Liste de lois de probabilité usuelles

Liste de lois de probabilité usuelles
1
Lois de probabilité finies
Variable aléatoire
Valeurs images
Paramètres
X(Ω)
X
certaine
a∈R
X ,→ a
uniforme
n∈N
X ,→ U(n)
?
Bernoulli
p ∈ [0, 1]
X ,→ B(p)
q = 1 − p ∈ [0, 1]
Loi de probabilité
X ,→ B(n, p)
p ∈ [0, 1]
(B(1, p) = B(p))
q = 1 − p ∈ [0, 1]
X ,→ H(N, n, p)
n ∈ J0, N K
p ∈ [0, 1] tel que N p ∈ N
Nq = N − Np ∈ N
V (X)
0
a
J1, nK
1
P (X = k) =
n
n+1
2
P (X = 1) = p
P (X = 0) = q
n k n−k
P (X = k) =
p q
k
J0, nK
N ∈ N \ {0, 1}
hypergéométrique
E(X)
P (X = a) = 1
{0, 1}
Variance
{a}
n∈N
binomiale
Espérance
Jmax{0, n−N q},
min{N p, n}K
⊂ J0, nK
Np
Nq
k
n−k
P (X = k) =
N
n
p
n2 − 1
12
Modélisation
-loi des issues certaines
-résultat constant
pq
-loi des choix équiprobables
-lancer d’un dé équilibré à n faces
numérotées de 1 à n
-loi des choix binaires
-épreuve de Bernoulli
-lancer d’une pièce déséquilibrée
à faces numérotées 0 et 1
(p =probabilité d’obtenir 1)
np
npq
-schéma de Bernoulli
-somme des résultats de
n lancers d’une pièce déséquilibrée
à faces numérotées 0 et 1
(p =probabilité d’obtenir 1)
-nombre de succès de n tirages
avec remise (p =proba. de succès)
np
N −n
npq
N −1
-nombre de succès de n tirages
sans remise parmi N objets
(p =proba. de succès au 1er tirage)
-H(N, n, p) ≈ B(n, p) pour N
n → +∞
? : formules non exigibles mais à savoir démontrer (pour la variance de la loi uniforme : formule de Koenig-Huygens et théorème de transfert puis sommes des premiers entiers
et des premiers carrés ; pour la variance de la loi hypergéométrique (et de la loi binomiale) : calcul de E(X(X − 1)) avec deux fois la formule du pion puis la formule de
Vandermonde (la formule du binôme de Newton pour la loi binomiale) ensuite linéarité de l’espérance et formule de Koenig-Huygens).
BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017
1 sur ??
Sébastien Godillon
2
Lois de probabilité discrètes
Variable aléatoire
Valeurs images
Paramètres
X(Ω)
X
Poisson
λ ∈ [0, +∞[
X ,→ P(λ)
3
Loi de probabilité
P (X = k) =
N
géométrique
p ∈ [0, 1]
X ,→ G(p)
q = 1 − p ∈ [0, 1]
N?
λk −λ
e
k!
Espérance
Variance
E(X)
V (X)
λ
1
p
P (X = k) = q k−1 p
Modélisation
λ
-loi des événements rares
-nombre d’occurrences dans
un intervalle de temps fixé
(λ =nb. moyen d’occurrences)
-P(λ) ≈ B(n, λ/n) pour n → +∞
q
p2
-premier succès d’une suite
illimitées d’épreuves de Bernoulli
indépendantes B(p)
-loi sans mémoire :
P(X>T ) (X > T + k) = P (X > k)
Lois de probabilité à densité
Variable aléatoire
Paramètres
X
uniforme
(a, b) ∈ R2
X ,→ U(a, b)
tels que a < b
exponentielle
X ,→ E(λ)
normale
ou gaussienne
X ,→ N (µ, σ 2 )
Valeurs images
X(Ω)
Fonction de densité
(
[a, b]
fX (t) =
1
si a 6 t 6 b
b−a
0 sinon
λ ∈]0, +∞[
R+
µ∈R
σ ∈]0, +∞[
BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017
R
fX (t) =
fX (t) =
λe−λt si t > 0
0 sinon
1
√ exp − 21
σ 2π
2 sur ??
t−µ 2
σ
Espérance
Variance
E(X)
V (X)
b+a
2
(b − a)2
12
-loi des générateurs de nombres
aléatoires (informatique)
-choix d’un nombre réel au hasard
dans l’intervalle [a, b]
1
λ2
-durée de vie d’un phénomène
sans vieillissement
(λ = 1/«durée de vie moyenne»)
-temps d’attente dans une file
-loi sans mémoire :
P(X>T ) (X > T + t) = P (X > t)
-E(λ) ≈ nG(λ/n) pour n → +∞
1
λ
µ
σ2
Modélisation
-loi des courbes en cloche
-distribution statistique pour
une grande population
-théorème central limite : la somme
de variables aléatoires indépendantes
de même loi tend vers une gaussienne
Sébastien Godillon