L3 - Intégration 2016-2017 : TD 7 Espaces Lp. A. Bordas, J.Husson

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L3 - Intégration
2016-2017 : TD 7
Espaces Lp .
A. Bordas, J.Husson, F.Patout.
Exercice 1.— Représentation duale des normes Lp
Soient (X, A , µ) un espace mesuré, 1 ≤ p < ∞ et f ∈ Lp (X, R). On note q l’exposant
conjugué de p.
1. Montrer que
Z
||f ||Lp = sup{
f g dµ | ||g||Lq = 1}.
X
2. On suppose que µ est σ-finie, montrer que le résultat précédent s’étend au cas p =
+∞.
Exercice 2.— Séparabilité des espaces Lp ([0, 1])
1. Soit p ∈ [1, +∞[. Montrer que Lp ([0, 1]) est séparable, c’est-à-dire qu’il contient une
partie dénombrable dense.
2. Montrer que L∞ ([0, 1]) n’est pas séparable.
Exercice 3.— Convergence en mesure et convergence Lp
Soit (X, A , µ) un espace de mesure finie. Soit une suite de fonctions mesurables fn : X →
R. On dit que (fn ) converge en mesure vers f si pour tout > 0,
µ(|fn − f |−1 (], +∞[)) → 0.
n→∞
Soit p, q tels que 1 ≤ p < q ≤ +∞.
On suppose que la suite (fn ) est bornée dans Lq et converge en mesure vers f . Montrer
que (fn ) converge dans Lp vers f .
Exercice 4.— Convergence faible
Soit (X, A, µ) un espace mesuré. Soient p, p0 ∈]1, +∞[ tels que 1/p + 1/p0 = 1. On dit
qu’une suite (fn )n∈N d’éléments de Lp (µ) converge faiblement vers f ∈ Lp (µ) si pour tout
0
g ∈ Lp (µ),
Z
Z
lim
fn gdµ =
X
f gdµ.
X
1. Montrer que la convergence dans Lp implique la convergence faible.
2. On suppose que (X, A, µ) est Rd muni de la mesure de Lebesgue, et que pour toute
φ continue à support compact, on a
Z
Z
fn φdµ =
f φdµ.
lim
X
X
On suppose de plus que la suite kfn kLp est bornée. Montrer que la suite (fn ) converge
faiblement vers f .
1
Exercice 5.— Espace Lp pour p ∈]0; 1[
Soient (X, A , µ) un espace mesuré et p ∈]0; 1[. On définit Lp (X, µ) de manière
analogue
R
au cas où p > 1 et on pose pour f, g des fonctions de Lp (X, µ), d(f, g) = |f − g|p dµ.
1. Montrer que Lp (X, µ) est un espace vectoriel, que d est une distance sur cet espace
et qu’il est complet pour cette distance.
2. On suppose (X, A , µ) = ([0; 1], B([0; 1]), λ). Montrer que le dual topologique de
(Lp ([0 : 1]), d) (i.e. l’ensemble des forme linéaires continues sur (Lp ([0 : 1]), d) )est
réduit à 0.
2
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