Probabilités

Probabilités
Christophe ROSSIGNOL∗
Année scolaire 2011/2012
Table des matières
1 Quelques rappels
2
1.1
Vocabulaire des événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Probabilité d’un événement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Probabilités conditionnelles
4
2.1
Un exemple pour comprendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Définitions – Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3
Événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Table des figures
1
Un exemple d’arbre à partir d’un tirage successif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
Probabilités conditionnelles : utilisation d’un arbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Liste des tableaux
∗ Ce
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1
1
1
QUELQUES RAPPELS
Quelques rappels
1.1
Vocabulaire des événements
Activité : Activité 1 page 256 1 [Roche-Barny]
Définitions :
– L’ensemble des issues d’une expérience aléatoire est appelé univers.
Il sera généralement noté Ω et les différentes issues (ou éventualités) seront notées e1 , e2 , . . . , en .
On a donc Ω = {e1 ; e2 ; . . . ; en }.
– Un événement est une partie de l’univers Ω.
– Un événement élémentaire est un événement qui ne contient qu’une seule des issues.
– L’événement impossible ne contient aucune éventualité. C’est l’ensemble vide ∅.
– L’événement certain contient toutes les éventualités. Il est égal à l’univers Ω.
Exemple : (tiré de l’activité 1 page 256[Roche-Barny])
Un sac de sucettes contient deux sucettes à la fraises, une sucette à la menthe et deux sucettes au caramel.
Yohann tire successivement deux sucettes dans le sac.
– L’univers Ω est représenté par l’arbre de la figure 1.
Figure 1 – Un exemple d’arbre à partir d’un tirage successif
Il contient 20 issues (ou éventualités) différentes.
– L’événement {F 1 − M } est élémentaire.
– L’événement « Obtenir deux sucettes à la menthe » est impossible.
– Des exemples d’événement :
A:
« La première sucette est à la menthe »
B:
« La deuxième sucette est au caramel »
1. Un peu de vocabulaire.
2
1
QUELQUES RAPPELS
C:
1.2
Loi de probabilité
« La deuxième sucette est à la menthe. »
On a :
– A = {M − F 1 ; M − F 2 ; M − C1 ; M − C2}
– B = {F 1 − C1 ; F 2 − C1 ; M − C1 ; C2 − C1 ; F 1 − C2 ; F 2 − C2 ; M − C2 ; C1 − C2}
– C = {F 1 − M ; F 2 − M ; C1 − M ; C2 − M }
Définition : Soient A et B deux événements d’un univers Ω.
– L’événement A∩B est l’événement « A et B ».
– L’événement A∪B est l’événement « A ou B ».
– L’événement A est l’événement « contraire de A » ou « non A ».
– Deux événements A et B sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps, c’est-à-dire
si A ∩ B = ∅.
Exemple : On reprend les notations de l’exemple précédent.
– A ∩ B est l’événement « Obtenir une première sucette à la menthe et une deuxième sucette au caramel ».
A ∩ B = {M − C1 ; M − C2}
Les événements A et B ne sont pas incompatibles.
– A∩C=∅
Les événements A et C sont incompatibles.
– A ∪ B est l’événement « Obtenir une première sucette à la menthe et une deuxième sucette au caramel ».
A∪B = {M − F 1 ; M − F 2 ; M − C1 ; M − C2 ; F 1 − C1 ; F 2 − C1 ; C2 − C1 ; F 1 − C2 ; F 2 − C2 ; C1 − C2}
– A est l’événement « La première sucette n’est pas à la menthe. »
1.2
Loi de probabilité
Définitions :
– Chaque événement élémentaire {ei } est affecté d’une probabilité, c’est-à-dire d’un nombre noté p (ei )
tel que :
0 ≤ p (ei ) ≤ 1
p (e1 ) + p (e2 ) + · · · + p (en ) = 1
et
– On appelle loi de probabilité la donnée des p (ei ) vérifiant ces conditions.
– Si tous les événements élémentaires ont la même probabilité, on dits qu’ils sont équiprobables, ou que
la loi de probabilité p est équiprobable (ou équirépartie).
Exemples :
1. On lance un dé à 6 faces non pipé. On obtient la loi de probabilité suivante :
ei
p (ei )
1
2
3
4
5
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Il s’agit d’une loi équiprobable (ou équirépartie).
2. L’expérience aléatoire de l’exemple du 1.1 est équiprobable et chacun des événements élémentaires à
1
une probabilité de 20
.
Remarque : Dans le cas de l’équiprobabilité, si l’univers Ω comporte n issues, on a :
p (ei ) =
1.3
1
n
Probabilité d’un événement
Activité : Activité 2 page 257 2 [Roche-Barny]
Propriété :
La probabilité d’un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent. On la note p (A).
On a donc 0 ≤ p (A) ≤ 1.
2. Probabilités d’un événement.
3
2
PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
Remarques :
1. p (Ω) = 1 . L’ensemble Ω est un événement certain.
2. p (∅) = 0 . L’ensemble vide est un événement impossible.
3. Dans le cas de l’équiprobabilité, si l’univers Ω comporte n issues, on a :
1
n
p (ei ) =
et
p (A) =
nombre d’éléments de A
nbre de cas favorables
=
nombre d’éléments de Ω
nbre de cas possibles
Propriété :
1. Si A et B sont deux événements :
p (A ∪ B) = p (A) + p (B) − p (A ∩ B)
et
p A = 1 − p (A)
2. Si les événements A et B sont incompatibles :
p (A ∪ B) = p (A) + p (B)
Exemple : On reprend les notations de l’exemple du 1.1
4
– p (A) = 20
= 15 et p A = 1 − p (A) = 1 − 51 = 45 .
8
4
– p (B) = 20
= 52 et p (C) = 20
= 15
2
1
1
5
– p (A ∩ B) = 20 = 10 et p (A ∪ B) = p (A) + p (B) − p (A ∩ B) = 51 + 52 − 10
= 2+4−1
= 10
=
10
1
1
– Comme les événements A et C sont incompatibles, p (A ∪ C) = p (A) + p (C) = 5 + 5 = 52
1
2
Exercices : 1, 2 page 270 3 – 4, 5 page 270 4 – 7, 8 page 270 et 9 page 271 5 [Roche-Barny]
2
Probabilités conditionnelles
2.1
Un exemple pour comprendre
Exemple : Pour fabriquer un objet, un artisan achète des pièces auprès de trois fournisseurs A1, A2 et A3.
25 % des pièces proviennent de A1, 40 % de A2 et le reste de A3.
5 % des pièces de A1 ont un défaut, 10 % de celles de A2 ont un défaut, de me que 0, 1 % de celle de A3.
On prend au hasard une de ces pièces.
Calculer la probabilité de l’événement D : « la pièce présente un défaut ».
L’univers Ω est l’ensemble des pièces fabriquées par A1, A2 et A3. On suppose qu’il comporte n éléments.
On note Ai l’événement : « la pièce provient du fournisseur Ai ».
On modélise la situation par un arbre (voir figure 2).
L’événement représenté par le chemin −A1 − D est l’événement « la pièce provient du fournisseur A1 et présente
un défaut », c’est-à-dire A1 ∩ D.
Cet événement comporte 0, 25 × 0, 05 × n issues, on a donc :
p (A1 ∩ D) =
0, 25 × 0, 05 × n
= 0, 25 × 0, 05 = p (A1 ) × pA1 (D) = 0, 0125
n
Par suite, on a :
p (D)
=
p (A1 ∩ D) + p (A2 ∩ D) + p (A2 ∩ D)
=
p (A1 ) × pA1 (D) + p (A2 ) × pA2 (D) + p (A3 ) × pA3 (D)
=
0, 25 × 0, 05 + 0, 4 × 0, 1 + 0, 35 × 0, 001 = 0, 05285
3. Vrai-faux ; QCM.
4. Utilisation des formules.
5. Calcul de probabilités.
4
2
PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
2.2
Définitions – Propriétés
Figure 2 – Probabilités conditionnelles : utilisation d’un arbre
2.2
Définitions – Propriétés
Définition : Soient A et B deux événements d’un univers Ω, avec p (A) 6= 0.
La probabilité que B se réalise sachant que A est réalisé (ou, plus simplement, B sachant A) est le nombre
noté pA (B) défini par :
p (A ∩ B)
pA (B) =
p (A)
Remarques :
1. Dans le cas d’une loi équirépartie, on a :
pA (B) =
nombre d’éléments de A ∩ B
nombre d’éléments de A
2. pA (B) représente la probabilité de l’événement B dans l’univers A.
Propriété 1 : Soient A et B deux événements, avec p (A) 6= 0 et p (B) 6= 0.
On a :
p (A ∩ B) = p (A) × pA (B) = p (B) × pB (A)
Remarque : Cette propriété découle directement de la définition. Elle permet de calculer la probabilité d’un
événement représenté par une chemin sur un arbre de probabilités (voir figure 2).
Propriété 2 : Soient A1 , A2 , . . . , An n événements deux-à-deux incompatibles et B = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An .
Alors :
p (B) = p (A1 ) + p (A2 ) + · · · + p (An )
Remarque : Ce n’est qu’une généralisation de la propriété du 1.3 concernant les événements incompatibles.
Définition : Soient A1 , A2 , . . . , An n événements.
On dit que A1 , A2 , . . . , An forment une partition de l’univers Ω si les événements A1 , A2 , . . . , An sont
deux-à-deux incompatibles et si Ω = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An .
Conséquence : Formule des probabilités totales
Soit A1 , A2 , . . . , An une partition de l’univers Ω et B un événement. On a :
p (B)
=
p (B ∩ A1 ) + p (B ∩ A2 ) + · · · + p (B ∩ An )
où p (B ∩ Ai ) = p (Ai ) × pAi (B)
Remarque : On utilise souvent cette formule à l’aide d’un arbre pondéré, en suivant les règles suivantes :
5
2.3
Événements indépendants
RÉFÉRENCES
– la somme des probabilités issues d’un même nœud est égal à 1 ;
– la probabilité d’un événement représenté par un chemin est égal au produit des probabilités des branches
qui le composent (c’est la propriété 1) ;
– la probabilité d’un événement est égal à la somme des probabilités de tous les chemins qui y aboutissent
(c’est la formule des probabilités totales).
Exercices : 14 page 272 6 – 16 page 272 7 – 17, 19, 20 page 273 et 22, 24 page 272 8 [Roche-Barny]
2.3
Événements indépendants
Définition : A et B deux événements tels que p (A) 6= 0 et p (B) 6= 0.
On dit que A et B sont indépendants si p (A ∩ B) = p (A) × p (B).
Remarque : Attention ! Ceci n’a rien à voir avec des événements incompatibles. En effet, pour des événements
incompatibles, p (A ∩ B) = 0. on ne peut donc pas avoir p (A ∩ B) = p (A)×p (B) si p (A) 6= 0 et p (B) 6= 0.
Propriété : A et B deux événements tels que p (A) 6= 0 et p (B) 6= 0.
A et B sont indépendants si et seulement si pA (B) = p (B) ou pB (A) = p (A).
Remarques :
1. Ceci est dû au fait que p (A ∩ B) = p (A) × pA (B) = p (B) × pB (A).
2. Deux événements sont donc indépendants si et seulement si la réalisation de l’un n’a aucune influence
sur la probabilité de l’autre.
Exemple : On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes.
On note :
l’événement A : « la carte est une dame »
l’événement B : « la carte est un cœur »
8
4
On a : p (A) = 32
= 18 et p (B) = 32
= 41 .
1
De plus, l’événement A ∩ B est « obtenir la dame de cœur » donc p (A ∩ B) = 32
.
1
1
1
On a p (A) × p (B) = 8 × 4 = 32 = p (A ∩ B) donc les événements A et B sont indépendants.
Exercices : 12, 13 page 272 9 – 26, 27, 28 page 275 et 30 page 276 10 [Roche-Barny]
Références
[Roche-Barny] Mathématiques Terminale STG, F. Roche et F. Barny, Hachette Éducation, 2006.
2, 3, 4, 6
6.
7.
8.
9.
10.
Lecture sur un arbre.
Notion de probabilité de B sachant A.
Probabilités conditionnelles.
Vrai-Faux, QCM.
Indépendance.
6