Divergence et rotationnel d`un champ de vecteurs : Une

N” 719 BULLETIN DE L’UNION DES PHYSICIENS 1417
Divergence et rotationnel d’un champ
de vecteurs :
Une présentation physique et géométrique
par Jean SIVARDIÈRE
DRF / SPh / Groupe Magnétisme et Diffusion par Interactions Hyperfines
Centre d’Études Nucléaires de Grenoble 85 X, 38041 Grenoble Cedex
1. RÉSUMÉ
Nous proposons, dans cette note, une présentation physique et
géométrique de la divergence et du rotationnel d’un champ de vecteurs.
Le champ des vitesses d’un fluide est utilisé comme exemple, avec ses
singularités : source et tourbillon. Des définitions physiques de la diver-
gence et du rotationnel, nous déduisons leur expression analytique. Nous
discutons enfin les relations entre ces grandeurs et les propriétés locales
des lignes de champ.
Divergence et rotationnel sont des outils mathématiques indispensables
en électromagnétisme et en hydrodynamique, mais généralement redoutés
des étudiants, les exposés traditionnels privilégiant leur définition mathé-
matique. L’expression analytique qui en est donnée est souvent démontrée
seulement dans un repère particulier. Enfin, leur lien avec les propriétés
locales des lignes de champ fait parfois l’objet de généralisations abusives.
Nous nous sommes donc efforcés de mettre au point une présentation plus
concrète de la divergence et du rotationnel. Les résultats énoncés n’ont
évidemment aucun caractère original.
2. INTRODUCTION
Considérons tout d’abord une fonction scalaire d’une variable :
y = f(x). Les propriétés locales de la courbe représentative sont
i!Y
déterminées par la fonction dérivée y’(x) = dx : au voisinage d’un point M
non singulier de cette courbe, on peut en effet, en première approximation,
remplacer la courbe par la droite tangente en M, de pente y’. De même
les propriétés locales de la surface représentant une fonction scalaire de
deux variables z = f(x,y) sont déterminées par les deux dérivées partielles
set - : au voisinage d’un point M, on peut remplacer la surface par
le plar%ngent en M, perpendiculaire au vecteur (2 ,$$, - 1).

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Considérons maintenant un champ scalaire à 3 dimensions, c’est-à-dire
une fonction f(x,y,z) définie en tout point M de l’espace, de coordonnées
(x,y,z). Les propriétés loc$es tfcea;hamp sont déterminées par le vecteur
gzd f de coordonnées -, - Y -
I
direction la fonction f at#?irnen);e 1 . l?plus Ce vecteur indique dans quelle
vite quand on s’éloigne de M,
il est perpendiculaire à la surface de niveau passant par M. Par suite,
au voisinage de M, on peut remplacer les surfaces de niveaux par des
plans parallèles entre eux et perpendiculaires au vecteur gsd f = ?f :
l’écartement de ces plans est lié au module de gzd f.
Considérons enfin un champFde vecteurs, c’est-à-dire l’ensemble des
vecteurs de coordonnées F,(x,y,z), F,,(x,x,z), F,(x,y,z) définis en tout point
M(x,y,z) de l’espace. Les propriétés locales de ce champ sont reliées à
la disposition des lignes de champ au voisinage de chaque point M. Pour
les caractériser, il est naturel - par analogie avec le cas d’un champ
scalaire - de chercher à utiliser les 9 dérivées partielles2 (ii =
x,Y,z).
2s 9 quantités for%ntun tenseur d’ordre 2 appelé tenskr gradient de
FetnotégEdF = Vx F:
aF, aFx aF,
---
ax ay az
grad F = aFY aFY aFY
ax ay az
aFz aFz aFz
ax ay aZ
De ce tenseur (voir appendice l), il est possible d’extraire en particulier
un scalaire, la trace du tenseur :
aFx
-+%Y++ FF
ax ay
et un vecteur axial, V,F, associé a la partie antisymétrique du tenseur
et de composantes :
aFz
aF, aF, aF,
-- aFy ah
ay az --Y% ’ ax ay ’ az
On peut s’attendre à ce que le scalaireT.Fet le vecteur V,F
contribuent à déterminer l’allure locale des lignes de champ : nous allons
voir que ces quantités s’introduisent naturellement à partir de considéra-
tions physiques.

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3. FLUX D’UN CHAMP DE VECTEURS ET DIVERGENCE
La notion de flux d’s champ de vecteurs s’introduit tout naturel-
lement dans le cas où F est le champTdes vitesses d’un fluide
incompressible en mouvement permanent, ou encore le champ de la densité
de courantT= p‘-;)Où p est la masse volumique du fluide.
Soit r un volume limité par la surface fermée S. Le volume du fluide
qui trazrse S en une seconde - ou flux volumique - a pour expression
11~7. dS (par convention, S est orientée de l’intérieur vers l’extérieur).
De même, la masse de fluide travefsant S en une seconde - ou flux
massique - a pour expression l(sT. dS. Plus généralement, on définit le
flux I#I d’un champ de vecteur Fà travers une surface fermée S limitant
le volume 7 par l’intégrale de surface :
c$ = &Ft:G
Cette notion permet de décrire des flux de masse, de charge, de
chaleur.. . Revenons alors au cas du fluide :
1) Si r ne contient ni source ni puits de fluide, le flux, volumique ou
massique, à travers S (et à travers toute surface fermée contenue dans
S) est nul puisque le fluide, incompressible par hypothèse, ne peut
s’accumuler dans le volume T. On dit que le flux est conservatif à l’intérieur
du volume T.
2) Si r contient une source unique ponctuelle isotrope M, de débit massique
p > 0 (on aurait p < 0 si M était un puits), les lignes de champ de
TouTsont des droites passant par M. Le flux massique à travers toute
surface fermée S entourant M est égal à p, puisque le fluide ne peut
s’accumuler dans le volume r limité par S. En particulier, ce flux est égal
à 4~r2pv si S est une sphère de centre M et de rayon r. D’où l’expression
du champ des vitesses : + ii
“A-, 4?rp
r2
T
Üétant le vecteur unitaire radial r.&e champTest newtonien comme
le champ de gravitationz= - Gm -!$ créé par une masse ponctuelle m,
le champ électrostatiqueË =& $ créé par une charge*ponctuelle q
.ü
ou encore le flux de chaleurs= & Q gémis par une source ponctuelle
de chaleur d’intensité Q = $$ dans un milieu isotrope.

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S étant une surface fermée inscrite dans une répartition de sources,
le flux du champjtà travers S est alors égal à la somme des débits
massiques fi des sources intérieures à S : 4 =i cli. Les sources extérieures
ont en effet un flac nul à travers S. De même dans le cas d’une répartition
de masses, de charges ou de sources de chaleur, le flux dex gou6
1 c
est donné par - 47r G y mi, E. i qi
OU 7 Qi. C’est le théorème de Gauss,
caractéristique des champs newtoniens.
3) Considérons enfin le cas où r contient une répartition continue de
sources ponctuelles isotropes. Si un élément de volume dr entourant un
point M de r est une source de débit dp,V = lirn++u Tf7
dp est la densité
de débit massique en M, et on peut considérer v comme la limite, quand
dr-+O, du rapport $$ où d+ est le flux defà travers la surface limitant
dr.
Plus généralement, soit Fun champ quelconque, dr un élément de
volume de point moyen M, dd le flux de F’à travers la surface S limitant
dr : on envisage la limite $$ quand dr+O. Cette limite est appelée
divergence de F en M :
lJ F)G
divF= li~s+O -d,-
C’est le fhrx par unité de volume dans le voisinage de M.
Pour les champs newtoniens~~~et Tenvisagés ci-dessus, on a
donc la relation de Poisson, forme locale du théorème de Gauss :
divg= - 4 rGp
divr= v

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La relation de Poisson est pour l’instant une simple conséquence du
théorème de Gauss et de-la définition physique donnée ci-dessus de la
divergence : dp = div F dr. Cette définition peut s’écrire sous forme
intégrale : flsx ds = J/r divFdr
c’est le théorème de Green-Ostrogradski, ou théorème de la divergence
de Gauss .
4. EXPRESSION ANALYTIQUE DE LA DIVERGENCE
Cette expression est le plus souvent donnée comme définition de div??
Nous allons ici la démontrer - de mam2r-e indépendante de tout repère -
à partir de la définition physique de div F.
Supposons, pour simplifier, que le champ F soit bidimensionnel
(F, = 0, F, et F,, indépendants de z) et que le volume dr soit un cylindre
de hauteur h dont la base est un petit cercle F, de centre M et de rayon r
situe dans le plan xy (figure 1). En un point P de ce cercle, de coordonnées
x = r Cos 0, y = r Sin 19, on a approximativement :
F, = F,(M) +$(M)x ++M)y
F, = F,,(M) +$M)x + %(M)Y
soit :F= F(M) + SF.
ty
Figure 1 : Calcul la divergence.