Lois de probabilité usuelles : Liste complète

Liste de lois de probabilité usuelles
1 Lois de probabilité finies
Variable aléatoire
XParamètres Valeurs images
X(Ω) Loi de probabilité Espérance E(X)
Variance
V(X)Modélisation
certaine
X →aa∈R{a}P(X=a)=1 a0-loi des issues certaines
-résultat constant
uniforme
X → U(n)n∈N?J1, nKP(X=k) = 1
n
n+ 1
2n2−1 12 -loi des choix équiprobables
-lancer d’un dé équilibré à nfaces
numérotées de 1àn
Bernoulli
X → B(p)
p∈[0,1]
q= 1 −p∈[0,1] {0,1}P(X= 1) = p P(X= 0) = qp pq
-loi des choix binaires
-épreuve de Bernoulli
-lancer d’une pièce déséquilibrée
à faces numérotées 0et 1
(p=probabilité d’obtenir 1)
binomiale
X → B(n, p)
(B(1, p) = B(p))
n∈N
p∈[0,1]
q= 1 −p∈[0,1]
J0, nKP(X=k) = n
kpkqn−knp npq
-schéma de Bernoulli
-somme des résultats de
nlancers d’une pièce déséquilibrée
à faces numérotées 0et 1
(p=probabilité d’obtenir 1)
-nombre de succès de ntirages
avec remise (p=proba. de succès)
hypergéométrique
X → H(N, n, p)
N∈N\ {0,1}
n∈J0, NK
p∈[0,1] tel que Np ∈N
Nq =N−Np ∈N
Jmax{0, n−Nq},
min{Np, n}K
⊂J0, nK
P(X=k) = Np
k Nq n−k
N
nnp npq N−n
N−1
-nombre de succès de ntirages
sans remise parmi Nobjets
(p=proba. de succès au 1er tirage)
-H(N, n, p)≈ B(n, p)pour N
n→+∞
: formules non exigibles mais à savoir démontrer (pour la variance de la loi uniforme : formule de Koenig-Huygens et théorème de transfert puis sommes des premiers entiers
et des premiers carrés ; pour la variance de la loi hypergéométrique (et de la loi binomiale) : calcul de E(X(X−1)) avec deux fois la formule du pion puis la formule de
Vandermonde (la formule du binôme de Newton pour la loi binomiale) ensuite linéarité de l’espérance et formule de Koenig-Huygens).
BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017 1 sur ?? Sébastien Godillon

2 Lois de probabilité discrètes
Variable aléatoire
XParamètres Valeurs images
X(Ω) Loi de probabilité Espérance E(X)
Variance
V(X)Modélisation
Poisson
X → P(λ)λ∈[0,+∞[NP(X=k) = λk
k!e−λλ λ
-loi des événements rares
-nombre d’occurrences dans
un intervalle de temps fixé
(λ=nb. moyen d’occurrences)
-P(λ)≈ B(n, λ/n)pour n→+∞
géométrique
X → G(p)
p∈[0,1]
q= 1 −p∈[0,1]
N?P(X=k) = qk−1p1
p
q
p2
-premier succès d’une suite
illimitées d’épreuves de Bernoulli
indépendantes B(p)
-loi sans mémoire :
P(X>T)(X>T+k) = P(X>k)
3 Lois de probabilité à densité
Variable aléatoire
XParamètres Valeurs images
X(Ω) Fonction de densité Espérance E(X)
Variance
V(X)Modélisation
uniforme
X → U(a, b)
(a, b)∈R2
tels que a<b [a, b]fX(t) = (1
b−asi a6t6b
0sinon
b+a
2
(b−a)2
12
-loi des générateurs de nombres
aléatoires (informatique)
-choix d’un nombre réel au hasard
dans l’intervalle [a, b]
exponentielle
X → E(λ)λ∈]0,+∞[R+fX(t) = λe−λt si t>0
0sinon
1
λ
1
λ2
-durée de vie d’un phénomène
sans vieillissement
(λ= 1/«durée de vie moyenne»)
-temps d’attente dans une file
-loi sans mémoire :
P(X>T)(X>T+t) = P(X>t)
-E(λ)≈nG(λ/n)pour n→+∞
normale
ou gaussienne
X → N(µ, σ2)
µ∈R
σ∈]0,+∞[
RfX(t) = 1
σ√2πexp −1
2t−µ σ2µ σ2
-loi des courbes en cloche
-distribution statistique pour
une grande population
-théorème central limite : la somme
de variables aléatoires indépendantes
de même loi tend vers une gaussienne
BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017 2 sur ?? Sébastien Godillon