Logique, Ensembles et Applications 1 Langage - math.univ

Universit´e de Tours Ann´ee 2016-2017
Licence L1 de Math´ematiques, Informatique, Physique et Chimie - S1
CHAPITRE 3
Logique, Ensembles et Applications
1 Langage math´ematique et logique
1.1 Ensembles
Un ensemble est une collection d’objets distincts ; ces objets s’appellent les ´el´ements de cet
ensemble.
Notations :
x∈Esignifie xappartient `a l’ensemble E(ou xest ´el´ement de E).
x /∈Esignifie xn’appartient pas `a l’ensemble E.
A⊂Esignifie que Aest une partie (ou un sous-ensemble) de E, c’est-`a-dire que tout ´el´ement
de Aappartient `a E.
On note ∅l’ensemble vide. Pour tout ensemble E,∅ ⊂ E.
A={x∈E|xv´erifie P}signifie que Aest l’ensemble de tous les ´el´ements de Eayant la
propri´et´e P.
L’ensemble P(E) = {A|A⊂E}est l’ensemble des parties de E.
D´efinitions. Soient Aet Bdes parties d’un ensemble E.
L’intersection des ensembles Aet Best A∩B={x|x∈Aet x∈B}. Les ensembles Aet B
sont disjoints si A∩B=∅.
L’union des ensembles Aet Best A∪B={x|x∈Aou x∈B}(Attention le ou est non
exclusif !).
A\B={x|x∈Aet x /∈B}est l’ensemble Apriv´e de B, ´egalement not´e CA(B) (compl´ementaire
de Bdans A).
Si A⊂Eau lieu de CE(A), on ´ecrira Acet on lira compl´ementaire de A.
L’ensemble A×B={(a, b)|a∈Aet b∈B}est le produit cart´esien de Aet B.
Le produit cart´esien d’une suite d’ensembles E1,E2,. . . ,Enest l’ensemble
E1×E2× · · · × En={(x1, x2, . . . , xn)|x1∈E1, x2∈E2, . . . , xn∈En}.
Dans le cas o`u tous les ensembles E1, E2, . . . , Ensont ´egaux `a E, le produit cart´esien E1×E2×
· · · × Ense note En.
Proposition 1.1 Soient A, B, C des parties d’un ensemble E.
(i) Commutativit´e :
A∩B=B∩Aet A∪B=B∪A.
(ii) Associativit´e :
A∩B∩C=A∩B∩C=A∩B∩Cet A∪B∪C=A∪B∪C=A∪B∪C.
(iii) Distributivit´e :
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)et A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C).
(iv) Lois de Morgan :
(A∪B)c=Ac∩Bcet (A∩B)c=Ac∪Bc.
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1.2 Assertions, Pr´edicats
Une assertion Pest un ´enonc´e auquel on peut attribuer l’une des deux valeurs de v´erit´e :
Vrai ou Faux.
Par exemple :
- “3 est un entier pair” est une assertion fausse.
- “Pour tout nombre r´eel x,x2est un nombre r´eel positif” est une assertion vraie.
Couramment, affirmer Psignifie que l’assertion Pest vraie.
Un ´enonc´e du type “l’entier naturel xest pair” n’est pas une assertion car on ne peut pas
lui donner de valeur de v´erit´e tant qu’on ne connaˆıt pas l’entier naturel x. On parlera alors de
pr´edicat sur N. De mani`ere g´en´erale, on dira que P(x) est un pr´edicat sur un ensemble Esi
lorsque l’´el´ement x∈Eest sp´ecifi´e, P(x) est une assertion.
Par exemple, si P(x) est le pr´edicat “l’entier xest pair”, alors P(2) est une assertion vraie, P(3)
est une assertion fausse.
On dira que deux assertions Pet Qsont ´equivalentes si elles ont la mˆeme valeur de v´erit´e et
on notera P⇔Q. On dira que deux pr´edicats sur Esont ´equivalents s’ils donnent pour chaque
´el´ement de Edeux assertions ´equivalentes.
1.3 Connecteurs logiques
En utilisant des connecteurs logiques, on peut, `a l’aide d’assertions (ou de pr´edicats), fabri-
quer de nouvelles assertions (resp. pr´edicats).
Si Pet Qsont deux assertions, on d´efinit les assertions (Pet Q), (Pou Q) et la n´egation
de P, NON(P) par :
- (Pet Q) qui est vraie si et seulement si les deux assertions sont vraies,
- (Pou Q) qui est vraie si et seulement si au moins l’une des deux assertions est vraie,
- NON(P) qui est vraie si et seulement si Pest fausse.
Propri´et´es. NON(NON(P)) ⇔P,
NON(Pet Q)⇔(NON(P) ou NON(Q)),
NON(Pou Q)⇔(NON(P) et NON(Q)).
On d´efinit aussi l’assertion P⇒Q(lire Pimplique Q) par (NON(P) ou Q). Remarquons
que P⇒Qn’est fausse que lorsque Pest vraie et Qfausse.
On appelle implication r´eciproque l’assertion Q⇒P.
Propri´et´es. (P⇒Q)⇔(NON(Q)⇒NON(P)) (contrapos´ee),
NON(P⇒Q)⇔(Pet NON(Q)),
en g´en´eral, P⇒Qet sa r´eciproque Q⇒Pne sont pas ´equivalentes,
(P⇔Q)⇔((P⇒Q) et (Q⇒P)).
On utilise les mˆemes connecteurs logiques `a partir de pr´edicats.
1.4 Quantificateurs
Si Eest un ensemble et P(x) un pr´edicat sur E, `a l’aide des quantificateurs ∀(pour tout)
et ∃(il existe), on d´efinit les assertions suivantes :
- (∀x∈E, P (x)) qui est vraie si et seulement si tous les ´el´ements ede Edonnent une assertion
P(e) vraie.
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- (∃x∈E, P (x)) qui est vraie si et seulement si au moins un ´el´ement ede Edonne une assertion
P(e) vraie.
Attention, en pr´esence de plusieurs quantificateurs, l’ordre compte !
Par exemple, les assertions
∀x∈N,∃y∈N, x < y et ∃y∈N,∀x∈N, x < y
ne sont pas ´equivalentes. La premi`ere est vraie tandis que la seconde est fausse.
En revanche, en ´echangeant deux quantificateurs identiques, on obtient toujours deux assertions
´equivalentes.
1.5 N´egations et quantificateurs
La n´egation op`ere de la fa¸con suivante :
NON( ∀x∈E, P (x) ) ⇔(∃x∈E, NON(P(x)) )
NON( ∃x∈E, P (x) ) ⇔(∀x∈E, NON(P(x)) )
2 Applications
2.1 D´efinitions
Une application est la donn´ee d’un triplet (f, E, F ) tel qu’`a tout ´el´ement xde Eest associ´e
un unique ´el´ement de F, not´e f(x). On note f:E→F.
L’ensemble Es’appelle ensemble de d´epart de fet l’ensemble Fs’appelle ensemble d’ar-
riv´ee de f.
Si y=f(x), l’´el´ement y∈Fest appel´e image de xpar f, l’´el´ement x∈Eest appel´e ant´ec´edent
de ypar f.
L’application IdE:E→Eest d´efinie par IdE(x) = xpour tout x∈E; elle s’appelle identit´e
de E.
Soient E, F et Gtrois ensembles et f:E→F, g :F→Gdes applications. L’application
g◦f:E→Gd´efinie par g◦f(x) = g(f(x)) pour tout x∈E, s’appelle la compos´ee de get f.
Attention : l’application g◦fpeut avoir un sens sans que f◦gn’en ait un. De plus, en g´en´eral
g◦f6=f◦g. En revanche on a toujours f◦(g◦h)=(f◦g)◦hquand les deux applications en
question sont d´efinies.
2.2 Injection, surjection, bijection
D´efinition. Une application f:E−→ Fest dite injective si tout ´el´ement de Fposs`ede au
plus un ant´ecedent par f; c’est-`a-dire si pour tout y∈F, l’´equation y=f(x) poss`ede au plus
une solution xdans E.
En langage math´ematique,
l’application fest injective si : ∀x1∈E, ∀x2∈E, f(x1) = f(x2)⇒x1=x2;
l’application fn’est pas injective si : ∃x1∈E, ∃x2∈E, x16=x2et f(x1) = f(x2).
D´efinition. Une application f:E−→ Fest dite surjective si tout ´el´ement de Fposs`ede au
moins un ant´ec´edent par f; c’est-`a-dire si pour tout y∈F, l’´equation y=f(x) poss`ede au
moins une solution xdans E.
En langage math´ematique,
l’application fest surjective si : ∀y∈F, ∃x∈E, f(x) = y;
l’application fn’est pas surjective si : ∃y∈F, ∀x∈E, f(x)6=y.
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D´efinition. Une application f:E−→ Fest dite bijective si elle est injective et surjective ;
c’est-`a-dire si tout ´el´ement de Fposs`ede exactement un ant´ec´edent par f; ou encore si pour
tout y∈F, l’´equation y=f(x) poss`ede exactement une solution xdans E.
Si fest une bijection de Esur F, on appelle bijection r´eciproque de f, l’application f−1:
F→Equi `a tout y∈Fassocie son unique ant´ec´edent xde E. On a f◦f−1=IdFet
f−1◦f=IdE.
Proposition 2.1 Deux bijections f:E→Fet g:F→Esont r´eciproques l’une de l’autre si
et seulement si f◦g=IdFet g◦f=IdE.
Proposition 2.2 Soient f:E→Fet g:F→Gdeux bijections. L’application g◦fest une
bijection de Esur Get (g◦f)−1=f−1◦g−1.
2.3 Image directe, image r´eciproque
Soit f:E→Fune application. Pour toute partie Ade E, on note
f(A) = {f(x)|x∈A};
l’ensemble f(A) est appel´e image de Apar f. Pour tout y∈F, on a :
y∈f(A)⇔ ∃x∈A, f(x) = y.
Pour toute partie Bde Fon note
f−1(B) = {x∈E|f(x)∈B};
l’ensemble f−1(B) est appel´e image r´eciproque de Bpar f(Attention : la notation f−1(B)
ne suppose pas que fsoit bijective !). Pour tout x∈E, on a :
x∈f−1(B)⇔f(x)∈B.
Proposition 2.3 Soient f:E→Fune application de Edans F,A1et A2deux parties de E
et B1et B2deux parties de F. On a :
si A1⊂A2alors f(A1)⊂f(A2)et si B1⊂B2alors f−1(B1)⊂f−1(B2)
f(A1∪A2) = f(A1)∪f(A2)et f−1(B1∪B2) = f−1(B1)∪f−1(B2)
f(A1∩A2)⊂f(A1)∩f(A2)et f−1(B1∩B2) = f−1(B1)∩f−1(B2)
A⊂f−1(f(A)) et f(f−1(B)) ⊂B.
Attention : toutes les inclusions ci-dessus peuvent ˆetre strictes.
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