Probabilités

Probabilités
Christophe ROSSIGNOL∗
Année scolaire 2011/2012
Table des matières
1 Quelques rappels 2
1.1 Vocabulairedesévénements....................................... 2
1.2 Loideprobabilité............................................. 3
1.3 Probabilitéd’unévénement ....................................... 3
2 Probabilités conditionnelles 4
2.1 Unexemplepourcomprendre...................................... 4
2.2 Définitions–Propriétés ......................................... 5
2.3 Événementsindépendants ........................................ 6
Table des figures
1 Un exemple d’arbre à partir d’un tirage successif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Probabilités conditionnelles : utilisation d’un arbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Liste des tableaux
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1 QUELQUES RAPPELS
1 Quelques rappels
1.1 Vocabulaire des événements
Activité : Activité 1 page 256 1[Roche-Barny]
Définitions :
– L’ensemble des issues d’une expérience aléatoire est appelé univers.
Il sera généralement noté Ωet les différentes issues (ou éventualités) seront notées e1,e2,. . . ,en.
On a donc Ω = {e1;e2;. . . ;en}.
– Un événement est une partie de l’univers Ω.
– Un événement élémentaire est un événement qui ne contient qu’une seule des issues.
– L’événement impossible ne contient aucune éventualité. C’est l’ensemble vide ∅.
– L’événement certain contient toutes les éventualités. Il est égal à l’univers Ω.
Exemple : (tiré de l’activité 1 page 256[Roche-Barny])
Un sac de sucettes contient deux sucettes à la fraises, une sucette à la menthe et deux sucettes au caramel.
Yohann tire successivement deux sucettes dans le sac.
– L’univers Ωest représenté par l’arbre de la figure 1.
Figure 1 – Un exemple d’arbre à partir d’un tirage successif
Il contient 20 issues (ou éventualités) différentes.
– L’événement {F1−M}est élémentaire.
– L’événement « Obtenir deux sucettes à la menthe » est impossible.
– Des exemples d’événement :
A : « La première sucette est à la menthe »
B : « La deuxième sucette est au caramel »
1. Un peu de vocabulaire.
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1 QUELQUES RAPPELS 1.2 Loi de probabilité
C : « La deuxième sucette est à la menthe. »
On a :
– A ={M−F1 ; M−F2 ; M−C1 ; M−C2}
– B ={F1−C1 ; F2−C1 ; M−C1 ; C2−C1 ; F1−C2 ; F2−C2 ; M−C2 ; C1−C2}
– C ={F1−M;F2−M;C1−M;C2−M}
Définition : Soient A et B deux événements d’un univers Ω.
– L’événement A∩Best l’événement « A et B ».
– L’événement A∪Best l’événement « A ou B ».
– L’événement Aest l’événement « contraire de A » ou « non A ».
– Deux événements A et B sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps, c’est-à-dire
si A ∩B=∅.
Exemple : On reprend les notations de l’exemple précédent.
– A∩B est l’événement « Obtenir une première sucette à la menthe et une deuxième sucette au caramel ».
A∩B={M−C1 ; M−C2}
Les événements A et B ne sont pas incompatibles.
– A ∩C=∅
Les événements A et C sont incompatibles.
– A∪B est l’événement « Obtenir une première sucette à la menthe et une deuxième sucette au caramel ».
A∪B={M−F1 ; M−F2 ; M−C1 ; M−C2 ; F1−C1 ; F2−C1 ; C2−C1 ; F1−C2 ; F2−C2 ; C1−C2}
– A est l’événement « La première sucette n’est pas à la menthe. »
1.2 Loi de probabilité
Définitions :
– Chaque événement élémentaire {ei}est affecté d’une probabilité, c’est-à-dire d’un nombre noté p(ei)
tel que :
0≤p(ei)≤1et p(e1) + p(e2) + · · · +p(en)=1
– On appelle loi de probabilité la donnée des p(ei)vérifiant ces conditions.
– Si tous les événements élémentaires ont la même probabilité, on dits qu’ils sont équiprobables, ou que
la loi de probabilité pest équiprobable (ou équirépartie).
Exemples :
1. On lance un dé à 6 faces non pipé. On obtient la loi de probabilité suivante :
ei1 2 3 4 5 6
p(ei)1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Il s’agit d’une loi équiprobable (ou équirépartie).
2. L’expérience aléatoire de l’exemple du 1.1 est équiprobable et chacun des événements élémentaires à
une probabilité de 1
20 .
Remarque : Dans le cas de l’équiprobabilité, si l’univers Ωcomporte nissues, on a :
p(ei) = 1
n
1.3 Probabilité d’un événement
Activité : Activité 2 page 257 2[Roche-Barny]
Propriété :
La probabilité d’un événement Aest la somme des probabilités des événements élémentaires qui le com-
posent. On la note p(A).
On a donc 0≤p(A)≤1.
2. Probabilités d’un événement.
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2 PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
Remarques :
1. p(Ω) = 1 . L’ensemble Ωest un événement certain.
2. p(∅)=0. L’ensemble vide est un événement impossible.
3. Dans le cas de l’équiprobabilité, si l’univers Ωcomporte nissues, on a :
p(ei) = 1
net p(A) = nombre d’éléments de A nombre d’éléments de Ω=nbre de cas favorables nbre de cas possibles
Propriété :
1. Si A et B sont deux événements :
p(A∪B) = p(A) + p(B)−p(A∩B)et pA= 1 −p(A)
2. Si les événements A et B sont incompatibles :
p(A∪B) = p(A) + p(B)
Exemple : On reprend les notations de l’exemple du 1.1
–p(A) = 4
20 =1 5et pA= 1 −p(A)=1−1 5=4 5.
–p(B) = 8
20 =2 5et p(C) = 4 20 =1 5
–p(A∩B) = 2
20 =1 10 et p(A∪B) = p(A) + p(B)−p(A∩B) = 1 5+2 5−1 10 =2+4−1 10 =5 10 =1 2
– Comme les événements A et C sont incompatibles, p(A∪C) = p(A) + p(C) = 1
5+1 5=2 5
Exercices : 1, 2 page 270 3– 4, 5 page 270 4– 7, 8 page 270 et 9 page 271 5[Roche-Barny]
2 Probabilités conditionnelles
2.1 Un exemple pour comprendre
Exemple : Pour fabriquer un objet, un artisan achète des pièces auprès de trois fournisseurs A1,A2et A3.
25 % des pièces proviennent de A1,40 % de A2et le reste de A3.
5% des pièces de A1ont un défaut, 10 % de celles de A2ont un défaut, de me que 0,1% de celle de A3.
On prend au hasard une de ces pièces.
Calculer la probabilité de l’événement D : « la pièce présente un défaut ».
L’univers Ωest l’ensemble des pièces fabriquées par A1,A2et A3. On suppose qu’il comporte néléments.
On note Ail’événement : « la pièce provient du fournisseur Ai ».
On modélise la situation par un arbre (voir figure 2).
L’événement représenté par le chemin −A1−Dest l’événement « la pièce provient du fournisseur A1et présente
un défaut », c’est-à-dire A1∩D.
Cet événement comporte 0,25 ×0,05 ×nissues, on a donc :
p(A1∩D) = 0,25 ×0,05 ×n
n= 0,25 ×0,05 = p(A1)×pA1(D)=0,0125
Par suite, on a :
p(D) = p(A1∩D) + p(A2∩D) + p(A2∩D)
=p(A1)×pA1(D) + p(A2)×pA2(D) + p(A3)×pA3(D)
= 0,25 ×0,05 + 0,4×0,1+0,35 ×0,001 = 0,05285
3. Vrai-faux ; QCM.
4. Utilisation des formules.
5. Calcul de probabilités.
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2 PROBABILITÉS CONDITIONNELLES 2.2 Définitions – Propriétés
Figure 2 – Probabilités conditionnelles : utilisation d’un arbre
2.2 Définitions – Propriétés
Définition : Soient Aet Bdeux événements d’un univers Ω, avec p(A)6= 0.
La probabilité que Bse réalise sachant que Aest réalisé (ou, plus simplement, Bsachant A) est le nombre
noté pA(B)défini par :
pA(B) = p(A∩B)
p(A)
Remarques :
1. Dans le cas d’une loi équirépartie, on a :
pA(B) = nombre d’éléments de A∩B
nombre d’éléments de A
2. pA(B)représente la probabilité de l’événement Bdans l’univers A.
Propriété 1 : Soient Aet Bdeux événements, avec p(A)6= 0 et p(B)6= 0.
On a :
p(A∩B) = p(A)×pA(B) = p(B)×pB(A)
Remarque : Cette propriété découle directement de la définition. Elle permet de calculer la probabilité d’un
événement représenté par une chemin sur un arbre de probabilités (voir figure 2).
Propriété 2 : Soient A1,A2,. . . ,Annévénements deux-à-deux incompatibles et B=A1∪A2∪ · · · ∪ An.
Alors :
p(B) = p(A1) + p(A2) + · · · +p(An)
Remarque : Ce n’est qu’une généralisation de la propriété du 1.3 concernant les événements incompatibles.
Définition : Soient A1,A2,. . . ,Annévénements.
On dit que A1,A2,. . . ,Anforment une partition de l’univers Ωsi les événements A1,A2,. . . ,Ansont
deux-à-deux incompatibles et si Ω = A1∪A2∪ · · · ∪ An.
Conséquence : Formule des probabilités totales
Soit A1,A2,. . . ,Anune partition de l’univers Ωet Bun événement. On a :
p(B) = p(B∩A1) + p(B∩A2) + · · · +p(B∩An)
où p(B∩Ai) = p(Ai)×pAi(B)
Remarque : On utilise souvent cette formule à l’aide d’un arbre pondéré, en suivant les règles suivantes :
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