E grad t ρ ∂ ε ∂ EE grad t ∂ ρ

ELECTROMAGNETISME – Equations de l’électromagnétisme – Exercice 1
1/2
Exercice n°1 : Equations résolues en E
J
G et B
J
G
Enoncé:
Les équations de Maxwell forme un système de quatre équations aux dérivées partielles du
premier ordre, couplant les champs E
J
G et B
J
G.
Etablir un système de deux équations aux dérivées partielles du deuxième ordre, sachant que
chacune des équations obtenues porte soit sur E
J
G soit sur B
J
G.
_________
Solution:
Les équations de Maxwell s'écrivent:
00
0
0
(1)
divE (2)
j(
divB 0 (4)
B
rot E t
rot B E
t
−
μμ
⎧=
⎪
⎪
⎪ρ
=
⎪
⎪ε
⎨
⎪
⎪=+ε
⎪
⎪=
⎪
⎩
∂
∂
∂
∂3)
J
G
JJJJJJG
JG
JG
JJG
JJJJJJG
JG G
JG
Pour l'équation du champ électrique, prenons le rotationnel de (1):
B
rot rot E rot t
⎛⎞
⎛⎞
=
⇒
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
∂
−∂
J
JJJJJJJJJJJJJG
J
JG
JJJJJJJJJJJJJG
JJJJJJG
JJG
()
(
)
(
)
t
grad divE rot BE
∂
−=−
∂
Δ
JJJJJJJJJJJJJJJG JJJJJJJJG
J
JG
J
JGJGJ
Reportons (2) dans le premier membre et (3) dans le deuxième:
()
00
0
0tjE
grad t
E
⎛⎞ ⎛⎞
∂
⎜⎟
−=−μ μ
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟ ∂⎝⎠
⎝⎠
+ε
ρ∂
ε
∂
Δ
JJJJJJJJJJJJG
J
JG
JJG G
Et en regroupant les champs à gauche, on obtient:
()
2
00
20
01
t
jE
Egrad
t
∂
μ= +μ
ε∂
−ε ∂ρ
∂
Δ
J
JG
G
J
JJJJJJJJJG
JJG
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ELECTROMAGNETISME – Equations de l’électromagnétisme – Exercice 1
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De la même façon pour l'équation du champ magnétique, prenons le rotationnel de (3):
000
E
rot rot B rot j t
⎛⎞
⎛⎞
=⇒
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
∂
μ+εμ
∂
J
JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJG
J
JG
J
JJJJJJJJJJJJG
JJJJJJG G
JJG
()
(
)
000
t
Bgrad div B rot j rot E
∂
−=μ+εμ
∂
Δ
JJJJJJJJJJJJJJJG
J
JJJJG
J
JJJJJG
G
J
JG J JG
JJG
Sachant que B est un champ de rotationnel, sa divergence est nulle; le report de (1) donne:
JG
()
000
t
B
t
Brotj −
⎛⎞
∂
−=μ+εμ
⎜⎟
∂⎝⎠
∂
∂
Δ
J
G
J
JJJJG
G
JJG
Et en regroupant les champs à gauche, on obtient:
2
00
2
0B
Br
t
μ=−μ−ε ∂
∂
Δotj
J
JG
J
JJJJJG
G
JJG
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