TES A-B Devoir n°6 –sujet 1 mardi 10 février 2015 NOM

TES A-B
NOM : ………………………………………………
Devoir n°6 –sujet 1
mardi 10 février 2015
Prénom : ……………………………………….
Exercice 1 : (3 points)
Un opérateur de téléphonie mobile organise une campagne de démarchage par téléphone pour proposer la
souscription d’un nouveau forfait à sa clientèle, composée à 65% d’hommes.
Des études préalables ont montré que 30% des hommes contactés écoutent les explications, les autres raccrochant
aussitôt (ou se déclarant immédiatement non intéressés). Parmi les femmes, 60% écoutent les explications. On
admet que ce propositions restent stables.
E
,,,,,
On choisit au hasard une personne dans le fichier client.
Chaque personne à la même probabilité d’être choisie. On
note H l’évènement « la personne choisie est un homme »,
F l’évènement « la personne choisie est une femme », E
l’évènement « la personne choisie écoute les explications
du démarcheur » et l’évènement contraire de E.
H
,,,,
0,65
E
,,,,
E
1. Compléter l’arbre de probabilité proposé ci0,6
contre :
F
2. Traduire par une phrase l’évènement
et
,,,,
calculer sa probabilité
E
3. Montrer que la probabilité que la personne choisie
écoute les explications du démarcheur est égale à 0,405
4. Le démarcheur s’adresse à une personne qui l’écoute. Quelle est la probabilité que ce soit un homme ? On
donnera le résultat arrondi au centième.
Exercice 2 : (4 points)
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [1 ;10] par
1. Montrer que pour tout réel x de l’intervalle [1 ;10] on a :
2. Construire en le justifiant le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [1 ;10]
3. En déduire le nombre de solutions de l’équation f(x)=3 dans l’intervalle [1 ;10]
4. La courbe représentative de f admet-elle un point d’inflexion dans l’intervalle [1 ;10]? Justifier.
Exercice 3 : (4 points)
Soit g la fonction définie sur [-2 ;5] par
.
On note C sa courbe représentative.
1. a. Calculer g’(x)
b. En déduire les variations de g
2. Montrer que l’équation réduite de la tangente D à la courbe C au point d’abscisse 0 est y=2-x
3. a. Calculer g’’(x)
b. Sur quel intervalle la fonction g est-elle convexe ? Justifier.
Exercice 4 : (4 points)
On considère une fonction f définie sur l’intervalle [-1 ;3], deux fois
dérivable sur cet intervalle et dont la représentation dans un repère
orthonormé est proposée ci-contre.
On désigne par f’ la fonction dérivée de f et par f’’ la fonction dérivée
seconde de f.
La droite D est tangente à au point A d’abscisse 1, seul point en lequel
la courbe traverse la tangente. L’axe des abscisses est tangent à au
point d’abscisse 2. La tangente à au point d’abscisse 0 est la droite
d’équation y=4
Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des quatre propositions
est exacte. Entourer la bonne proposition
1. a. f est convexe sur l’intervalle [-1 ;0[
c. f est convexe sur l’intervalle ]1 ;3[
2. a. f(1)=5
c. f’’(1)=-3
3. a. f’(x)>0 pour tout x de l’intervalle]-1 ;2[
c. f(x)=0 si et seulement si x=0 ou x=2
4. a. f’ est croissante sur l’intervalle ]-1 ;2[
c. f est croissante sur l’intervalle ]-1 ;2[
b. f est concave sur l’intervalle ]1 ;2[
d.
est au-dessus de sa tangente au point d’abscisse -1
b. f’(1)=2
d. la tangente à
au point d’abscisse 1 a pour équation y=-3x+5
b. f’ est croissante sur l’intervalle ]1 ;2[
d. f’(x) 0 pour tout x de l’intervalle ]-1 ;2[
b. f’’ est négative sur ]-1 ;1[
d. f’(-1)<f’(1)
Exercice 5 : (5 points)
Une entreprise vend du sable à maçonner dont le prix est compris entre 10 et 80€ la tonne.


1.
La demande f(x) est la quantité de sable, en millier de tonnes, que les consommateurs sont près à acheter au
prix de x dizaines d’euros la tonne.
On admet que
L’offre g(x) est la quantité de sable, en millier de tonnes, que les producteurs sont prêts à vendre au prix de x
dizaines d’euros la tonne.
On admet que
a. Etudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [1 ;8]
b. Résoudre l’inéquation
2. En déduire le prix à partir duquel la demande est inférieure ou égale à 3500 tonnes, à 0,1€ près.
3. On appelle prix d’équilibre du produit le prix pour lequel l’offre et la demande sont égales.
On pose
a. Justifier que la fonction d est strictement décroissante sur l’intervalle [1 ;8]
b. Montrer que l’équation d(x)=0 admet une unique solution sur [1 ;8]
A l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur arrondie de à 0,01 près.
c. En déduire la valeur arrondie du prix d’équilibre, à l’euro près, et la demande correspondant au prix
d’équilibre, à la dizaine de tonnes près.
Corrigé
exercice 1 :
3 pts
1. Compléter l’arbre de probabilité proposé ci-contre :
E
0,3
H
0,7
0,65
E
0.5pt
0,35
E
0,6
F
0,4
E
2.
0.5pt
D’après l’arbre : p( E  F )  0.35  0.6  0.21
1pt
3. On cherche donc
1pt
exercice 2 :
1. a. f est convexe sur l’intervalle [-1 ;0[
c. f est convexe sur l’intervalle ]1 ;3[
2. a. f(1)=5
c. f’’(1)=-3
b. f est concave sur l’intervalle ]1 ;2[
d. est au-dessus de sa tangente au point d’abscisse -1
b. f’(1)=2
d. la tangente à
3. a. f’(x)>0 pour tout x de l’intervalle]-1 ;2[
c. f(x)=0 si et seulement si x=0 ou x=2
4 pts
1pt/
question
au point d’abscisse 1 a pour équation y=-3x+5
b. f’ est croissante sur l’intervalle ]1 ;2[
d. f’(x) 0 pour tout x de l’intervalle ]-1 ;2[
4. a. f’ est croissante sur l’intervalle ]-1 ;2[
c. f est croissante sur l’intervalle ]-1 ;2[
b. f’’ est négative sur ]-1 ;1[
d. f’(-1)<f’(1)
exercice 3 :
4 pts
0.5pt
1.
2.
x
1
1
Signe de
Signe de x
Signe de f’(x)
+
+
+
Variation de f
3
2
2
0
0
4.9
2
5
3
+
-
0
+
+
+
0
10
1.5pt
21.1
3
3
2.2
3. D’après le tableau de variation et le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x)=3
admet 3 solutions dans l’intervalle [1 ;10]
0.5pt
4.
x
1
10
Signe de
0
+
Signe de
+
+
Signe de f’’(x)
0
+
La courbe représentative de f admet un point d’inflexion au point d’abscisse
en changeant de signe une fois.
exercice 4
1.5pts
car f  s’annule
1. a.
4 pts
1pt
b. –
x
Signe de –x-1
Signe de
Signe de g’(x)
Variation de g
-2
+
+
+
-1
0
5
+
-
0
2.72
1pt
0
0.05
0.5 pt
0.5pt
2. D a pour équation
3. a.
b.
x
-2
Signe de x
0
5
- 0 +
+
+
Signe de g’’(x)
- 0 +
La fonction g est convexe sur l’intervalle ]0 ;5[
exercice 5
1.
a.
intervalle.
1pt
x>0 donc f’(x)<0 dans l’intervalle [1 ;8] donc f est décroissante sur cet
b.
 25 
S  e 13 ;8


5 pts
0.5pt
1pt
25
2.
e 13  6.84 donc, d’après la question précédente, le prix à partir duquel la demande est
inférieure ou égale à 3500 tonnes est 68,4€ la tonne.
0.5pt
3.
a.
d ( x)  6  1.3ln x  5  e10.2 x  1  1.3ln x  e10.2 x
1.3
d '( x)  
 0.2e10.2 x : on a une somme de deux nombres toujours négatifs donc d’(x)
x
est négatif et la fonction d est décroissante sur [1 ;8]
1pt
b.
x
Variation de d
1
3.23
x0
8
1pt
0
-1.15
D’après le tableau de variation et le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation
d(x)=0 admet une unique solution
A l’aide de la calculatrice, on a
à 0,01 près.
c. La valeur arrondie du prix d’équilibre, à l’euro près, est 48€ et la demande
correspondant au prix d’équilibre, à la dizaine de tonnes près, est 3960 tonnes.(f(4.8))
1pt