2. Premières notions de théorie des modèles - IMJ-PRG

L ○(N )
Résumé. La théorie des modèles se concentre sur les structures relationnelles, et méconnaît a priori l’information
topologique, analytique, catégorique, etc. Mais sa force (et ce sans quoi elle ne serait qu’un langage un peu stérile)
est de prendre en compte les parties dites dénissables. Il y a donc quelques points de terminologie à préciser.
L’étudiant accablé par le début de la leçon ferait bien de décider si la n en est aussi triviale et sans intérêt,
ou si lesdits points nissent par porter des fruits. D’ailleurs nous irons aussi vite que possible et renverrons à un
cours niveau Mpour les détails.
Références utiles :
— Les deux premières leçons du cours de Mdonné à Paris (lien pdf)
— [Marker, §§.–.et .–.]
—
D. M,Introduction to model theory. dans D. H, A. P  C. S (éditeurs), Model
theory, algebra, and geometry, Mathematical Sciences Research Institute Publications, vol. . Cambridge
University Press, Cambridge, , pp.. –.
— [Borovik-Nesin, chapitre ] contient quelques rudiments d’un point de vue plus algébrique.
2. Premières notions de théorie des modèles
2.1. Syntaxe
Dénition 2.1. Un langage (sous-entendu du premier ordre) est la donnée de symboles :
— de constantes ;
— de relations unaires, binaires, ternaires, etc. (on dit aussi « prédicats ») ; on demande la présence de
=;
— de fonctions unaires, binaires, etc.
Exemple 2.2.
—
Le langage des groupes est 
groupes = {
,=,−,⋅} ,oùest (un symbole de) constante ; = une relation
binaire ; −une fonction unaire, et ⋅une relation binaire.
— Le langage des anneaux est anneaux = {,,=,+,−,⋅}.
Dénition 2.3. Un -terme est une expression obtenue par itération nie à partir :
— des constantes ;
— des variables x,y,... ;
— des fonctions.
Exemple 2.4.
—⋅(x⋅(−⋅y−)) est un terme de groupes.
—⋅(x+ (−y)) est un terme de anneaux .
Dénition 2.5.
—
Une -formule atomique est une expression de la forme R(t,...,tn) où R est une relation n -aire
et les tides termes.
— Une -formule est une expression obtenue par itération nie à partir :
— des formules atomiques ;
— des connecteurs booléens ¬(négation), ∧(conjonction), ∨(disjonction), →(implication) ;
— des quanticateurs ∀x,∃y.
— Un -énoncé est une -formule où toute variable est liée, i.e. quantiée.
Si en revanche une formule a encore des variables libres x, on l’indiquera systématiquement pour en
garder trace en la notant φ(x).
Exemple 2.6.
—φ(x)∶ ∃y y ⋅y=xest une formule de groupes.
—ψ∶ ∀x∃y y +y=x⋅xest un énoncé de anneaux.
En fait la dénition précédente est un peu trop restrictive pour parler de polynômes à coecients dans
K, et nous l’étendrons dans un instant.

Chapitre I. L’Univers de la géométrie
2.2. Structures
Dénition 2.7. Une -structure est un objet mathématique où les divers symboles de ont un sens,
i.e. où à chaque symbole de constante c∈ correspond une vraie constante c∈ , à chaque symbole
de relation
R∈ correspond (le graphe d’) une vraie relation R⊆
n
, à chaque symbole de fonction
f∈correspond une vraie fonction f∶n→.
Nous demanderons que = soit la diagonale de  , c’est-à-dire la vraie égalité. Nous dirons aussi que
est une structure dans le langage .
Avec cette notion de -structure viennent aussi celles de -sous-structure et de -isomorphisme.
Dénition 2.8.
Si est une -structure, φ(x,y) est une -formule, et m∈
n
est un uplet de même
longueur que y, nous dirons que φ(x,m)est une formule à paramètres dans .
Dénition 2.9. Soient une -structure et φ(m) un énoncé à paramètres dans . Alors φ(m) est soit
vrai soit faux dans ; dans le premier cas nous dirons que satisfait φ(m), noté ⊧φ(m).
En toute rigueur il faudrait vérier que cela peut être formalisé rigoureusement. Le mérite en revient
à Alfred Tarski ; maintenant que c’est fait, nous pouvons librement suivre notre intuition, qui ne nous
trompe pas ici. L’étudiant anxieux peut se tourner vers un cours de logique niveau Mpour les vérications
qui sont fastidieuses mais essentiellement triviales, car toutes du règne de la récurrence nie ; leur intérêt
est méthodologique et épistémologique, mais pas mathématique.
Exemple 2.10.
La notion de vérité est relative (c’est la modernité du point de vue tarskien) ; ainsi C⊧
∃x x ⋅x+=mais R/⊧ ∃x x ⋅x+=.
2.3. éories et compacité
Dénition 2.11. Un ensemble de -énoncés T est satisfaisable s’il existe une -structure  ⊧T (i.e.,
⊧φ pour chaque φ∈T ). On dit alors que est un modèle de T et que T est une théorie (on évite
« théorie » pour quelque chose qui n’est pas satisfaisable, i.e. sans modèle).
Enn si tout modèle de Test un modèle de φ, on note T⊧φ.
Exemple 2.12.
— La théorie des groupes, dans groupes, est formée des énoncés :
—∀x∀y∀z x ⋅(y⋅z)=(x⋅y)⋅z);
—∀x⋅x=x⋅=x;
—∀x x ⋅x−=x−⋅x=.
Les modèles de cette théorie sont exactement les groupes.
— La théorie des corps dans anneaux est formée d’un nombre ni d’énoncés.
— La théorie des corps algébriquement clos ACF est formée de la théorie des corps, et pour chaque
entier nde l’axiome (de longueur croissante avec n) :
∀an...∀aan≠→ ∃x anxn+⋅ ⋅ ⋅ +a=
Remarques 2.13.
—
La théorie des groupes, la théorie des corps, peuvent se ramener à un seul axiome. En revanche
ACF est essentiellement innie : on ne peut pas quantier sur nplus haut.
— Gödel a montré l’équivalence entre satisfaisabilité et cohérence logique : il n’est donc pas illégitime
d’employer « cohérent » en place de « satisfaisable ». « Consistent » en revanche est un anglicisme.
Le théorème fondamental et point de départ de la chose est le suivant.
éorème 2.14
(théorème de compacité de Gödel-Malcev) . Un ensemble de -énoncés est satisfaisable si
et seulement si tout sous-ensemble ni l’est.

Leçon n○
Ce résultat n’est pas surprenant si l’on admet que la satisfaisabilité équivaut à la cohérence logique,
puisque cette dernière notion est nitaire. Mais nous donnerons une démonstration plus honnête de ce
théorème.
Exemple 2.15.
—
Il n’existe pas de 
groupes
-théorie dont les modèles soient exactement les groupes nis. Si T était
telle, on formerait :
T′=T∪{∃x...∃xn�
i≠j
xi≠xj}n∈N
Ici encore, la taille de la formule croît avec n et T′ est essentiellement innie. Comme il existe des
groupes nis arbitrairement grands, T′ est niment satisfaisable, donc satisfaisable : contradiction.
— Si φ est un énoncé des anneaux vrai dans tous les Fp , alors il existe un corps de caractéristique
nulle K⊧φ.
On forme en eet ACF ∪{p≠ }p∈∪{φ} : par hypothèse, elle est niment satisfaisable, donc
satisfaisable, dans un corps algébriquement clos de caractéristique nulle.
3. Parties dé�nissables
Le concept le plus important est celui de partie dénissable, dont nous donnons tout de suite la
dénition.
Dénition 3.1.
Soit une -structure. Une partie X⊆
n
est dénissable à paramètres b s’il existe une
formule à paramètres φ(x,b)telle que
X=φ(,b)={m∈∶⊧φ(m,b)}
Si l’on veut insister sur l’absence de paramètres requis, on dira ∅-dénissable.
Les constructibles sont ainsi, exactement, les dénissables à paramètres sans quanticateurs dans K.
Remarque 3.2. La classe dénissable est la plus petite famille de collections = (n)Ntelle que :
— les singletons sont dans ;
— chaque graphe de relation, de fonction est dans ;
— chaque 
n
est clos par permutations : si A∈
n
et σ∈Symn , alors
σA= {(aσ(),...,aσ(n))∶
(a,...,an)∈A}∈n;
— chaque nest une algèbre de Boole ;
—est close par produits cartésiens ;
—est close par projections : si A∈n+alors π(A)∈n, où π(a,...,an+)=(a,...,an).
Nous reviendrons abondamment sur la classe dénissable dès la prochaine leçon.
3.1. Élimination des quanticateurs
éorème 3.3 (Chevalley-Tarski, formulé par un logicien) . Soit φ(x) une formule de 
anneaux
. Alors il
existe une formle sans quanticateurs ψ(x)telle que ACF ⊧ ∀xφ(x)↔ψ(x).
On dit que la théorie ACF élimine les quanticateurs.
Remarques 3.4.
—
Ceci entraîne bien la version géométrique. Soit en eet dans K un corps algébriquement clos,
un sous-ensemble constructible C⊆Kn+ . Il est alors déni par φ(x,b) . Écrivons x= (y,xn+) ;
alors π(C) est déni par ∃xn+φ(y,xn+,b) , formule que nous notons ψ(y,b) . Mais il existe une
formule sans quanticateurs χ(y,z) telle que ACF ⊧ ∀y∀zψ(y,z)↔χ(y,z) . Notamment K⊧
∀yψ(y,b)↔χ(y,b) . Donc π(C) est déni par χ(y,b) , à paramètres mais sans quanticateurs :
π(C) = χ(K,b)est constructible.

Chapitre I. L’Univers de la géométrie
— Le théorème logique est plus fort que sa version géométrique car il introduit de l’uniformité en le
modèle et en les paramètres : χne dépend ni de Kni de b.
Lemme 3.5. Soit T une -théorie. Alors sont équivalents :
— T élimine les quanticateurs (toute formule équivaut à une formule sans quanticateurs) ;
— T
élimine les quanticateurs une fois (si φ(x,y) est sans quanticateurs, alors existe ψ(x) sans
quanticateurs telle que T ⊧ ∀x(∃yφ(x,y)↔ψ(x))).
Démonstration. Récurrence ; noter que ∀yφ(x,y) équivaut à ¬∃y¬φ(x,y) , qui équivaut à ¬χ(x) pour
χsans quanticateurs associée à ∃y¬φ.
Le résultat suivant est facile en théorie des modèles ; c’est un exercice en compacité pour lequel le
temps manque.
éorème 3.6 (d’élimination) . Soient T une -théorie et φ(x) une formule. Alors φ équivaut modulo T à
une formule sans quanticateurs si et seulement si :
chaque fois que  , ⊧T et a∈ , b∈ sont tels que a↦b dénisse un isomorphisme des
structures engendrées ⟨a⟩ ≃ ⟨b⟩, on a que ⊧φ(a)entraîne ⊧φ(b).
La clause de test étant que deux uplets « en même conguration sans quanticateurs » de part et d’autre,
doivent donner la même valeur de vérité à φ.
Démonstration du théorème de Chevalley-Tarski.
Il sut de démontrer qu’une formule ∃yφ(x,y) où
φ(x,y) est sans quanticateurs, équivaut à dans ACF à une fomrule sans quanticateurs. Nous invoquerons
le théorème d’élimination.
Soient K,L⊧ACF et a∈K,b∈L tels que a↦b dénisse un isomorphisme ⟨a⟩ ≃ ⟨b⟩ (en toute rigueur,
anneaux engendrés). Notons Ra=⟨a⟩ , sous-anneau de K ; alors Ra≃Rb , qui s’étend en Ra[X]≃Rb[X] .
Supposons K⊧ ∃yφ(a,y) et montrons que L⊧ ∃yφ(b,y) . Or la formule sans quanticateurs
φ(x,y)est de la forme :
k
⋁
i=
ℓi
�
j=
Pi,j(x,y)=∧Qi(x,y)≠
pour des polynômes à coecients dans le corps premier. Par hypothèse existent r∈K et i∈{ ,...,k}
tels que K⊧⋀ℓi
j=Pi,j(a,r) =
∧Qi(a,r)≠ . L’entier i est dorénavant xé. On cherche s∈L tel que
L⊧⋀ℓi
j=Pi,j(b,s)=∧Qi(b,s)≠.
—
Si pour tout j , Pi,j(a,X) = , alors les polynômes Pi,j(b,X) sont nuls aussi : il sut donc de
trouver
s∈L tel que Qi(b,s)≠ . Mais le polynôme Qi(a,X) n’est pas nul, donc Qi(b,X) non
plus : il sut de prendre s∈Lne l’annulant pas.
—
S’il existe j tel que Pi,j(a,X)≠ , alors r est algébrique sur Ra . Soit µ(X) = M(a,X) son polynôme
minimal à coecients dans Ra : µ divise donc ceux des Pi,j(a,X) qui ne sont pas le polynôme nul.
En revanche, il ne divise pas Qi(a,X) . Soit ν=M(b,X) ; ici encore, ν divise les Pi,j(b,X) mais
pas Qi(b,X).
Comme Lest algébriquement clos, une racine s∈Lde νconvient.
Dans les deux cas on peut conclure avec le théorème d’élimination.
Corollaire 3.7. ACF est fortement minimale : toute partie dénissable (en une seule variable) dans tout
modèle est nie ou conie.
F    ○.