E grad t ρ ∂ ε ∂ EE grad t ∂ ρ
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ELECTROMAGNETISME – Equations de l’électromagnétisme – Exercice 1 1/2 JG JG Exercice n°1 : Equations résolues en E et B Enoncé: Les équations de Maxwell forme un système de quatre équations aux dérivées partielles du JG JG premier ordre, couplant les champs E et B . Etablir un système de deux équations aux dérivées partielles du deuxième ordre, sachant que JG JG chacune des équations obtenues porte soit sur E soit sur B . _________ Solution: Les équations de Maxwell s'écrivent: JG JGG ⎧ JJJJJJ ∂B ⎪ rot E = − ∂t ⎪ JG ρ ⎪ ⎪⎪ div E = ε0 ⎨ JJG ⎪ JJJJJJ JGG G ∂ ⎪ rot B = μ 0 j + ε 0 μ 0 E ⎪ ∂t ⎪ JG ⎪⎩div B = 0 (1) (2) (3) (4) Pour l'équation du champ électrique, prenons le rotationnel de (1): JJJJJJJJJJJJJJG JJG JJJJJJJJJJJJJG JJJJJJG JJ G ⎛ ∂ B⎞ ⎛ ⎞ rot ⎜ rot E ⎟ = rot ⎜⎜ − ⎟ ⇒ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ t ⎝ ⎠ JJJJJJJJJJJJJJJ JJGG ( JJG ) Δ (E) = − ∂ t grad div E − ∂ JJJJJJJJG JG J ( ) rot B Reportons (2) dans le premier membre et (3) dans le deuxième: JJJJJJJJJJJJG JJG ⎛ ρ ⎞ JJG G ∂ ⎛ ∂ E⎞ E = − ⎜⎜ μ 0 j + ε 0 μ 0 grad ⎜ ⎟ − ⎟ ⎜ ε0 ⎟ ∂t ⎝ ∂ t ⎟⎠ ⎝ ⎠ Δ( ) Et en regroupant les champs à gauche, on obtient: JJG G ∂2 E 1 JJJJJJJJJJG ∂ j Δ E − ε 0 μ 0 2 = ε grad (ρ) + μ 0 ∂t ∂t 0 JJG Leçon n°11: Charges et champs ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME – Equations de l’électromagnétisme – Exercice 1 2/2 De la même façon pour l'équation du champ magnétique, prenons le rotationnel de (3): JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ JJG G JJJJJJJJJJJJJG JJJJJJG G JJ G ⎛ ∂ E⎞ rot ⎜⎛ rot B ⎟⎞ = rot ⎜⎜ μ 0 j + ε 0 μ 0 ⎟ ⇒ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ t ⎝ ⎠ JJJJJJJJJJJJJJJ G JJJJJG G JJG JJG JJG ∂ JJJJJJG grad div B − B = μ 0 rot j + ε 0 μ 0 rot E ∂t JG Sachant que B est un champ de rotationnel, sa divergence est nulle; le report de (1) donne: JG JJJJJGG JJG ∂ ⎛ ∂ B⎞ − B = μ 0 rot j + ε 0 μ 0 ⎜− ⎟ ∂t ⎝ ∂t ⎠ ( ) Δ( ) Δ( ) Et en regroupant les champs à gauche, on obtient: JJG JJJJJJ GG ∂2 B Δ B − ε 0 μ 0 2 = − μ 0 rot j ∂t JJG Leçon n°11: Charges et champs ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN
