ANGLES ORIENTES I . Cercle trigonométrique et mesures d`un

ANGLES ORIENTES
I . Cercle trigonométrique et mesures d’un angle orienté :
Définition : Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1, muni d’un sens de parcours direct et d’une
origine.
B
Mesures principales : (en radians)
A tout réel x, on associe un point M par enroulement
de la droite des réels.
Le réel x compris entre –  et  est la mesure
principale de l’angle orienté : OA, OM , c’est la


o
A'
longueur de l’arc AM avec le signe donné par
l’orientation du cercle.
Pour convertir : 180   rd
2

;
3
6
convertir en radians : 150° ; 40°.
A
Exercice1 : convertir en degrés :
B'
B
Autres mesures : (en radians)

Si x est une mesure de l’angle orienté : OA, OM

alors les autres mesures de cet angle sont les réels qui
s’écrivent : x  k(2 ) , k 
On écrit
OA, OM  = x  k(2 )
,
k
o
A'
Par exemple :
L’angle nul mesure :
L’angle plat mesure :
L’angle droit direct mesure :
B'
Exercice 2 : déterminer la mesure principale de
17
7
;
; 23 ; 2005 .
3
4
Exercice 3 :
C
B
Déterminer une mesure des angles
OA;OB ; OC;OA ; DC;AF ; AF;OC .

o
D
E
A
F
 
 
 

A
ou  AB; AC  
 AB; AC 
 u;u   .........;
 u; u   .........
Remarque : Si BAC   alors
Cas particuliers :
II Propriétés :
 u; v   v; w   …….
u; v   .....................;  u; v  ……………….
Relation de Chasles : Pour trois vecteurs non nuls :
 v;u   ...............;
Conséquences :
Vecteurs colinéaires :
Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires si et seulement si
 u; v   ………ou  u; v   …..
Deux vecteurs non nuls u et v sont orthogonaux si et seulement si
 u; v   …....ou  u; v   …..
Angles associés :

o

Si OA;OM   alors
M
P
A
N
Q
III. Cosinus et sinus d’un réel :


Définition : Dans le repère O, OA, OB :
B
L’abscisse de M est cosx
L’ordonnée de M est sinx
Exemples
cos 0 =..

cos( )  ..
2
sin 0 =..
cos


2
 .. sin
sin( )  .. cos   ..
2

2
 ..
A'
o
B'
M
A
 OA;OP  
 OA;OQ 
 OA;ON  
Valeurs particulières :


6
Cos 

4

3

2
Sin 
 2 
 2 
 
 
Exercice 4 : Calculer : cos 
 sin 
 cos    sin   
 3 
 3 
 4
 4
Angles associés : cos(x)  ............... sin(x)  ............ cos(x   )  .................... sin(x   )  .....................




cos(  x)  .................. sin(  x)  .................... cos   x   .................. sin   x   ..............
2

2

Propriétés :
1  cos x  1
1  sin x  1
cos  x  2   cos x
 cos x    sin x   1
sin  x  2   sin x
2
2
Exercice 5 : Construire les points du cercle trigonométrique associés à la valeur donnée
a) cos x  2 2 valeurs de x possibles ?
b) sin y   2 2 valeurs de y possibles ?


1
; calculer cos x
2
2
2
b)   x  0 et cos x  0.2 ; calculer sin x
Exercice 6 : a) 
x
et sin x  
IV. Equations trigonométriques cos x   et sin x  

L’équation cos x  cos a a pour solutions les réels x  a  2k et x  a  2k où k 

L’équation sin x  sin a a pour solutions les réels x  a  2k et x    a  2k où k 
.
.