CTU, Master Enseignement des Mathématiques Statistique

CTU, Master Enseignement des
Mathématiques
Statistique Inférentielle
Jean-Yves DAUXOIS
Université de Franche-Comté
Année scolaire 2011-2012

Ce polycopié contient le cours, les sujets d’exercice et leurs corrigés ainsi que les
sujets des devoirs proposés.
Les énoncés des exercices sont donnés en fin de chapitre auxquelles ils font référence.
Il est vivement conseillé d’essayer de faire sérieusement les exercices, sans aller trop
rapidement voir leurs corrections détaillées en fin de polycopié. On sait en effet que,
pour qu’une correction soit efficace, il faut qu’elle vienne après une période de recherche
personnelle de la solution.
Les devoirs, quant à eux, ne sont pas des exercices supplémentaires (ces derniers
accompagnés de leurs corrections sont déjà assez nombreux !). Pour qu’ils apportent
réellement autre chose que les exercices, ils doivent être faits dans les conditions d’un
devoir surveillé ou d’un examen. En conséquence, il vous est vivement conseillé de faire
les devoirs et de m’envoyer votre copie (éventuellement les unes après les autres). En
retour vous recevrez votre copie corrigée et également une correction type du devoir. Le
premier des devoirs peut être résolu dès que l’on est parvenu à la fin de la seconde section
du Chapitre 5. Le second est lui réalisable après avoir travaillé l’ensemble du Chapitre
5. Les trois autres, même s’ils peuvent être “attaqués” plus tôt, ne seront réalisables
qu’une fois assimilé l’ensemble des notions. Ils peuvent fournir de bons exercices de
révision en perspective de l’examen.
Enfin, ce polycopié contient certainement de nombreuses coquilles et mérite encore
d’être amélioré. Merci d’avance aux lecteurs attentifs de transmettre leur remarques,
suggestions ou indications sur la localisation des coquilles. Un petit mail à l’adresse
[e-mail] et l’amélioration est prise en compte...
Bon courage !

Table des matières
Partie 1. Introduction et Modèle Statistique 5
Chapitre 1. Introduction 7
Chapitre 2. Modèle Statistique 11
1. Définition 11
2. Modèle d’échantillonnage 15
3. Vraisemblance 15
4. Familles Exponentielles 16
5. Modèle position-échelle 17
6. Exercices 18
Partie 2. Estimation ponctuelle 21
Chapitre 3. Statistique et Estimateur 23
Chapitre 4. Construction d’estimateurs 27
1. Estimateurs empiriques (des moments) 27
2. Méthode de substitution 29
3. Méthode des moments 29
4. Maximum de vraisemblance 30
5. Exercices 33
Chapitre 5. Qualité d’un estimateur 37
1. Estimateur convergent 37
2. Estimateur sans biais 39
3. Risque d’un estimateur 40
4. Information de Fisher 43
5. Borne de Cramer-Rao (ou Fréchet-Darmois-Cramer-Rao) 46
6. Exercices 48
Chapitre 6. Amélioration d’estimateurs 51
1. Statistique exhaustive 51
2. Statistique exhaustive minimale 54
3. Théorème de Rao-Blackwell 54
4. Théorème de Lehmann-Scheffé 56
5. Cas des familles exponentielles 57
6. Exercices 57
3

Chapitre 7. Comportement asymptotique d’un estimateur 59
1. Normalité asymptotique 59
2. Estimateurs empiriques des moments 60
3. Estimateur du maximum de vraisemblance 60
4. La δ-méthode ou l’étude asymptotique d’un estimateur obtenu par la
méthode de substitution 61
5. Estimateurs par la méthode des moments 62
6. Exercices 63
Partie 3. Intervalles de confiance 65
Chapitre 8. Intervalles de confiance exacts 67
Chapitre 9. Intervalles de confiance asymptotiques 71
Chapitre 10. Exercices sur les intervalles de confiance exacts et asymptotiques 73
Partie 4. Correction des exercices 75
Correction des exercices du Chapitre 2 77
Correction des exercices du Chapitre 4 85
Correction des exercices du Chapitre 5 99
Correction des exercices du Chapitre 6 119
Correction des exercices du Chapitre 8 129
Partie 5. Devoirs 135

Partie 1
Introduction et Modèle Statistique