1 Logique 2 Applications

Aix–Marseille Universit´e -
Math´ematiques II
Parcours PEIP
Planche 1 - Logique, applications et fonctions usuelles
1 Logique
Exercice 1. Traduire `a l’aide de quantificateurs les ´enonc´es suivants.
1. Tout entier naturel est plus petit ou ´egal `a son carr´e.
2. Si le produit de deux nombres r´eels est nul, alors un des deux facteurs est nul.
3. Tout ensemble non vide d’entiers naturels contient un plus petit ´el´ement.
Exercice 2. Soit f:R→Rune fonction. Traduire `a l’aide de quantificateurs les ´enonc´es suivants.
1. fest major´ee.
2. fest born´ee.
3. fne s’annule jamais.
4. fest croissante.
Exercice 3. Donner la n´egation des assertions ci-dessous puis d´eterminer si elles sont vraies ou fausses.
1. ∃x∈R,∀y∈R, x +y > 0.
2. ∀x∈R,∀y∈R, x +y > 0.
3. ∃x∈R,∀y∈R, y2> x.
Exercice 4. Soit fune application de Rdans R. Donner la n´egation des ´enonc´es suivants.
1. Pour tout x∈R, f(x)≤1.
2. L’application fest croissante.
3. L’application fest croissante et positive.
4. Il existe x∈R,x≥0 tel que f(x)≤0.
5. Il existe x∈Rtel que quel que soit y∈R, si x<yalors f(x)> f(y).
Exercice 5. D´emontrer l’implication 0 ≤x≤y⇒0≤x2≤y2. Ecrire sa contrapos´ee et sa r´eciproque.
D´eterminer si sa r´eciproque est vraie.
2 Applications
Exercice 6. On consid`ere la fonction f:R→R
x7→ x2. D´eterminer les ensembles suivants :
f([−3,−1]), f([−2,−1]), f([−3,−1]∪[−2,−1]), f−1(]−∞,−2]), f−1(]1,+∞]) et f−1(]−∞,−2]∪]1,+∞]).

Exercice 7.
1. On consid`ere les applications
f:
N→R
n7→ 2n
n+ 1
g:N→N
n7→ 3nh:N→N n7→ n2+ 1 k:R→R x7→ x2.
D´eterminer, lorsque c’est possible les applications suivantes : f◦g,g◦f,f◦h,k◦fet k◦f◦g.
2. On consid`ere les applications
f:
R∗
+→R∗ +
x7→ 1
x
g:
R∗
+→R
x7→ x−1
x+ 1
.
Montrer que g◦f=−g. La composition f◦gexiste-t-elle ?
Exercice 8. Soient f:R→Ret g:R→Rtelles que f(x)=3x+ 1 et g(x) = x2−1.
A-t-on ´egalit´e des applications f◦get g◦f?
Exercice 9. D´eterminer si les applications suivantes sont injectives, surjectives, bijectives ou rien de
cela. Le(s) cas ´ech´eant(s), d´eterminer explicitement l’application r´eciproque.
•a:N→N
n7→ n+ 1
•b:Z→Z
n7→ n+ 1
•c:
R\ {1} → R
x7→ x+ 1
x−1
•d:R2→R2
(x, y)7→ (x+y, x −y)
•e:R2→R3
(x, y)7→ (2x+y, x −2y, xy).
•f:R→[0,+∞[
x7→ |x| − x.
•g:
R\{2} → R
x7→ 3+2x
2−x.
•h:R2→R
(x1, x2)7→ 3x1+ 4x2.
•i:]0,+∞[→]1,+∞[
x7→ ex+ 1
ex−1.
•j:
N→]0,+∞[
x7→ 1
1 + x2.
•k:R2→R
(x1, x2)7→ x2
1−2x2.
•l:
[0,+∞[→[1,+∞[
x7→ ex+e−x
2.
•m:
R→R
x7→ ex−e−x
2.
•n:R→R
x7→ ex+ 4e−x−2.
•o:
R2→R
(x1, x2)7→ 2x1−x2
4.
•p:N×N→N
(n, m)7→ n+m.
•q:N×N→N
(n, m)7→ n×m.
•r:R2→R2
(x, y)7→ (ey, x3+y).
•s:R2→R2
(x, y)7→ (sin(x), x −y).
2

Exercice 10.
1. La fonction f:
R→R
x7→ 2x
x2+ 1
est-elle injective ? Surjective ? Bijective ?
2. Montrer que la fonction g:[−1,1] →[−1,1]
x7→ f(x)est bijective.
Exercice 11. Soit f:[1,+∞[→[0,+∞[
x7→ x2−1.fest elle bijective ?
Exercice 12. Soit f:]− ∞,0] →[1,+∞[
x7→ √x2+ 1.Montrer que fest bijective et d´eterminer f−1.
Exercice 13. Dans chacun des cas suivants, d´eterminer f(I), v´erifier que fr´ealise une bijection de I
sur J=f(I) puis d´eterminer son application r´eciproque f−1.
1. f(x) = x2−4x+ 3 et I=] − ∞,2].
2. f(x) = 2x−1
x+ 2 et I=] −2,+∞[.
3. f(x) = √2x+ 3 −1 et I= [−3
2,+∞[.
4. f(x) = x
1 + |x|et I=R.
Exercice 14. Soient A,Bet Ctrois ensembles, f:A→Bet g:B→Cdeux applications et on note
h=g◦f:A→Cl’application compos´ee.
1. Montrer que si fet gsont injectives, alors hest injective.
2. Montrer que si fet gsont surjectives, alors hest surjective.
3. Montrer que si hest injective, alors fest injective.
4. Montrer que si hest surjective, alors gest surjective.
3 Fonctions usuelles
Exercice 15. R´esoudre sur leur domaine de validit´e les ´equations et in´equations suivantes.
• |x+ 2|=4
3.
•
3
2−x
= 3.
• |x|+ 5 = −1.
• |x−2|= 2 −x.
• |x+ 1|+|x|= 2.
• |5−4x|= 3x−2.
• |x+ 2|+|x−1|= 4.
•3
x−1−2 x+ 1 =1 x.
•2
x2−1−2 x2+ 1 =4 x2−1.
•√7x−1 = √x+ 7.
•√2x+ 1 = x−1.
•px(10 −x) = √−3−x.
•√x+x
√x−1= 2.
•√x2−8−2x=−5.
•x−2√x−8 = 0.
•1
3+ 2x > 3−x 2.
• −x+ 3 < x + 1 <−3x+ 7.
•√x+ 21 6√2x+ 3.
• |x−1|<|x+ 1|.
•2x+ 1
x+ 2 >0.
•1−x6√x2−1.
•√x2−462x+ 1.
3

Exercice 16. Donner les domaines de d´efinition maximale dans Rdes applications suivantes :
•f1(x) = √x−4√x+ 6.
•f2(x) = √x+ 1
|x+ 3|−|x|.
•f3(x) = √x+ 2
|x| − 3.
•f4(x) = √x+ 1
√x−1.
•f5(x) = √x−x2.
•f6(x) = 2x
x2−4−2 x2−2x.
•f7(x) = p1− |x−1|.
•f8(x) = cos2(x)−sin(x)
1 + sin(x).
•f9(x) = ln p(x).
•f10(x) = ln 1 + x
1−x.
•f11(x) = ln(x−√3−x).
•f12(x) = ln(x)sin(x).
•f13(x) = x−5
√2x−1−3.
•f14(x) = p−1−x2.
•f15(x) = 1
cos(2x).
•f16(x) = √x+ 1
sin(4x).
•f17(x) = pcos(2x).
•f18(x) = 1
tan(cos(√x)).
Exercice 17. Donner un encadrement de la fonction fsur l’intervalle Ilorsque
1. f(x) = |x−3|et I= [−5,4].
2. f(x) = 1
x+ 1 +x2et I= [0,5].
3. f(x) = √2x+ 3 et I= [1,5].
Exercice 18. Montrer que ∀x > 0,√x+ 1 −√x < 1
2√x.
Exercice 19. Donner les domaines de d´efinition Dfet Dgdes applications fet gsuivantes. Lorsque
c’est possible, simplifier fsur Dfet gsur Dg. En d´eduire ´eventuellement l’´egalit´e des fonctions fet g,
sinon d´eterminer la plus grande partie Ade Rsur laquelle les restrictions `a Ade fet gsont ´egales.
1. f(x) = x+|x|et g(x)=2x.
2. f(x) = x+ 1
x−1et g(x) = 1 x−1.
3. f(x) = |x|
xet g(x) = x+ 1 |x+ 1|.
4. f(x) = 1
x+√xet g(x) = x−√x
x2−x.
5. f(x) = (√3x−1)2et g(x) = p(3x−1)2.
Exercice 20.
1. (a) Pour tout x, y ∈R, exprimer cos(x−y), cos(x+y), sin(x+y) et sin(x−y) en fonction de
cos(x), cos(y), sin(x) et sin(y).
(b) En d´eduire une expression tan(x+y) et tan(x−y) en fonction de tan(x) et tan(y) en pr´ecisant
les valeurs de xet yqui conviennent.
2. (a) Pour tout xqui convient, donner une formule pour cos(2x) et sin(2x) en fonction de cos(x) et
sin(x) et une formule pour tan(2x) en fonction de tan(x).
(b) Lin´eariser les polynˆomes trigonom´etriques suivants : 1 + cos2(x) et cos3(x) + 2 sin2(x).
4

3. Pour tous pet qdans R, montrer les formules
cos p+ cos q= 2 cos p+q
2cos p−q 2,cos p−cos q=−2 sin p+q 2sin p−q 2,
sin p+ sin q= 2 sin p+q
2cos p−q 2,sin p−sin q= 2 sin p−q 2cos p+q 2.
4. Montrer que, avec t= tan x
2et pour des valeurs de xque l’on pr´ecisera, on a
cos x=1−t2
1 + t2,sin x=2t 1 + t2,tan x=2t 1−t2.
Exercice 21. Pour tout x∈R, montrer que
cos(3x) = 4 cos3(x)−3 cos(x).
Exercice 22. R´esoudre dans Rles ´equations suivantes.
cos 2x−5π
4= cos π 4−x.cos 2x+π 3= sin x+3π 4.
cos(2x) + √3 sin(2x) = −1.tan 3x= tan x.
cos(x) + cos(2x) + cos(3x)=0.cos4(x) + sin4(x)=1.
tan π
2−x=1 tan(x).cos(3x)=4√3 cos2(x)−6 cos(x).
2 sin2(x)−3 sin(x)−2=0.cos(3x) = sin(x).
cos2(x)−sin2(x) = sin(3x).cos4(x)−sin4(x)=1.
Exercice 23. Montrer, pour certaines valeurs de xqui seront pr´ecis´ees, que
1 + tan2x=1
cos2x.
Exercice 24. En ´etudiant deux fonctions, montrez l’in´egalit´e suivante, due `a Neper :
∀x∈R∗
+,x−1
x<ln x<x−1.
Exercice 25.
1. Montrer que pour tout x, y > 0, on a √xy ≤x+y
2.
2. En d´eduire que pour tout α, β > 1, on a pln(α) ln(β)≤ln √αβ.
Exercice 26. Montrer que, avec t= th x
2et pour des valeurs de xque l’on pr´ecisera, on a
ch(x) = 1 + t2
1−t2,sh(x) = 2t 1−t2et th(x) = 2t 1 + t2.
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