ANGLES ORIENTES I . Cercle trigonométrique et mesures d`un

ANGLES ORIENTES
I . Cercle trigonométrique et mesures d’un angle orienté :
Définition : Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1, muni d’un sens de parcours direct et d’une
origine.
Mesures principales : (en radians)
A tout réel x, on associe un point M par enroulement
de la droite des réels.
Le réel x compris entre –
et
est la mesure
principale de l’angle orienté :
,OA OM
, c’est la
longueur de l’arc
AM
avec le signe donné par
l’orientation du cercle.
Pour convertir :
180 rd
Exercice1 : convertir en degrés :
2;
36
convertir en radians : 150° ; 40°.
Autres mesures : (en radians)
Si x est une mesure de l’angle orienté :
,OA OM
alors les autres mesures de cet angle sont les réels qui
s’écrivent :
x k(2 ) , k
On écrit
,OA OM
=
x k(2 ) , k
Par exemple :
L’angle nul mesure :
L’angle plat mesure :
L’angle droit direct mesure :
Exercice 2 : déterminer la mesure principale de
17 7
; ; 23 ; 2005 .
34
Exercice 3 :
Déterminer une mesure des angles
OA;OB ; OC;OA ; DC;AF ; AF;OC
.
oA
B
A'
B'
oA
B
A'
B'
oA
BC
D
E F

Remarque : Si
BAC
alors
AB;AC 
ou
AB;AC 
Cas particuliers :
u;u .........; u; u .........  
II Propriétés :
Relation de Chasles : Pour trois vecteurs non nuls :
u;v v;w
…….
Conséquences :
v;u ...............; u; v .....................; u; v     
……………….
Vecteurs colinéaires :
Deux vecteurs non nuls
u
et
v
sont colinéaires si et seulement si
u;v 
………ou
u;v 
…..
Deux vecteurs non nuls
u
et
v
sont orthogonaux si et seulement si
u;v 
…....ou
u;v 
…..
Angles associés :
Si
OA;OM
alors
OA;OP 
OA;OQ 
OA;ON 
III. Cosinus et sinus d’un réel :
Définition : Dans le repère
,,O OA OB
:
L’abscisse de M est cosx
L’ordonnée de M est sinx
Exemples
cos 0 =.. sin 0 =..
cos 2
..
sin ..
2
cos( )
2
..
sin( ) ..
2
cos
..
o
M
P
QN
A
oA
B
A'
B'
M

Valeurs particulières :
6
4
3
2
Cos
Sin
Exercice 4 : Calculer :
22
cos sin cos sin
3 3 4 4
Angles associés :
cos( x) ............... sin( x) ............   
cos(x ) .................... sin(x ) .....................
cos( x) .................. sin( x) ....................
cos x .................. sin x ..............
22
Propriétés :
1 cos 1x  
1 sin 1x  
22
cos sin 1xx
cos 2 cosxx
sin 2 sinxx
Exercice 5 : Construire les points du cercle trigonométrique associés à la valeur donnée
a)
22
cosx
valeurs de x possibles ? b)
22
sin y
valeurs de y possibles ?
Exercice 6 : a)
22
x
et
1
sin 2 x
; calculer
cosx
b)
0x
et
cos 0.2x
; calculer
sin x
IV. Equations trigonométriques
cosx
et
sin x
 L’équation
cos cosxa
a pour solutions les réels
2x a k
et
2x a k
où
k
.
 L’équation
sin sinxa
a pour solutions les réels
2x a k
et
2x a k
où
k
.