L3 - Intégration 2016-2017 : TD 7 Espaces Lp . A. Bordas, J.Husson, F.Patout. Exercice 1.— Représentation duale des normes Lp Soient (X, A , µ) un espace mesuré, 1 ≤ p < ∞ et f ∈ Lp (X, R). On note q l’exposant conjugué de p. 1. Montrer que Z ||f ||Lp = sup{ f g dµ | ||g||Lq = 1}. X 2. On suppose que µ est σ-finie, montrer que le résultat précédent s’étend au cas p = +∞. Exercice 2.— Séparabilité des espaces Lp ([0, 1]) 1. Soit p ∈ [1, +∞[. Montrer que Lp ([0, 1]) est séparable, c’est-à-dire qu’il contient une partie dénombrable dense. 2. Montrer que L∞ ([0, 1]) n’est pas séparable. Exercice 3.— Convergence en mesure et convergence Lp Soit (X, A , µ) un espace de mesure finie. Soit une suite de fonctions mesurables fn : X → R. On dit que (fn ) converge en mesure vers f si pour tout > 0, µ(|fn − f |−1 (], +∞[)) → 0. n→∞ Soit p, q tels que 1 ≤ p < q ≤ +∞. On suppose que la suite (fn ) est bornée dans Lq et converge en mesure vers f . Montrer que (fn ) converge dans Lp vers f . Exercice 4.— Convergence faible Soit (X, A, µ) un espace mesuré. Soient p, p0 ∈]1, +∞[ tels que 1/p + 1/p0 = 1. On dit qu’une suite (fn )n∈N d’éléments de Lp (µ) converge faiblement vers f ∈ Lp (µ) si pour tout 0 g ∈ Lp (µ), Z Z lim fn gdµ = X f gdµ. X 1. Montrer que la convergence dans Lp implique la convergence faible. 2. On suppose que (X, A, µ) est Rd muni de la mesure de Lebesgue, et que pour toute φ continue à support compact, on a Z Z fn φdµ = f φdµ. lim X X On suppose de plus que la suite kfn kLp est bornée. Montrer que la suite (fn ) converge faiblement vers f . 1 Exercice 5.— Espace Lp pour p ∈]0; 1[ Soient (X, A , µ) un espace mesuré et p ∈]0; 1[. On définit Lp (X, µ) de manière analogue R au cas où p > 1 et on pose pour f, g des fonctions de Lp (X, µ), d(f, g) = |f − g|p dµ. 1. Montrer que Lp (X, µ) est un espace vectoriel, que d est une distance sur cet espace et qu’il est complet pour cette distance. 2. On suppose (X, A , µ) = ([0; 1], B([0; 1]), λ). Montrer que le dual topologique de (Lp ([0 : 1]), d) (i.e. l’ensemble des forme linéaires continues sur (Lp ([0 : 1]), d) )est réduit à 0. 2