J
2
1
π
λαθ
π
λβ
bg et l’éclairement s’écrira :
εε
π
λαθ
π
λβ
bPP b P P
XY c X c Y(,) sin sin
max
=−
F
H
GI
K
J
F
H
GI
K
J
22
bg
On obtient la même figure de diffraction que pour l’étoile Ea,
mais elle est centrée sur le point tel que YP = 0 et
α
=
θ
, soit
pour XP = f’1.
θ
.
3.a. Les deux sources sont incohérentes : les éclairements
s’ajoutent.
3.b. Le premier minimum apparaît en
λ
f
a
'1 (pour Ea) alors que le
maximum pour Eb est en f’1.
θ
. On aura donc ces deux positions
qui coïncident pour
θ
λ
1=a. AN :
θ
1 = 1,92.10-6 rad = 0,40 seconde d’arc.
3.c. La largeur de la tache centrale de diffraction sur l’écran de la caméra sera donc pour une étoile de
229
11
f
'
θ
μ
≈ m, soit environ 3 pixels. C’est donc la dimension de l’ouverture, et la diffraction qui
l’accompagne, qui limite le pouvoir séparateur.
III – Interférences
1.a. On se trouve dans la situation du II-B-1.a., ce qui donne A P abK c X
fac
Y
fb
P
'( ) sin 'sin '
=P
F
H
G
I
K
J
F
H
G
I
K
J
1
11
π
λ
π
λ
. Pour une
fente fine, on aura A P abK c b'( ) sin=
F
H
GI
K
J
1
π
λα
.
1.b. Pour la fente (2), il faut ajouter le déphasage lié à C1C2, ce qui peut s’écrire :
2004 CCP MP Physique 2 page 3 / 7 Lucas – Delorme - Coq
AX K j uuCMdSK j uuCC CMdS
Pz
b
b
z
b
b
'( ) exp ( ). exp ( )
/
/
/
/
211
2
2
112
2
2
22
=−
⎯→⎯
2
F
H
G
G
G
I
K
J
J
J=−
⎯→⎯
+
⎯→⎯
F
H
G
G
G
I
K
J
J
J
F
H
G
G
G
I
K
J
J
J
−
+
−
+
zz
π
λ
π
λ
GG GG
=−+
⎯→⎯
+
⎯→⎯
F
H
G
G
G
I
K
J
J
J
F
H
G
G
G
I
K
J
J
J
−
+
z
KjuuCCCMdS
22xy
b
b
11
2
22
exp ( )
/
/
π
λαβ
GG =−
F
H
GI
K
J−
F
H
GI
K
J
−
+
z
K j d j x adx
b
b
12
222
exp ( ) exp
/
/
π
π
λα
λα
AX Kab j d c b
P
'( ) exp ( )sin
21
2
=−
F
H
GI
K
J
F
H
GI
K
J
π
λα
π
λα
1.c. Les deux figures de diffraction, prises séparément, sont les mêmes, à un coefficient constant pour d donné,
avec les mêmes amplitudes pour l’éclairement puisque le coefficient a un module qui vaut 1.
2.a. Les deux sources provenant de la division du front d’onde sont cohérentes. On a alors les amplitudes
complexes qui s’ajoutent : A
X
A
X
A
X
P
P
P
() '() '()=
+
12
AX Kab j d c b
P
() exp ()sin=+−
F
H
G
I
K
J
F
H
G
I
K
J
F
H
G
I
K
J
112
π
λαπ
λα
et
ε
TP P P
XAXA() Re().*()=1
2b
X
g
s’écrit alors
επ
λαπ
λαπ
λα
TP
X Kab jd jd c() exp () exp ()sin=+− b
F
H
G
I
K
J
F
H
G
I
K
J+
F
H
G
I
K
J
F
H
G
I
K
J
F
H
G
I
K
J
1
21212
1
222 2
επ
λαπ
λαπ
λα
TP
X Kab jd jd cb() exp ()exp ()sin=+
F
H
G
I
K
J+−
F
H
G
I
K
J
F
H
G
I
K
J
F
H
G
I
K
J
1
2222
1
222 2
επ
λαπ
λα
TP
XKab d c() cos sin=+ b
F
H
G
I
K
J
F
H
G
I
K
J
F
H
G
I
K
J
1
222 2
12. On voit que cette expression se met sous la forme
επ
λαπ
λα
TP
XKabcb d() * sin cos=
F
H
G
I
K
J+
F
I
F
I
H
GK
J
H
GK
J
21
212
1
222 2 , soit
ε
ε
T
P
P
P
X
X
g
X
() *()(=21
0 λ/b
Diffraction
Interférence
)
où gX
P112
() cos=+ d
F
H
GI
K
J
π
λα
est
une fonction caractéristique des interférences.
2.b. On voit bien que la figure de diffraction sert d’enveloppe à
une figure d’interférence. Si les fentes sont infiniment fines,
alors
λ
/b est très grand et l’on observe un nombre de franges
d’interférences qui augmente : on observe essentiellement la
figure d’interférence (la fonction sinc2 tend vers 1 quand b tend
vers 0).
L’interfrange vaut, en angle, i =
λ
/d.
3a. Lorsqu’il n’y a qu’une seule étoile Ea, la figure d’interférence est centrée en XPa = 0 (ordre 0). Le centre de
la figure d’interférence pour l’étoile Eb correspond à la position de l’image géométrique de Eb : XPb = f’1
θ
(ordre 0). Les centres des figures d’interférence sont distants de f’1
θ
. Un brouillage des franges sera obtenu
lorsque le maximum d’une figure correspond au minimum de l’autre.
3.b. Cette condition se traduit par f’1
θ
= ½.if’1, soit d
λ
=
θ
2.La valeur minimale de
θ
sera obtenu pour d le plus
grand possible. Comme le dispositif est devant l’entrée de la lentille L1, il faut d ≤ a. On aura alors
θ
λ
2
6
206810 014
== =
−
a,. , rad seconde d'arc
2004 CCP MP Physique 2 page 4 / 7 Lucas – Delorme - Coq
PARTIE B - ÉLECTROMAGNÉTISME
I – Préliminaires
I.1.Superposition d’un champ uniforme et de celui d’un dipôle
I.1.1 Le théorème de superposition conduit, après calculs, à
G
G
G
GG
BBB B R
reR
re
RaMa r z
=+ = − ++
F
H
GI
K
J
F
H
GI
K
J
3
212
3
3
3
3
cos .
θ
I.1.2.
GGGG GG
Bre B B rB R
r
R
ree
Rr a M a zr
.cos=+ = − ++ .
F
H
GI
K
J
F
H
GI
K
J
3
212
3
3
3
3
θ
. Comme
G
G
ee
z
r
.cos
=
θ
, il vient immédiatement
GG
Bre rB R
r
Rr a
.c=−os
F
H
G
I
K
J
1
3
3
θ
I.1.3. Pour r = R,
G
G
Bre
R
r
.=0. Le champ
G
BR est donc perpendiculaire à
G
e
r
, soit tangent à la sphère de rayon R.
Au niveau de la sphère, en coordonnées cartésiennes,
GG
BB e e
Ra x
=− +
3
2
2
sin .cos . sin .
θθ θ
ch
G
B vaut donc
G
z
. Le module de R
G
BB
Ra
=3
2sin
θ
: il est maximal pour
θ
= π/2.
I.1.4. Loin de la sphère, le champ est uniforme et donc les lignes de champ sont
des droites parallèles. Au niveau de la sphère, le champ est tangent à la
sphère, ce qui conduit à des lignes de champ qui épousent la forme de la
sphère. D’où l’allure des lignes de champ représentées ci-contre.
I.2.Moment magnétique d’une distribution sphérique de courant
I.2.1. La distribution est indépendante de
ϕ
, et comme la distribution de courant est selon le vecteur de base
G
e,
l’axe Oz est un axe d’antisymétrie pour la distribution de courant. En tout point de cet axe, le champ
magnétique sera porté par cet axe et donc
ϕ
G
G
BO BO e
z
() ().
=
I.2.2. La loi de Biot et Savart s’écrit dB O
R
JdS e
sPO
G
G
G
()=∧
μ
π
0
2
4di
avec
G
G
ee
P
O
r
−
et dS = R2sin
θ
.d
θ
.d
ϕ
.
=
dB O
R
JRddee
R
JRdd
r
GGe
G
G
( ) sin . sin . . sin . sin . .=− ∧ =−
μ
π
θ θθϕ
μ
π
θ θθϕ
ϕθ
0
20
20
20
2
44
chch
dB O e
J
dd ee
J
dd
zz
GGGG
(). sin.. . sin..=− =
μ
π
θθϕ
μ
π
θθϕ
θ
00 200 3
44
chch
. On aura ainsi
G
G
BO Jdde
z
() sin=
z
z
μ
πϕθθ
π
π
00
0
2
3
0
4,
soit
GG
BO
J
ez
()=
μ
π
π
00
424
3 et donc
G
G
BO Je
z
()=2
300
μ
I.2.3. Entre
θ
et
θ
+ d
θ
, on peut définir un élément de courant dI tel que dI.2πRsin
θ
= J0sin
θ
.2πRsin
θ
.Rd
θ
, soit
dI = J0Rsin
θ
.d
θ
. Par définition, le moment dipolaire s’écrit dM dI S ez
G
G
. . , soit :
=
dM J R d R ez
G
G
=0
2
sin . . ( sin ) .
θ
θ
π
θ
et donc dM J R d ez
G
G
=
π
θ
θ
0
33
sin . .
I.2.4. Le moment magnétique total s’écrit
G
G
MJR de
sz
=
z
πθθ
π
0
33
0sin . . , soit
G
G
MRJ
sz
=4
3
3
0
π
.e
II – Sphère supraconductrice dans un champ magnétique
II.1.Propriétés du courant et du champ. Conséquences
II.1.1. L’équation de Maxwell-Ampère est
⎯
→
⎯
=+rot B j E
t
v
GG
G
μεμ
∂
∂
000
. En régime stationnaire,
∂
∂
G
G
E
t=0. Le
champ à l’intérieur est tel que
G
G
B
=0. On a donc
G
G
jv
=
0
2004 CCP MP Physique 2 page 5 / 7 Lucas – Delorme - Coq
6
7
1
/
7
100%
