2 Lois de probabilité discrètes
Variable aléatoire
XParamètres Valeurs images
X(Ω) Loi de probabilité Espérance
E(X)
Variance
V(X)Modélisation
Poisson
X → P(λ)λ∈[0,+∞[NP(X=k) = λk
k!e−λλ λ
-loi des événements rares
-nombre d’occurrences dans
un intervalle de temps fixé
(λ=nb. moyen d’occurrences)
-P(λ)≈ B(n, λ/n)pour n→+∞
géométrique
X → G(p)
p∈[0,1]
q= 1 −p∈[0,1]
N?P(X=k) = qk−1p1
p
q
p2
-premier succès d’une suite
illimitées d’épreuves de Bernoulli
indépendantes B(p)
-loi sans mémoire :
P(X>T)(X>T+k) = P(X>k)
3 Lois de probabilité à densité
Variable aléatoire
XParamètres Valeurs images
X(Ω) Fonction de densité Espérance
E(X)
Variance
V(X)Modélisation
uniforme
X → U(a, b)
(a, b)∈R2
tels que a<b [a, b]fX(t) = (1
b−asi a6t6b
0sinon
b+a
2
(b−a)2
12
-loi des générateurs de nombres
aléatoires (informatique)
-choix d’un nombre réel au hasard
dans l’intervalle [a, b]
exponentielle
X → E(λ)λ∈]0,+∞[R+fX(t) = λe−λt si t>0
0sinon
1
λ
1
λ2
-durée de vie d’un phénomène
sans vieillissement
(λ= 1/«durée de vie moyenne»)
-temps d’attente dans une file
-loi sans mémoire :
P(X>T)(X>T+t) = P(X>t)
-E(λ)≈nG(λ/n)pour n→+∞
normale
ou gaussienne
X → N(µ, σ2)
µ∈R
σ∈]0,+∞[
RfX(t) = 1
σ√2πexp −1
2t−µ
σ2µ σ2
-loi des courbes en cloche
-distribution statistique pour
une grande population
-théorème central limite : la somme
de variables aléatoires indépendantes
de même loi tend vers une gaussienne
BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017 2 sur ?? Sébastien Godillon