ajp-jphysrad_1953_14_10_533_0.

Théorie magnéto-ionique des gaz faiblement ionisés en
présence d’un champ électrique oscillant et d’un champ
magnétique constant
Raymond Jancel, Théo Kahan
To cite this version:
Raymond Jancel, Théo Kahan. Théorie magnéto-ionique des gaz faiblement ionisés en présence
d’un champ électrique oscillant et d’un champ magnétique constant. J. Phys. Radium, 1953,
14 (10), pp.533-540. <10.1051/jphysrad:019530014010053300>. <jpa-00234786>
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Submitted on 1 Jan 1953
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’
LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM.
EN
TOME
t4,
OCTOBRE
1953,
533.
THÉORIEMAGNÉTO-IONIQUE DES GAZ FAIBLEMENT IONISÉS
PRÉSENCE D’UN CHAMP ÉLECTRIQUE OSCILLANT ET D’UN CHAMP MAGNÉTIQUE CONSTANT
Par RAYMOND JANCEL et THÉO
Institut Henri
KAHAN,
Poincaré, Sorbonne.
En s’appuyant sur une méthode de solution de l’équation intégro-différentielle de
calcule les fonctions de répartition dans un gaz ionisé non uniforme permettant de
donner des expressions explicites pour la conductivité magnéto-ionique en présence d’un champ
électrique oscillant et d’un champ magnétique constant pour le tenseur de conductivité, pour le
tenseur diélectrique, pour l’effet Hall, pour la déviation d’un faisceau électronique et pour une
généralisation de la formule de mobilité de Langevin. Discussion et comparaison avec d’autres
méthodes de calcul.
Sommaire.
Boltzmann,
-
on
L’objet du présent Mémoire est la théorie magnétoionique de milieux gazeux non uniformes légèrement
ionisés, fondée
approchées s’appuyant
non
sur
pas sur des méthodes
la notion du libre par-
si des champs extérieurs sont mis en jeu. Dans de
tels cas, la fonction de distribution des vitesses f
ne dépendra pas seulement de la vitesse v, mais aussi
de la position r et du temps t. L’équation intégrodifférentielle qui régira dès lors l’évolution de la
fonction f (v, r, t) sera précisément celle de Boltz-
cours moyen, mais sur l’équation intégro-différentielle de Boltzmann.
Pour préciser les idées, rappelons brièvement mann [1], [2], [3].
certains caractères d’un gaz idéal composé d’une ,
seule espèce de constituants, en particulier la notion
1. Équations générales.
On considère le gaz
de ladistribution des vitesses moléculaires v (de ionisé comme un
de molécules neutres et
mélange
composantes vx, v,r, v,,). Soit
d’électrons et l’on suppose ce milieu soumis à l’action
d’un champ électrique oscillant Ecoswf et d’un
champ magnétique constant H; on suppose de plus
le nombre de particules par unité de volume dont que les chocs entre électrons et molécules sont élasles composantes de vitesse sont comprises entre v.x tiques. Pour déterminer les propriétés électriques de
et vx -t dvx, vy,. et v,.
dvy et vz et vz dvz ; f est par ce milieu, il est nécessaire de connaître les fonctions
définition la fonction de répartition des vitesses v.
de répartition des vitesses pour les constituants du
L’intégrale triple de cette fonction étendue aux gaz : on fera ce calcul pour l’état stationnaire en
utilisant l’équation intégro-différentielle de Màxwellcomposantes de vitesse
Boltzmann.
Si Il et f2 sont les fonctions de répartition respectives des molécules et des électrons, on a les dieux
est la densité des molécules. Soit G une fonction
équations de Boltzmann :
quelconque de la vitesses corpusculaire; la valeur
moyenne ou l’espérance mathématique E (G) de G
se définit par l’expression
,
-
=
=
Si le gaz est uniforme, la fonction f représente la
distribution maxwellienne dans les conditions clas-
siques :
(où V, et v2 désignent respectivement la vitesse des
molécules et des électrons). Dans l’équation (1),
on suppose qu’aucune force extérieure n’agit sur les
molécules; d’autre part F2 représente l’action électromagnétique sur les électrons du champ (E, H);
enfin
des vitesses des particules chargées
un milieu gazeux ayant une température et
une pression uniformes n’est pas nécessairemerit
maxwellienne si leur densité n’est pas uniforme ou
La
dans
répartition
les contributions des chocs
dt et dtélectrons-molécules
électrons.
sont
et
molécules,
Si l’on s’intéresse à l’état où l’on a
entre
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019530014010053300
534
f 1 et /g sont seulement fonctions de’vl et v2 et du
temps éventuellement. Nous supposerons de plus
initiales étaient vi et v2; g est
deux particules
dans la suite des calculs que le gaz ionisé peut être
traité comme un gaz de Lorentz; ce dernier répond
aux deux conditions suivantes :
et b et E sont les
a.
est
du
La
masse
m1 des molécules du I er constituant
à la masse des particules
grande par rapport
2e constituant;
la vitesse relative
des
paramètres d’impact.
2. Calcul de l’approximation d’ordre zéro.
On utilise pour résoudre l’équation (5) la méthode
d’approximations successives de Picard-Enskog, en
mettant en évidence les termes en r 2 et (H A r 2) ;
on développe f 2 en fonction de ses harmoniques sphériques, soit (en se limitant à la I re approximation) :
-
b. L’influence des chocs mutuels entre les particules du 2e constituant est négligeable comparée
à celle de leurs chocs avec les molécules du 1 er constituant.
1
_
On voit que la I re condition est réalisée sans
hypothèse supplémentaire, étant donné la petitesse
m2
du rapport
(m1 et m2 désignant respectivement
m1
la masse des molécules et des électrons); par contre,
la 2 e condition n’est réalisée que si la densité électronique est faible : les calculs qui suivent ne sont
donc valables que pour les gaz faiblement ionisés.
Cette hypothèse étant admise, on en tire deux
4%= = fg° ) + ( F2 v2 ) ( oe g ) cos w t + fi? ’sin w t )
+ CH 1B r2)V2(e1) coswt + 7&1) sinwt) (6)
où f?°’, «21’, pgl>, 1) et v ne dépendent que
de V2 (V2 - " V2 ’).
Portons le développement (6) dans (5); on doit
calculer des termes de la forme suivante :
(ainsi qu’un
conséquences :
io Dans les chocs électrons-molécules, la variation
de vitesse des molécules sera négligeable en moyenne,
de sorte que la fonction fi est peu affectée par les
chocs de cette’ nature; donc f 1 (vl) est maxwellien
dans l’état stationnaire et l’on peut remplacer (1) par
(et
un
terme
terme
analogue
analogue
en
en
"f)1»)..
gl ’ 1);
,
Identifions alors respectivement les termes
laires, les termes en r2 et (I-IA]r,); il vient
sca-
où n, est le nombre de molécules par unité de volume
et T la température absolue du gaz;
2° Dans
l’équation (2), la seule contribution appré-
cible du terme
dP
fournie par les chocs
molécules-électrons. Le problème est donc ramené
à l’étude de l’équation (2) dans cette hypothèse. On a
sera
où e2 désigne la charge de l’électron.
citant
l’équation (2) s’écrit alors :
En
expli-
t,
de (8) et (9) s’évaluent aisément en
remarquant que, d’après les conditions qui définissent un gaz de. Lorentz, on peut poser V’2 = V2 = g
et se servir de l’équation (3). Pour résoudre (7),
Les
f1
.
et f’2 sont les fonctions /1 et f2 prises pour les
valeurs v1 et v2 ; V’1 et V’2 étant les vitesses respectives des particules après un" choc où les vitesses
intégrales
535
multiplions les
et intégrons de
deux membres par
à v2; il vient
dv 2 = 4 ’Tf v dV2
o
Le calcul de l’intégrale du second membre s’effectue
comme
l’indiquent Chapman
et
Cowling [3]
et
où C doit être telle que
l’on trouve
1° Il est
de’ l’équation (15).
de
montrer
cas
comme
facile
[41 qu’elle comporte,
particuliers, les résultats obtenus antérieurement par
3.
Discussion
Chapman et Cowling [3], Margenau [5], Druyvesteyn [6J. En effet :
o (cas d’un champ électrique constant),
a. Si m
les relations (13) et (14) s’écrivent
où ?, (v.) est le libre parcours moyen d’un électron
pour la vitesse v2. De même, les équations (8) et (9)
1
deviennent
=
L’équation (15)
’
membre de (10) ne dépendant pas du temps,
devons prendre la valeur moyenne sur une
période du I er membre; l’équation (10) doit donc
être remplacée par
Le
2e
nous
-
On voit aisément qu’elle correspond à la formule
donnée par Chapman et Cowling, dans le cas où le
terme en F) est prépondérant par rapport à celui
kT.
en
’
’
s’écrit alors
b. Si H
d’où pour
=
o, on
voit de même que
l’équation (15) :
D’autre part, .les équations (11) et (12) donnent
chacune deux équations par identification des
termes en sin CA) t et cos wt; soit
voit que
On
(15 b)
par Margenau [5]
est
en
cinq équations (10’), (11’), (11"), (12’)
(12") permettent de calculer les cinq fonctions1
inconnues /, x, g(l), 1) et nI/. Si l’on pose
cas
Si, dans (15 b), on fait w o et si l’on suppose
plus que kT est négligeable devant le terme
r2, (15 b) devient
c.
de
au résultat trouvé
d’un gaz ionisé soumis champ électrique oscillant.
identique
dans le
seulement à l’action d’un
=
Les
et
Dans le cas où À est indépendant de v2, on voit
que (15 c) donne une répartition en e-"-! qui corres1pond, aux notations près, à la formule donnée par
Druyvesteyn [6] pour les gaz ionisés soumis à des
champs électrostatiques forts.
d. Si l’on suppose au contraire que, dans (15),
le terme en kT est prépondérant devant le terme
536
Ir’ (ce qui correspond soit au cas d’une intensité
électrique E’ faible, soit à des fréquences w très
élevées), on voit alors que il" est maxwellien et que
la « température électronique » est égale à la tempéen
rature absolue
du, gaz,
T.
go Il est intéressant de remarquer que l’expression
de il,’) dépend essentiellement du libre parcours X (vD.
Or À (V2) dépend de la loi d’interaction entre électrons et molécules; en effet, on le calcule à partir
des paramètres définissant une collision par les
relations suivantes
f2,0) est maxwellien
température électronique » donnée par
On voit donc que
«
où x représente la variation angulaire de la vitesse
relative durant une collision ; généralement l’angle Z
sera une fonction de la vitesse relative g et du paramètre d’impact b, fonction dont l’expression est
déterminée par,la loi d’interaction.
Par conséquent, la fonction de répartition exacte
des vitesses des électrons libres, à l’approximation
d’ordre zéro, dépend de la loi d’interaction entre les
électrons et les molécules. Il est donc utile de
calculer À (v2) pour les gaz réels, soit théoriquement,
soit à partir des résultats expérimentaux.
Signalons deux
cas
particuliers importants :
sphériques et rigides,
Cas des molécules
chocs élastiques; on a
a.
avec une
La grandeur g( v ) tend vers l’infini avec m2,
de sorte que le terme correctif défini par (22) devient
négligeable pour les fréquences élevées.
4. Expression de f z°’ dans le cas où À(v2) est
constant.
L’équation (15) s’intègre complètement si l’on suppose À indépendant de V2; on pose
alors : k2 ù)2 + v2 = u et l’on est ramené à l’intégration. de fractions rationnelles en u2 et u. On obtient
-
le résultat suivant,
tion de v2 :
exprimé directément
en
fonc-
m_V
avec
(où o-i et (]’ 2 sont les diamètres respectifs des deux
sortes de particules). On obtient alors
soit À
indépendant
de V2.
6. Cas où la force entre molécules et électrons
varie
comme
.A;
proportionnel à
collision
alors
une
«
#
le calcul montre que À (v2) est
V2’ de sorte que la fréquence de
indépendante de V2. On montre
facilement que /(,," est maxwellien, mais avec
température électronique » T> T. En effet,
= v
Dans le cas où H
retrouve à partir, de
peut montrer que l’on
formule donnée par
la
(23)
Margenau pour un gaz ionisé soumis seulement à
un champ électrique oscillant. En effet, on a dans
=
est
’
ce
cas,
d’après (24) :
et
(23)
devient
o, on
-
-
si l’on pose
qui est identique, aux notations près, au résultat
trouvé par Margenau. [5].
On peut développer en série le logarithme du
537
crochet de
une
(23), ce qui permet d’approcher fj°>
exponentielle; on a, en effet :
par
Soit en désignant par 6 ma J et 6e"J’ les intégrales
du second membre et en se souvenant. que
.
Il est utile d’écrire les
forme
où
Mais
ce
caution,
Ki, K2, Ki
1
et
K’2
intégrales J
sont les
et J’
sous
la
intégrales suivantes :
doit être utilisé avec prérigoureusement valable que
développement
car
il n’est
pour v) M’ M, c’est-à-dire en fait pour les
fréquences. Il peut cependant faciliter le
calcul numérique de valeurs approchées et permettre
de remplacer il,", dans le cas des hautes fréquences,
par une répartition maxwellienne avec ’une « température électronique » plus élevée que la température
hautes
°
du gaz.
5. Expression générale du courant.
Il se
calcule à partir de la vitesse de diffusion w, des
électrons, d’après la relation
-
1 = n2e2W2.
(26)
w, s’exprimant en fonction de l’approximation
d’ordre un de 12’ nous devons donc calculer les fonctions oc"’, 91", .1) et -nl";, celles-ci s’obtiennent
aisément à partir des équations (1l’), (11 "), (12’)
et (12"), lorsque il’) est connu. On a
(Dans
cations,
les formules
on
précédentes
et leurs
appli-
.fff N) dv 2 . 1. )
suppose que
Les propriétés électriques du gaz ionisé sont donc
décrites par-/") et les quatre intégrales précédentes
et l’étude numérique, au moins approximative, de
ces expressions est nécessaire à. la connaissance des
grandeurs (conductivité, par exemple) qui déterminent la propagation des ondes électromagnétiques
dans un tel milieu [7].
.On peut, sans diminuer la généralité, choisir les
axes de telle sorte que l’influence du champ magnétique soit mise en évidence. Prenons, en effet,
0 x parallèle à E, 0 y à (H 1B E), 0 z complétant le
trièdre; les composantes de E et H sont alors respectivement (E, o, o) et (Hx, o, HZ). Si cp désigne
l’angle défini par (E, H), on a encore
Les composantes de I sont alors données par :
.
D’après
la définition de w2’ le courant I s’écrit :
où s, donné par
(18), est la gyrofréquence des élecchamp H.
Avant d’appliquer ces résultats, nous allons
calculer la valeur de I dans deux cas particuliers.
trons dans le
538
6. Valeur de 1 dans des
particuliers.
a. La fréquence de collision 1J
= §( est indépendante
Nous avons vu que dans ce cas fi°> est
de v2maxwellien et s’exprime par (21); les intégrales Ky
K1, K2 et K’2 se calculent alors aisément en fonction
de v et g(1J). On obtient
cas
-
-
Le premier membre de cette formule représente la
formule de mobilité des ions de Langevin [8].
Celle-ci est donc un cas particulier de la formule (38)
que l’on peut considérer comme une forme généralisée
de la formule de Langevin, dans le cas où l’on a
et où
champ magnétique H
un
w
et E sont
quelconques.
diverses.
Pour terminer,
allons utiliser les résultats précédents au calcul
du tenseur de conductivité électrique, du tenseur
diélectrique du gaz et du coefficient de Hall [4].
7.
Applications
-
nous
a.
Tenseur de conductivité.
Utilisons la fordes
en
tels
axes
prenant
que E et H
(31)
-
mule
aient
et (o,
respectivement les composantes (E.,, E;, Ez)
o, H) ; il vient
On tire alors de (31) l’expression générale du
courant, soit
Le tenseur de conductivité étant défini par la
relation
,
ses
b. Cas où H
précisément,
négligeables.
[d’après (13)]
=
nous
La
o,
et E étant
w
supposons ici
condition H
petits.
que tù2 et r?
-
2
=
o
composantes
ont pour
expression :
Plus
sont
donne z
=
o
et
où J et J’ sont définis par
On voit donc que pour
peut poser
m
suffisamment
petit,
on
b. Tenseur
relation
D’autre part, J étant négligeable, on voit immédiatement d’après (15) que fl’) est maxwellien soit
Les
à
Avec
on
ces
hypothèses,
trouve de même
on
diélectrique.
composantes z[J.’J
partir de (46); on a
se
(32)
-
et
(33).
Il est défini par la
calculent immédiatement
peut alors écrire
de Hall.
Pour l’obtenir, supposons
o (E et H sont
d’où Iz
perpendiculaires). Faisons tourner les axes de telle sorte
que I,. = o ; E, et Ex sont alors liées par la relation
c.
Coefficient
que Ez
=
o,
-
=
539
que l’on tire de
(47). L’équation (46)
devient alors
et le coefficient de Hall s’écrit
mules
(38)
et
(39);
la déviation instantanée s’écrit
calculer facilement, à
la
déviation
formule,
moyenne.
et l’on
peut
partir de
cette
8. Discussion, comparaison avec la méthode
des libres parcours moyens et conclusion.
-
Nous
où
appliquerons
ce
est maxwellien et
/(0)
Il vient,
en
résultat
en
au
cas
particulier
supposant que
négligeant les termes
en
r2 -
Cette méthode développée en particulier par Town- .
send et L. G. H. Huxley[9] consiste à. calculer le
déplacement subi par l’électron sous l’influence du
champ, durant l’intervalle compris entre deux chocs
successifs. Le déplacement moyen d’un ensemble
d’électrons par unité de temps fournit la vitesse de
diffusion des électrons à travers le gaz. D’une
manière générale, on suppose toujours que l’intensité
du champ est faible; en outre, .on effectue le calcul
en admettant d’abord que les électrons ont tous la
même vitesse; puis on prend la valeur moyenne du
résultat avec une fonction de répartition des vitesses
électroniques.
avec
Or,
avec
geable ;
en
les hypothèses
effet :
On
a
donc :
On
a
de même
précédentes, z
est
négli-
En raison de sa nature même, cette méthode
présente l’inconvénient de ne s’appliquer qu’à des ,
champs faibles, sans qu’il soit possible de préciser
d’une’ manière rigoureuse la validité et l’ordre de
grandeur des approximations mises en jeu en vertu
de cette hypothèse.
D’autre part, lefait de décomposer le calcul,
en considérant d’abord la vitesse des électrons
comme constante, conduit à prendre les valeurs
moyennes par rapport à la direction de la vitesse
indépendamment de la valeur absolue de celle-ci;
méthode qui nous semble contestable du fait que
le gaz ionisé, soumis à un champ magnétique constant, se comporte comme un milieu anisotrope.
Cette méthode conduit à la formule
Il vient alors
pour la vitesse de diffusion
en présence. d’un champ
(avec H o). Huxley semble
attacher une grande importance à ce
bien qu’il ne précise pas la nature de la fonction
de distribution qui détermine lJ2. Nous allons voir
que’ nous sommes conduits à remplacer ce facteur
électrique
en
=
facteurs
d’où
et,
constant
remarquant que
38 .
par 7r dans le
cas
d’une distribution maxwellienne.
outre, que les expressions
Remarquons,
moyennes, données par cet auteur dans ses derniers
articles, n’ont de sens que si l’on connaît la fréquence
de chocs v en fonction de la vitesse U2, ainsi que la
fonction de distribution des vitesses; sans cette
précision, il est impossible d’évaluer les grandeurs
moyennes qui déterminent la vitesse de diffusion.
Afin de faciliter la comparaison de ces formules
basées sur la notion du libre parcours moyen avec
en
on
obtient finalement
d. Déviation d’un faisceau
l’obtient immédiatement en
On
électronique.les- for-
appliquant
,
540
celles obtenues à partir de l’équation de Boltzmann,
traiterons deux cas particuliers :
nous
o.
Nous supposerons
Cas où H
o, w
de plus que r’2 est négligeable, ce qui revient à
supposer que l’intensité du champ E est suffisamment faible. Dans ce cas, nous avons déjà vu que il’)
est maxwellien et que
a.
On
et
=
=
a
-
formule du même type que
égal
à
i.
Il faut
(54)
avec un
coefficient
cependant remarquer que, dans
température électronique » peut être
T, car on ne fait alors aucune hypo-
cas, la «
différente de
thèse sur l’intensité E.
ce
donc
En appliquant simultanément les formules
et (39), on obtient
comme
(38)
-
dans le
cas
d’une
répartition maxwellienne,
il vient
On constate que ces deux résultats sont équivalents à ceux établis primitivement par Townsend :
cela s’explique aisément en remarquant que Townsend supposait que la vitesse v2 était la même pour
tous les électrons et ’que À était indépendant de v2,
d’où pour la vitesse de diffusion
On voit bien que, dans
ce
cas,
le
-
,
remplacé
remplace
coefficient i2est
8
8par 31t.
°
que v i) .1
dépendait pas de u2. Mais il
faut remarquer, comme précédemment, que ces
formules peuvent être valables pour des « températures électroniques» différentes de T.
de sorte
b. Cas où 1) est indépendant de V28
Nous appliquerons la formule générale (44) à deux cas :
ne
-
En résumé, il
nous
semble que la méthode de
l’équation de Boltzmann, outre sa plus grande
rigueur, conduit à des résultats plus généraux et
sur lesquels il est plus aisé de pratiquer des approximations ayant un sens physique précis.
Manuscrit reçu le 5 mai
1953.
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