Aix–Marseille Université - Mathématiques II Parcours PEIP Planche 1 - Logique, applications et fonctions usuelles 1 Logique Exercice 1. Traduire à l’aide de quantificateurs les énoncés suivants. 1. Tout entier naturel est plus petit ou égal à son carré. 2. Si le produit de deux nombres réels est nul, alors un des deux facteurs est nul. 3. Tout ensemble non vide d’entiers naturels contient un plus petit élément. Exercice 2. Soit f : R → R une fonction. Traduire à l’aide de quantificateurs les énoncés suivants. 1. f est majorée. 2. f est bornée. 3. f ne s’annule jamais. 4. f est croissante. Exercice 3. Donner la négation des assertions ci-dessous puis déterminer si elles sont vraies ou fausses. 1. ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x + y > 0. 2. ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x + y > 0. 3. ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, y 2 > x. Exercice 4. Soit f une application de R dans R. Donner la négation des énoncés suivants. 1. Pour tout x ∈ R, f (x) ≤ 1. 2. L’application f est croissante. 3. L’application f est croissante et positive. 4. Il existe x ∈ R, x ≥ 0 tel que f (x) ≤ 0. 5. Il existe x ∈ R tel que quel que soit y ∈ R, si x < y alors f (x) > f (y). Exercice 5. Démontrer l’implication 0 ≤ x ≤ y ⇒ 0 ≤ x2 ≤ y 2 . Ecrire sa contraposée et sa réciproque. Déterminer si sa réciproque est vraie. 2 Applications Exercice 6. On considère la fonction f : R → R . Déterminer les ensembles suivants : x 7→ x2 f ([−3, −1]), f ([−2, −1]), f ([−3, −1]∪[−2, −1]), f −1 (]−∞, −2]), f −1 (]1, +∞]) et f −1 (]−∞, −2]∪]1, +∞]). Exercice 7. 1. On considère les applications f: → N R 2n n+1 7→ n g: N n → 7→ N 3n → N h: N k: 2 7→ n + 1 n R x → 7→ x R 2 . Déterminer, lorsque c’est possible les applications suivantes : f ◦ g, g ◦ f , f ◦ h, k ◦ f et k ◦ f ◦ g. 2. On considère les applications f: R∗+ x → R∗+ 1 7→ x g: R∗+ x → x−1 7 → x+1 R . Montrer que g ◦ f = −g. La composition f ◦ g existe-t-elle ? Soient f : R → R et g : R → R telles que f (x) = 3x + 1 et g(x) = x2 − 1. Exercice 8. A-t-on égalité des applications f ◦ g et g ◦ f ? Exercice 9. Déterminer si les applications suivantes sont injectives, surjectives, bijectives ou rien de cela. Le(s) cas échéant(s), déterminer explicitement l’application réciproque. • a: • b: • c: • d: • e: • f: • g: • h: N → n 7→ n + 1 N • k: Z → n 7→ n + 1 Z R \ {1} → x 7→ R2 → (x, y) 7→ R2 − 2x2 . [1, +∞[ ex + e−x x 7→ . 2 R → R • m: ex − e−x x 7→ . 2 R → R • n: x x 7→ e + 4e−x − 2. (x + y, x − y) R → [0, +∞[ x 7→ R2 (x1 , x2 ) 7→ R x21 [0, +∞[ → R3 (x, y) 7→ (2x + y, x − 2y, xy). x → • l: R x+1 x−1 R2 → R\{2} R2 • o: |x| − x. → R 3 + 2x 7 → . 2−x → R • p: • q: (x1 , x2 ) 7→ 3x1 + 4x2 . • r: ]0, +∞[ → ]1, +∞[ • i: ex + 1 x 7→ . ex − 1 N → ]0, +∞[ • j: 1 x 7→ . 1 + x2 • s: 2 R2 → (x1 , x2 ) 7→ N×N → (n, m) 7→ N×N → R 2x1 − x2 . 4 N n + m. N (n, m) 7→ n × m. R2 → R2 (x, y) 7→ (ey , x3 + y). R2 → (x, y) 7→ R2 (sin(x), x − y). Exercice 10. 1. La fonction f : R → x R est-elle injective ? Surjective ? Bijective ? 2x 2 x +1 7→ 2. Montrer que la fonction g : [−1, 1] → [−1, 1] 7→ x [1, +∞[ → [0, +∞[ f (x) est bijective. Exercice 11. Soit f : Exercice 12. Soit f : Exercice 13. Dans chacun des cas suivants, déterminer f (I), vérifier que f réalise une bijection de I x ] − ∞, 0] x 7→ x2 − 1. f est elle bijective ? → [1, +∞[ Montrer que f est bijective et déterminer f −1 . √ x2 + 1. 7→ sur J = f (I) puis déterminer son application réciproque f −1 . 1. f (x) = x2 − 4x + 3 et I =] − ∞, 2]. 2x − 1 2. f (x) = et I =] − 2, +∞[. x+2 √ 3. f (x) = 2x + 3 − 1 et I = [ −3 2 , +∞[. x 4. f (x) = et I = R. 1 + |x| Exercice 14. Soient A, B et C trois ensembles, f : A → B et g : B → C deux applications et on note h = g ◦ f : A → C l’application composée. 1. Montrer que si f et g sont injectives, alors h est injective. 2. Montrer que si f et g sont surjectives, alors h est surjective. 3. Montrer que si h est injective, alors f est injective. 4. Montrer que si h est surjective, alors g est surjective. 3 Fonctions usuelles Exercice 15. 4 • |x + 2| = . 3 3 • − x = 3. 2 • |x| + 5 = −1. • |x − 2| = 2 − x. • |x + 1| + |x| = 2. • |5 − 4x| = 3x − 2. Résoudre sur leur domaine de validité les équations et inéquations suivantes. • |x + 2| + |x − 1| = 4. 2 1 3 − = . • x−1 x+1 x 2 2 4 • 2 − 2 = 2 . x − 1 x √+ 1 x −1 √ • 7x − 1 = x + 7. √ • 2x + 1 = x − 1. p √ • x(10 − x) = −3 − x. • • • • • • 3 √ x+x √ = 2. √x − 1 x2 − 8 − 2x = −5. √ x − 2 x − 8 = 0. 1 x + 2x > 3 − . 3 2 −x + 3 < x + 1 < −3x + 7. √ √ x + 21 6 2x + 3. • |x − 1| < |x + 1|. 2x + 1 • > 0. x+2 √ • 1 − x 6 x2 − 1. √ • x2 − 4 6 2x + 1. Exercice 16. • • • • • • • √ √ x√− 4 x + 6. x+1 . f2 (x) = |x + √ 3| − |x| x+2 f3 (x) = . |x| √ −3 x+1 f4 (x) = √ . √x − 1 f5 (x) = x − x2 . 2x 2 f6 (x) = 2 − 2 . x − 4 x − 2x p f7 (x) = 1 − |x − 1|. cos2 (x) − sin(x) . f8 (x) = 1p+ sin(x) f9 (x) = ln (x) . • f1 (x) = • Donner les domaines de définition maximale dans R des applications suivantes : Exercice 17. • • • • • • • • • 1+x f10 (x) = ln . 1 −√x f11 (x) = ln(x − 3 − x). sin(x) f12 (x) = ln(x) . x−5 f13 (x) = √ . p2x − 1 − 3 f14 (x) = −1 − x2 . 1 f15 (x) = . cos(2x) √ x+1 f16 (x) = . sin(4x) p f17 (x) = cos(2x). 1 √ . f18 (x) = tan(cos( x)) Donner un encadrement de la fonction f sur l’intervalle I lorsque 1. f (x) = |x − 3| et I = [−5, 4]. 1 2. f (x) = + x2 et I = [0, 5]. x+1 √ 3. f (x) = 2x + 3 et I = [1, 5]. Exercice 18. √ √ 1 Montrer que ∀x > 0, x + 1 − x < √ . 2 x Exercice 19. Donner les domaines de définition Df et Dg des applications f et g suivantes. Lorsque c’est possible, simplifier f sur Df et g sur Dg . En déduire éventuellement l’égalité des fonctions f et g, sinon déterminer la plus grande partie A de R sur laquelle les restrictions à A de f et g sont égales. 1. f (x) = x + |x| et g(x) = 2x. x+1 1 2. f (x) = et g(x) = . x−1 x−1 |x| x+1 3. f (x) = et g(x) = . x |x + 1| √ 1 x− x √ et g(x) = 2 4. f (x) = . x −x x+ x p √ 5. f (x) = ( 3x − 1)2 et g(x) = (3x − 1)2 . Exercice 20. 1. (a) Pour tout x, y ∈ R, exprimer cos(x − y), cos(x + y), sin(x + y) et sin(x − y) en fonction de cos(x), cos(y), sin(x) et sin(y). (b) En déduire une expression tan(x + y) et tan(x − y) en fonction de tan(x) et tan(y) en précisant les valeurs de x et y qui conviennent. 2. (a) Pour tout x qui convient, donner une formule pour cos(2x) et sin(2x) en fonction de cos(x) et sin(x) et une formule pour tan(2x) en fonction de tan(x). (b) Linéariser les polynômes trigonométriques suivants : 1 + cos2 (x) et cos3 (x) + 2 sin2 (x). 4 3. Pour tous p et q dans R, montrer les formules cos p + cos q = 2 cos p+q p−q cos , 2 2 cos p − cos q = −2 sin sin p + sin q = 2 sin p+q p−q cos , 2 2 sin p − sin q = 2 sin p+q p−q sin , 2 2 p−q p+q cos . 2 2 4. Montrer que, avec t = tan x2 et pour des valeurs de x que l’on précisera, on a cos x = Exercice 21. 1 − t2 , 1 + t2 sin x = 2t , 1 + t2 tan x = 2t . 1 − t2 Pour tout x ∈ R, montrer que cos(3x) = 4 cos3 (x) − 3 cos(x). Exercice 22. Résoudre dans R les équations suivantes. cos 2x − cos(2x) + 5π 4 √ = cos π 4 −x . cos 2x + 3 sin(2x) = −1. 3π 4 . cos(3x) = sin(x). 2 cos4 (x) − sin4 (x) = 1. Montrer, pour certaines valeurs de x qui seront précisées, que 1 + tan2 x = Exercice 24. = sin x + cos4 (x) + sin4 (x) = 1. √ cos(3x) = 4 3 cos2 (x) − 6 cos(x). cos (x) − sin (x) = sin(3x). Exercice 23. tan 3x = tan x. cos(x) + cos(2x) + cos(3x) = 0. π 1 tan −x = . 2 tan(x) 2 sin2 (x) − 3 sin(x) − 2 = 0. 2 π 3 1 . cos2 x En étudiant deux fonctions, montrez l’inégalité suivante, due à Neper : x−1 < ln x < x − 1. x ∀x ∈ R∗+ , Exercice 25. √ x+y xy ≤ . 2 p √ 2. En déduire que pour tout α, β > 1, on a ln(α) ln(β) ≤ ln αβ . 1. Montrer que pour tout x, y > 0, on a Exercice 26. Montrer que, avec t = th ch(x) = 1 + t2 , 1 − t2 x 2 et pour des valeurs de x que l’on précisera, on a sh(x) = 2t 1 − t2 5 et th(x) = 2t . 1 + t2