Liste de lois de probabilité usuelles
1 Lois de probabilité finies
Variable aléatoire
XParamètres Valeurs images
X(Ω) Loi de probabilité Espérance
E(X)
Variance
V(X)Modélisation
certaine
X aaR{a}P(X=a)=1 a0-loi des issues certaines
-résultat constant
uniforme
X → U(n)nN?J1, nKP(X=k) = 1
n
n+ 1
2n21
12 -loi des choix équiprobables
-lancer d’un dé équilibré à nfaces
numérotées de 1àn
Bernoulli
X → B(p)
p[0,1]
q= 1 p[0,1] {0,1}P(X= 1) = p
P(X= 0) = qp pq
-loi des choix binaires
-épreuve de Bernoulli
-lancer d’une pièce déséquilibrée
à faces numérotées 0et 1
(p=probabilité d’obtenir 1)
binomiale
X → B(n, p)
(B(1, p) = B(p))
nN
p[0,1]
q= 1 p[0,1]
J0, nKP(X=k) = n
kpkqnknp npq
-schéma de Bernoulli
-somme des résultats de
nlancers d’une pièce déséquilibrée
à faces numérotées 0et 1
(p=probabilité d’obtenir 1)
-nombre de succès de ntirages
avec remise (p=proba. de succès)
hypergéométrique
X → H(N, n, p)
NN\ {0,1}
nJ0, NK
p[0,1] tel que Np N
Nq =NNp N
Jmax{0, nNq},
min{Np, n}K
J0, nK
P(X=k) = Np
k Nq
nk
N
nnp npq Nn
N1
-nombre de succès de ntirages
sans remise parmi Nobjets
(p=proba. de succès au 1er tirage)
-H(N, n, p)≈ B(n, p)pour N
n+
: formules non exigibles mais à savoir démontrer (pour la variance de la loi uniforme : formule de Koenig-Huygens et théorème de transfert puis sommes des premiers entiers
et des premiers carrés ; pour la variance de la loi hypergéométrique (et de la loi binomiale) : calcul de E(X(X1)) avec deux fois la formule du pion puis la formule de
Vandermonde (la formule du binôme de Newton pour la loi binomiale) ensuite linéarité de l’espérance et formule de Koenig-Huygens).
BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017 1 sur ?? Sébastien Godillon
2 Lois de probabilité discrètes
Variable aléatoire
XParamètres Valeurs images
X(Ω) Loi de probabilité Espérance
E(X)
Variance
V(X)Modélisation
Poisson
X → P(λ)λ[0,+[NP(X=k) = λk
k!eλλ λ
-loi des événements rares
-nombre d’occurrences dans
un intervalle de temps fixé
(λ=nb. moyen d’occurrences)
-P(λ)≈ B(n, λ/n)pour n+
géométrique
X → G(p)
p[0,1]
q= 1 p[0,1]
N?P(X=k) = qk1p1
p
q
p2
-premier succès d’une suite
illimitées d’épreuves de Bernoulli
indépendantes B(p)
-loi sans mémoire :
P(X>T)(X>T+k) = P(X>k)
3 Lois de probabilité à densité
Variable aléatoire
XParamètres Valeurs images
X(Ω) Fonction de densité Espérance
E(X)
Variance
V(X)Modélisation
uniforme
X → U(a, b)
(a, b)R2
tels que a<b [a, b]fX(t) = (1
basi a6t6b
0sinon
b+a
2
(ba)2
12
-loi des générateurs de nombres
aléatoires (informatique)
-choix d’un nombre réel au hasard
dans l’intervalle [a, b]
exponentielle
X → E(λ)λ]0,+[R+fX(t) = λeλt si t>0
0sinon
1
λ
1
λ2
-durée de vie d’un phénomène
sans vieillissement
(λ= 1/«durée de vie moyenne»)
-temps d’attente dans une file
-loi sans mémoire :
P(X>T)(X>T+t) = P(X>t)
-E(λ)nG(λ/n)pour n+
normale
ou gaussienne
X → N(µ, σ2)
µR
σ]0,+[
RfX(t) = 1
σ2πexp 1
2tµ
σ2µ σ2
-loi des courbes en cloche
-distribution statistique pour
une grande population
-théorème central limite : la somme
de variables aléatoires indépendantes
de même loi tend vers une gaussienne
BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017 2 sur ?? Sébastien Godillon
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