Correction feuille TD 3 : probabilités conditionnelles, indépendance

Université de Nice-Sophia Antipolis -L2 MASS - Probabilités
Correction feuille TD 3 : probabilités conditionnelles, indépendance
Exercice 1
Dans cet exercice, nous supposons pour simplier que les yeux d'un être humain sont soit de
couleur bleue soit de couleur marron.
Le gène de la couleur bleue est supposé récessif :
faut avoir être hérité des deux parents pour qu'il soit eectivement exprimé.
il
Le génotype
correspondant s'écrit bb. Les autres s'écrivent Mb et MM.
La soeur de François Pignon a les yeux bleus, mais ses parents les yeux marrons. Quelle est la
probabilité que François Pignon ait les yeux bleus ?
Les parents ont au moins un gène M, et au moins un gène b puisqu'ils en ont transmis un
à leur lle. Donc ils sont tous deux "Mb". François Pignon a donc les yeux bleus avec proba
1/4, chacun de ses parents ayant une proba 1/2 de lui transmettre un gène b.
Exercice 2
On lance deux dés. Quelle est la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux donne 6 sachant que
les deux dés achent des résultats diérents ?
On dénit les événements
S =au
moins un dé donne 6; et
diérents".
P(S|D) =
D="les
dés donnent des résultats
10/36
1
P(S ∩ D)
=
=
P(D)
30/36
3
Exercice 3
Un lot de 100 dés contient 25 dés pipés dont la probabilité de sortie du 6 est 1/2. Un dé est
choisi au hasard et lancé : il donne 6. Quelle est la probabilité qu'il soit pipé ?
On dénit les événements
P =le
P(P |S) =
dé est pipé;
S =le
dé donne 6. On utilise la formule de Bayes :
P(S|P )P(P )
1/2 × 1/4
1
=
=
P(S)
1/2 × 1/4 + 1/6 × 3/4
2
Exercice 4
Considérons l'ensemble
{1, 2, 3, 4}
muni de la probabilité uniforme et les événements
A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3}.
A et B sont indépendants, B et C
A, B et C ne sont pas indépendants.
Montrer que
mais que
P(A) = P(B) = P(C) =
sont indépendants,
A
et
C
sont indépendants,
1
1
1
1
; P(A ∩ B) =
: P(A ∩ C) = ; P(B ∩ C) =
: P(A ∩ B ∩ C) = 0
2
4
4
4
On en déduit les r±ultats demandés à l'aide de la dénition de l'indépendance d'événements.
Exercice 5 :
Soit
(Ω, P)
X et Y variables aléatoires
p ∈]0, 1[ et q ∈]0, 1[. Calculer la loi du produit
un espace de probabilité au plus dénombrable muni de
indépendantes de loi de Bernoulli de paramètres
XY .
Z = XY
prend les valeurs
0
ou
1. Z
vaut
1
uniquement si
X
et
Y
valent
1.
Donc
P(Z = 1) = P((X = 1) ∩ (Y = 1)) = pq
On a utilisé l'indépendance de
X
et
Y.
De plus :
P(Z = 0) = 1 − pq
XY
suit donc une loi de Bernoulli de paramètre
pq .
Exercice 6 :
Dans une boîte il y a 10 boules : 6 boules noires et 4 boules blanches. On eectue un tirage
d'une boule au hasard puis sans remettre la boule tirée, on fait un second tirage d'une boule.
On note X la variable aléatoire prenant la valeur 1 si le premier tirage donne une boule noire
et la valeur 2 si le premier tirage donne une boule blanche.
On note Y la variable aléatoire
prenant la valeur 1 si le second tirage donne une boule noire et la valeur 2 si le second tirage
donne une boule blanche.
1. Déterminer la loi de probabilité de
Loi de
X
X.
:
x
1
2
P(X = x) 3/5 2/5
2. Déterminer la loi du couple
(X, Y ).
Présenter les résultats sous forme de tableau.
X
1
2
3. Donner la loi de la variable aléatoire
Loi de
Z = XY
Z
Y
1
2
1
3
4
15
4
15
2
15
égale au produit
XY .
:
z
1
2
4
P(Z = z) 1/3 8/15 2/15
Exercice 7
Une compagnie d'assurance répartit ses assurés en trois catégories : conducteur à faible risque,
conducteur à risque moyen et conducteur à haut risque.
Les statistiques de la compagnie
indiquent que la probabilité d'accident sur une période de un an est 0,05, 0,15 et 0,30 selon la
catégorie. Par ailleurs, la répartition des assurés est la suivante : 20% sont à bas risque, 50%
à risque moyen et 30% à haut risque. Un assuré est choisi au hasard : quelle est la probabilité
qu'il ait un accident au cours de l'année ? Sachant que l'assuré n'a pas eu d'accident lors de
l'année écoulée, quelle est la probabilité qu'il soit à faible risque ?
On dénit les événements
A=le
conducteur a eu un accident;
F, M, H =le
conducteur est à
faible. moyen, haut risque respectivement. On a (formule des probabilités totales) :
P(A) = P(A|F )P(F ) + P(A|M )P(M ) + P(A|H)P(H) = 0.05 ∗ 0.2 + 0.15 ∗ 0.5 + 0.3 ∗ 0.3 = 0.0166
On note
Ac
le complémentaire de
A
(ie "pas d'accident"). La formule de Bayes donne
P(F |Ac ) =
P(Ac |F )P(F )
0.95 ∗ 0.2
=
c
P(A )
1 − 0.0166
Exercice 8
Une banque révise sa politique de carte de crédit avec un rappel d'une partie de celles-ci. Par
le passé, environ 5% des détenteurs d'une carte de crédit ont été insolvables et la banque a été
incapable de recouvrer les soldes impayés. Par conséquent, la direction a estimé égale à 0,05 la
probabilité qu'un détenteur de carte de crédit soit insolvable. La banque a également découvert
que la probabilité de ne pas honorer un paiement mensuel est de 0,2 pour les clients solvables.
Bien entendu, la probabilité de ne pas honorer un paiement mensuel pour les clients insolvables
est de 1.
1. Sachant qu'un client n'a pas honoré un paiement mensuel, calculer la probabilité a posteriori
que le client soit insolvable.
On dénit les événements
I = client insolvable; D=un paiement mensuel non honoré.
de Bayes donne
P(I|D)
2.
La formule
5
1 × 0.05
=
1 × 0.05 + 0.2 × 0.95
24
La banque voudrait reprendre sa carte de crédit si la probabilité qu'un client soit in-
solvable est supérieure à 0,20. La banque devrait-elle reprendre sa carte de crédit si le client
n'honore pas un paiement mensuel ? Pourquoi ?
5/24 > 0.2,
donc la banque devrait reprendre la carte de crédit si un client n'honore pas un
paiement mensuel.
Exercice 9 :
Dans une famille de deux enfants, quelle est la probabilité que le cadet soit une lle sachant
que l'aîné est un garçon ? Sachant que l'un des deux est un garçon, quelle est la probabilité
que l'autre soit une lle ?
AG ="l'aîné est un garçon"; CF ="la cadette est une lle"; G="il
F ="il y a au moins une lle". On note les congurations (ordonnées) de la fratrie GG, GF, F G, F F , avec des notations évidentes (l'aîné en premier). Ces
4 congurations sont équiprobables, de proba 1/4. On cherche donc d'abord P(CF |AG ), puis
P(F |G).
1/4
1
P(CF ∩ AG )
=
=
P(CF |AG ) =
P(AG )
1/2
2
P(F ∩ G)
1/2
2
P(F |G) =
=
=
P(G)
3/4
3
On considère les événements
y a au moins un garçon" et
Ce résultat n'est pas vraiment intuitif...
Exercice 10 :
(On pourra utiliser l'exercice précédent.) Lorsque le téléphone sonne dans une famille de deux
enfants composée exactement d'une lle et un garçon, la lle répond, en l'absence des parents,
avec probabilité
p.
Les Castagnier ont deux enfants.
Ils les ont laissés seuls pour la soirée.
Le téléphone
sonne. Une lle décroche l'appareil. Quelle est la probabilité que l'autre enfant soit un garçon ?
FF
1/2); GG
F G : les
: les C. ont deux garçons (proba 1/4); TF : une
proba de l'événement F G sacahnt que TF se réalise.
On dénit les événements
lle et un garçon (proba
au téléphone. On cherche la
: les C. ont deux lles (proba 1/4);
C. ont une
lle répond
Formule de
Bayes :
P(F G|TF ) =
On calcule
P(TF )
P(TF |F G)P(F G)
P(TF )
à l'aide de la formule des probabilités totales :
1
1
P(TF ) = P(TF |GG)P(GG) + P(TF |F G)P(F G) + P(TF |F F )P(F F ) = p +
2
4
Donc
P(F G|TF ) =
1
p
2
1
p
2
+
1
4
Exercice 11
Considérons le lancer de deux dés et les événements :
A = {1, . . . , 6} × {1, 2, 5},
B = {1, . . . , 6} × {4, 5, 6},
C = {(i, j) ∈ {1, . . . , 6}2 : i + j = 9}.
P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C) mais que A et B ne sont
pas indépendants, et que A et C ne sont pas indépendants.
Montrer que
C
ne sont
pas indépendants,
B
et
A, B
et
C
A
B
se
1
1
1
; P(B) = ; P(C) =
2
2
9
1
A ∩ B = {1, . . . , 6} × {5}, donc P(A ∩ B) = 6 ;
P(A) =
De plus,
B ∩ C = {(5, 4), (4, 5), (3, 6)}
donc
donc
donc
P(B ∩ C) =
P(A ∩ C) =
1
;
12
A ∩ C = {(4, 5)}
1
;
36
P(A ∩ B ∩ C) =
A ∩ B ∩ C = {(4, 5)}
1
.
36
Exercice 12
Soit
(Ω, P)
un espace de probabilité au plus dénombrable muni de trois événements
indépendants. Montrer que
A
est indépendant de
B ∪ C.
On a la relation (faire un dessin par exemple)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
En terme dévénements :
réalisent, soit
A
et
C
A
d'une part, et
B
ou
C
d'autre part se réalisent si soit
et
(soit les deux). Alors
P(A ∩ (B ∪ C)) =
=
=
=
On a utilisé l'indépendance de
A
P((A ∩ B) ∪ (A ∩ C))
P(A ∩ B) + P(A ∩ C) − P((A ∩ B) ∩ (A ∩ C))
P(A)P(B) + P(A)P(C) − P(A ∩ B ∩ C)
P(A)P(B) + P(A)P(C) − P(A)P(B)P(C)
et
B,
celle de
A
et
C,
et celle de
A, B
et
C.
De plus
P(A)P(B ∪ C) = P(A) [P(B) + P(C) − P(B ∩ C)]
= P(A) [P(B) + P(C) − P(B)P(C)]
= P(A)P(B) + P(A)P(C) − P(A)P(B)P(C)
B
et
C.
Un signal est transmis le long de
n
relais montés en série. Pour simplier, le signal est réduit
On a utilisé l'indépendance de
EN comparant les deux égalités obtenues, on conclut.
Exercice 13
à un 0 ou un 1. Chaque relais transmet le signal avec probabilité
0<p<1
et le déforme 1 en
0 ou 0 en 1 avec probabilité 1 − p. Les relais fonctionnent indépendamment les uns des autres.
(k)
(k)
1. On note pc
(pe ) la proba que le signal à la sortie du relais k soit correct (incorrect).
Montrer que
(k)
p(k+1)
= pp(k)
c
c + (1 − p)pe
= (1 − p)pc(k) + pp(k)
p(k+1)
e
e
La proba que le signal soit correct après le relais
correct après le relais
k
k+1
est égale à la proba que le signal soit
et soit transmis correctement par le relais
k + 1,
plus la proba que
le signal soit incorrect après le relais k , et soit transformé par le relais k + 1. Cela donne
(k+1)
(k+1)
la formule ci-dessus pour pc
. Pour pe
, on peut raisonner de la même façon, ou écrire
(k+1)
(k+1)
pe
= 1 − pc
.
2. Montrer que ce résultat peut se mettre sous la forme
p~(k+1) = T p~(k)
où
(k)
pc
(k)
pe
p~(k) =
et
T
que matrice
2×2
!
que l'on précisera.
p~(k+1) =
p
1−p
1−p
p
(k)
pc
(k)
pe
!
3. Calculer sous forme matricielle la proba que le signal à la sortie des
Pour
k=0
n
relais soit correct.
(ie avant le premier relais), le signal est correct avec proba 1. Donc
(n)
p~
=T
n
1
0
Exercice 14 :
Deux joueurs jouent au jeu suivant : un dé à six faces est lancé suivi d'une pièce à pile ou face.
Le joueur
A
gagne, en euro, le résultat du dé si la pièce tombe sur pile et perd, en euro, le
résultat du dé si la pièce tombe sur face. Modéliser l'expérience et donner la loi du gain du
A.
On note G la v.a gain de A. G prend les valeurs −6, −5, . . . , −1, 1, . . . 6.
joueur
En supposant que la
pièce et le dé sont équilibrés, et quie les lancers sont indépendants, toutes les valeurs possibles
pour
A
sont équiprobables, de proba
1/12.
Exercice 15 :
On choisit au hasard un salarié d'un secteur d'activité. On note
qui peut prendre les valeurs H ou F, et
Y
X
la variable aléatoire sexe,
la variable aléatoire niveau de salaire, qui peut
prendre les valeurs faible, intermédiaire, élevé. On sait qu'il y a dans ce secteur 60% de
femmes. Que 40% des salariés ou un salaire faible, et 40% également un salaire intermédiaire.
1. On suppose que les variables aléatoires
X
et
Y
sont indépendantes. Construire le tableau
donnant la loi du couple dans ce cas.
X Y faible interm. élevé
homme 0.16
0.16
0.08
femme 0.24
0.24
0.12
2. En réalité, la loi du couple
(X, Y )
est donnée par le tableau suivant :
X Y faible interm. élevé
homme 0.1
0.15
0.15
femme
0.3
0.25
0.05
Donner la loi de
Y
sachant que
X =homme,
et la loi de
Y
sachant que
X =femme.
Com-
menter.
Loi de
Y
sachant que
X =homme
:
y
faible interm. élevé
P(Y = y|X = homme) 0.25
0.375 0.375
Loi de
Y
sachant que
X =femme
:
y
faible interm. élevé
P(Y = y|X = femme) 0.5
0.417 0.0833
Dans ce secteur d'activité, les salaires des femmes sont en moyenne moins élevés que ceux des
hommes.