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X/ENS Modélisation PSI 2007 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en
CPGE).
Ce sujet, particulièrement bien conçu, nous entraîne dans les coulisses des phénomènes de biréfringence et de génération de faisceau optique par doublement de fréquence. Il se subdivise en trois grandes parties indépendantes auxquelles s’ajoutent
trois questions de synthèse nécessitant les applications numériques effectuées dans
chaque partie.
• La première partie résume et illustre ce que pourrait être un cours sur la propagation des ondes lumineuses dans les milieux diélectriques linéaires et isotropes.
Elle se prolonge par l’étude de milieux anisotropes (conservant tout de même
un caractère uniaxe), aussi appelés milieux biréfringents pour leur capacité à
séparer un faisceau incident non polarisé en deux faisceaux émergents polarisés.
• La deuxième partie porte sur la non-linéarité que l’on peut rencontrer dans
certains de ces milieux qui, à partir de vibrations de fréquence ω, fabriquent
une vibration de fréquence 2ω. Après une étude générale de la non-linéarité,
on explore les avantages et inconvénients de la biréfringence dans l’obtention
d’une certaine puissance de sortie.
• La troisième partie examine l’aspect corpusculaire qui n’a pas été pris en compte
dans la deuxième partie, entièrement ondulatoire. On y introduit le concept de
photon, ce qui permet de déterminer les équations d’évolution des intensités
des faisceaux et de décrire correctement le phénomène de saturation.
• La dernière partie, constituée de seulement trois questions, rassemble les avancées des parties précédentes afin de choisir le modèle caractérisant au mieux le
système expérimental utilisé.
Étant donné que l’énoncé traite du problème des milieux diélectriques, thème
hors programme en PSI, tous les éléments nécessaires à sa résolution sont fournis.
Particulièrement pédagogique et directif, c’est un supplément de cours à parcourir
absolument tant il sait faire apparaître simple les secrets de l’optique non linéaire et
non isotrope, sujet pourtant fort complexe au premier abord.
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Indications
Partie I
I.2 Procéder comme pour l’équation de propagation dans le vide en utilisant les
équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday.
I.7 Relier H à E via l’équation de Maxwell-Ampère.
I.8 La moyenne temporelle d’un cosinus carré vaut 1/2.
I.10 Penser à introduire la matrice identité de dimension 3 et refaire la démonstration de la question I.1.
→
−
∂Ez
I.11 Faire apparaître div E et donner une condition suffisante sur
.
∂z
→
−
I.13 Commencer par placer les vecteurs d . Le cas ordinaire est facile. Pour le cas
→
−
→
−
→
extraordinaire, penser que d est dans le plan des vecteurs −
e et k , tout en
→
−
→
−
étant orthogonal à k car div D = 0.
I.15 Chercher la représentation sous la forme z = n(+) cos θ et x = n(+) sin θ.
I.16 La pente p s’exprime comme p = dz/dx, que l’on peut simplifier avec les
formules précédentes pour faire apparaître θ.
I.17 Introduire l’angle ϕ que fait la tangente avec l’axe horizontal Ox. Il est tel que
|p| = tan ϕ.
I.19 De retour dans l’air, le comportement est à nouveau « ordinaire ».
Partie II
II.1 L’équation est la même que pour le cas linéaire, excepté le terme supplémen→
−
taire dans l’expression de D .
II.2 Remarquer que E3Z = 0 et appliquer l’expression cartésienne du rotationnel.
∂E3
II.6 L’équation s’écrit
= −jα e j ∆k Z avec α paramètre constant.
∂Z
II.7 Mettre e j ∆k Z/2 en facteur pour faire apparaître l’expression du sin(∆k Z/2).
II.12 Chercher un point d’intersection.
II.16 L’intensité augmente tant qu’il y a recouvrement.
II.17 Chercher une valeur minimale.
Partie III
III.6 Passer pour une équation sur les éclairements.
III.12 Remarquer sur la figure que tanh2 (0,9) ≈ 1/2.
Partie IV
IV.1 Comparer la longueur effective L du cristal aux deux longueurs caractéristiques
précédentes Lsep et L1/2 .
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I. Optique linéaire cristalline
→
−
I.1 L’énoncé fournit les définitions des vecteurs polarisation P et déplacement
→
−
électrique D comme étant
−
→
−
→
P = ε0 χ E
→
→ −
−
→
−
D = ε0 E + P
εr
On a donc
d’où
z }| { −
−
→
→
−
→
−
→
D = ε0 E + ε0 χ E = ε0 (1 + χ) E
εr = 1 + χ
L’équation de Maxwell-Gauss s’écrit dans les milieux
→
−
→
−
→
−
0 = div ( D ) = div (ε0 εr E ) = ε0 εr div E
La dernière égalité découle du fait que la susceptibilité électrique χ (et donc εr ) est
supposée ne pas dépendre des variables spatiales. Le produit ε0 εr étant non nul,
il vient
→
−
div E = 0
I.2 Calculons le premier terme de l’équation proposée
−
→
→
−→ −→ −
−→ ∂ B
rot (rot E ) = − rot
∂t
→
∂ −→ −
= − (rot B )
∂t
→
∂ −→ −
= −µ0 (rot H )
∂t
−
→
∂ ∂D
= −µ0
∂t ∂t
→
−
→
−→ −→ −
∂2 E
rot (rot E ) = −µ0 ε0 εr
∂t2
On obtient bien
→
−
−
∂B
−→ →
car rot E = −
∂t
(théorème de Schwarz)
car µ0 = Cte
→
−
−
∂D
−→ →
car rot H =
∂t
→
−
→
−
car D = ε0 εr E
→
−
−
→
−
∂2 E
−→ −→ →
rot (rot E ) + µ0 ε0 εr
= 0
2
∂t
I.3 Le rotationnel du champ électrique a la dimension d’un champ électrique divisé
par une longueur. Sa dérivée temporelle a la dimension d’un champ divisé par un
temps. Il en résulte
[E]
[E]
+ [µ0 ε0 εr ] 2 = 0
2
L
T
ou encore
[µ0 ε0 εr ] =
T2
= [v]−2
L2
Le terme µ0 ε0 εr est bien homogène à l’inverse du carré d’une vitesse v.
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I.4 En utilisant la relation µ0 ε0 c2 = 1, on en déduit immédiatement
c
v= √
εr
et
n=
√
εr
I.5 À l’aide de l’équation démontrée à la question I.2 et de la formule du double
produit vectoriel rappelée dans les annexes de l’énoncé, on a
→
−
→ −
−
→ −
−
→
→ −
−
→ −
→
→
→ −
→
→
n2 (jω)2 −
n2 ω 2 −
−j k ∧ (−j k ∧ E ) +
E = −[( k · E ) k − ( k · k ) E ] − 2 E
2
c
c
→ −
−
→
−
→
La conservation du flux du champ électrique via la relation div E = −j k · E = 0
→
−
indique que le champ est transverse, perpendiculaire au vecteur d’onde k ; l’équation
se simplifie alors en
→ −
→ n2 ω 2 −
−
→
k2 E − 2 E = 0
c
k 2 c2 = n 2 ω 2
Il vient
I.6 L’équation de Maxwell-Ampère s’écrit en notation complexe
→ −
−
→
→
−
→
−
−j k ∧ H = jω D = jω ε0 εr E
→
−
→
−
→
−
→
Les vecteurs −
e et h qui portent respectivement E et H sont donc nécessairement
orthogonaux par définition du produit vectoriel. De plus, comme le vecteur de Poyn→
−
→
−
→
ting Π est porté par définition par −
e ∧ h,
→ −
−
→ −
→
Les vecteurs ( E , H , Π ) forment un trièdre direct.
→
−
L’équation de conservation du flux du champ magnétique div B = 0 assure que le
→
−
→
−
vecteur B est orthogonal au vecteur d’onde k . En outre, on peut réécrire l’équation
de Maxwell-Ampère
→ −
−
→
→
−
−µ0 j k ∧ B = jω D
→ −
−
→ −
→
assurant que le trièdre ( k , B , − D ) est direct. Par permutation non circulaire, on en
déduit
→
→ −
−
→ −
Les vecteurs ( D , B , k ) forment un trièdre direct.
→
→
→ −
−
→ −
→ −
−
→ −
I.7 ( D , B , k ) formant un trièdre direct, ( E , H , k ) en est aussi un. Par conséquent,
→ −
−
→
→
k ∧ H = −k H −
e
→
−
→
−
→
Projetée selon −
e , l’équation de Maxwell-Ampère exprimée en fonction de E et H
exploitée à la question précédente s’écrit
k H = ω ε0 εr E
nω
√
= n ω µ0 ε 0
c
la norme du vecteur de Poynting s’écrit
Comme
k=
Π=
et
2
ε 0 n2 Re E e j (ωt−kZ)
=n
√
n µ0 ε 0
r
ε r = n2
2
ε0 Re E e j (ωt−kZ)
µ0
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