TD 4

TD 4 de physique des plasmas
Echelles spatiale et temporelle caractéristiques
M1 Physique fondamentale 2013-2014
On notera ε
0
la permittivité diélectrique absolue du vide, e et m la charge et la masse de
l’électron.
Exercice 1 – Eclatement cylindrique coulombien et pulsation plasma
On considère un faisceau cylindrique infini d’électrons initialement au repos. A l’instant t = 0,
le rayon de ce cylindre est R et la densité d’électrons est homogène et vaut n
e
. Sous l’effet des
forces coulombiennes répulsives, ce faisceau a tendance à éclater radialement. On appelle
ξ(r,t) le déplacement radial à l’instant t des électrons situés dans le cylindre de rayon initial r.
On a donc à t = 0 :
(
)
00,r =ξ et
(
)
0
t
t,r =
∂
ξ
∂
.
1. Justifier pourquoi la force magnétique peut être négligée par la suite.
2. Calculer le champ électrique E(r+ξ,t) à l’intérieur du faisceau en fonction de r et t.
3. Appliquer le principe fondamental de la dynamique à un électron et établir l’équation
différentielle du 2
ème
ordre vérifiée par ξ(r,t).
4. En déduire l’équation différentielle du 1
er
ordre vérifiée par u(r,t) = r + ξ(r,t).
5. Montrer que :
( ) ( )
∫
ξ
+
=ξ⋅ω
r
0
p
x1ln
dx
,rt
Donner l’expression de ω
p
en fonction des grandeurs caractéristiques du faisceau et, au
vu de l’expression ci-dessus, en donner une interprétation physique.

Exercice 2 – Séparation de charges et longueur d’écrantage
Soit un plasma décrit par une densité d’électrons n
e
et une densité d’ions n
i
. A l’intérieur du
plasma, n
e
= n
i
= N. Ce plasma, semi infini, occupe la région x < 0. Les ions sont supposés
infiniment lourds et au repos. Les électrons possèdent une vitesse non nulle suivant l’axe x, ce
qui leur permet de s’éloigner de l’interface x = 0 avec une vitesse initiale V . Proche de
l’interface, le plasma n’est donc plus électriquement neutre. Sous l’effet des forces
électrostatiques, ces électrons rebroussent chemin au bout d’un parcours L. On appelle v(x) la
vitesse de ces électrons à une distance x de l’interface. On a donc v(x = 0) = V et
v(x = L) = 0. On appelle n
e
(x) la densité électronique et on pose n
e
(0) = N
0
. On appelle U(x)
le potentiel électrostatique créé par ces électrons.
1.
En appliquant la conservation de l’énergie des électrons, exprimer v(x) en fonction de
U(x), e, m et V.
2. En appliquant la conservation de la charge, exprimer n
e
(x).v(x) en fonction de N
0
et V.
3. Exprimer n
e
(x) en fonction de U(x) et des paramètres N
0
, V, ε
0
, e et m.
4. En déduire l’équation différentielle du 2
ème
ordre vérifiée par U(x), puis celle du 1
er
ordre.
5. En déduire l’expression de L.
6. Dans le cas où la vitesse initiale V des électrons est identifiée à une vitesse moyenne
d’agitation thermique, donner une nouvelle expression de L et commenter.
L