Module statistique et probabilités 3

Module statistique et probabilités_ partie 5
Zahra ROYER
→ Axiomatique des probabilités. Probabilités conditionnelles
• introduction
• Rappels : univers, événement, propriétés,
• Définition d’une probabilité Probabilités conditionnelles
→ Introduction :
Depuis la seconde ou la terminale et probablement après vous avez déjà
« appris », écrit, entendu vos enseignants parler de probabilités.
Les définitions sont assez faciles à comprendre et apparaissent élémentaires.
Comme toutes les notions de mathématiques appliquées (peut-être un peu plus), ce
thème est enseigné dans un objectif précis.
On se met à la place d’un étudiant sortant d’un master, mis devant une situation où
le risque et/ou l’incertain sont à prendre en compte afin de mettre en place une
stratégie, pour un choix de projet, pour l’élaboration d’un budget, pour le choix
d’une décision politique.
Il doit être en mesure de décrire les événements et les situations inhérentes en
terme de probabilités d’occurrence, d’utiliser les bases du calcul de probabilités
pour proposer un modèle de prévision ou de prédiction, ce qui est très difficile et
peut s’avérer dangereux.
Il existe plusieurs manières de définir une probabilité. Principalement, on parle de
probabilités inductives ou expérimentales et de probabilités déductives ou
théoriques. On peut les définir comme suit :
La Probabilité expérimentale ou inductive : la probabilité est déduite de toute la
population concernée. Par exemple, si à un instant donné, sur une population de
mille produits dérivés financiers, on constate que 530 ont eu une rentabilité faible
et peu risquée et simultanément : les 470 autre ont eu une forte rentabilité et une
très grande volatilité alors, on dit que : sur un intervalle de temps pour cette
famille de produits dérivés
P [de faire un rendement positif sans prendre de gros risque] =
530
= 0.53
1000
P [de faire un gros rendement en prenant de gros risque] = 1- 0.53 = 0.47
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Z.Royer
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Remarque : Un an plus tard de cette constatation sur les 1000 produits financiers
seuls 153 s’échangent encore sur les marchés, 100 parmi les moins volatiles, 53
parmi les volatiles. Que penser alors des investissements faits à la lumière des
probabilités ci-dessus ???
La Probabilité théorique ou déductive : cette probabilité est connue grâce à l'étude
du phénomène sous-jacent sans expérimentation. Il s'agit donc d'une connaissance
a priori par opposition à la définition précédente qui faisait plutôt référence à une
notion de probabilité a posteriori. Par exemple, dans le cas classique du dé
parfait, on peut dire, sans avoir à jeter un dé, que
P [obtenir un 2] =1/6.
Cette seconde vision est retenue dans la majorité des cas car elle affranchit de
l’usage d’un historique, soumis lui-même à caution.
→ Rappels : univers, événement, propriétés
Notation : on adopte les notations les plus courantes.
Ω est l'ensemble des éventualités, dit univers, A est un événement ; une partie de Ω
On note p(A) la probabilité de réalisation de l'événement A.
Lorsque Ω est fini, l a définition courante de la probabilité de l’événement A est le
quotient du nombre de cas favorables à A au nombre de tous les cas possibles.
C’est une application définie sur l’ensemble des sous ensemble de Ω dans [0 ; 1].
→ On rappelle les écritures générales :
A Désigne l’événement contraire de A.
A∩ B désigne l’événement résultant de la survenance simultanée des deux
événements A et B.
A∪ B désigne l’événement résultant de la survenance de l’un des deux événements
A ou B.
A∆B désigne l’événement résultant de la survenance exclusive des deux
événements A ou B.
A/B désigne l’événement A sachant que B s’est réalisé
→ La probabilité est définie pour tous les événements ci-dessus et on alors :
• → p ( A ) = 1 – p(A)
• → p (A∪B) = p(A) + p(B) – p(A∩B)
• → p (A∆B) = p(A∩ B ) + p(B∩ A )
• →Si A et B indépendants : p (A∩B) = p(A) p(B)
• →Si A et B incompatibles donc ne pouvant survenir simultanément alors
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2
•
•
•
•
→A∩B = l’événement impossible = vide, donc p(A∩B) = 0 et donc :
→p(A∪B) = p(A) + p(B),
→Dans le cas général on a : p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B)
→Pour tout événement A : 0≤ p(A) ≤ 1
Probabilités conditionnelles : la réalisation d’un événement peut être soumise ou
dépendre de la réalisation d’un autre, exemple : deux événements A et B
* A= les prix du pétrole montent,
*B = les prix des voitures baissent
On peut se poser la question si A survient quelle est « la chance » que b se
réalise ?
On définit la probabilité de A sachant B par
p( A / B ) = pB ( A ) =
p( A ∩ B )
p( B )
On retient la formule de BAYES :
p(B / A)=
p(A/ B)p(B)
p(A/ B)p(B)+ p(A/ B) p(B)
Exemple : Tarification en assurance
Une compagnie d'assurance a segmenté ses clients assurés automobiles en deux
classes :
C1 « Ceux dont la conduite est très risquée »
C 2 « Ceux dont la conduite est modérée »
La durée de l’exercice pour la compagnie est l’année.
La tarification de l’année suivante tient compte uniquement de l’exercice
précédent.
Pour simplifier l’observation des agents de la compagnie mène à évaluer le risque
à 65%, pour un individu C1 d’attraper un accident dans l’année, alors que pour un
individu C 2 , ce risque tombe à 12%. Le portefeuille de cet assureur est composé de
20% d’assurés de catégorie 1.
Calculer la probabilité pour qu’un nouvel assuré ait un accident l’année suivant
son adhésion à cette compagnie.
Un nouvel assuré vient d’avoir un accident juste après son adhésion, quelle est la
probabilité qu’il soit catégorie 1 ?
Réponses
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On note A l’événement : « un nouvel assuré ait un accident l’année suivant son
adhésion à cette compagnie »
B : « Le nouvel assuré est catégorie C1 »
B : « Le nouvel assuré est catégorie C 2 »
La règle de conditionnement peut s’écrire :
p( A ) = p( A / B )* p( B ) + p( A / B )* p( B )
On a :
p( A / B ) = 0.65
, p( A / B ) = 0.12 p( B ) = 0.20 p( B ) = 0.80
p( A ) = p( A / B )* p( B ) + p( A / B ) * p( B )
D’où : = 0.65 * 0.20 + 0.12 * 0.80
= 0,216
Conclusion : Soit 21.6% de chance qu’un nouvel assuré ait un accident dans
l’année de l’exercice.
Ensuite :
p( A ∩ B ) p( A / B )* p( B ) 0.65 * 0.20
=
=
= 0,55555556
p( A )
p( A )
0,216
p( B / A ) =
Conclusion : Il y a 55.55% de chance qu’un assuré accidenté dans d’année en
cours, soit de catégorie 1.
→Le théorème de probabilités totales :
On dit que la suite d’événements (Bi) couvre Ω ; ou encore les (Bi) forment une
partition de Ω lorsque Bi∩Bj = ∅ pour i ≠j et
Alors :
∑
i
p(Bi)= 1 ,
C’est la loi des probabilités totales.
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B = Ω
i
i