Continuité et dérivabilité des fonctions réelles

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Chapitre II : Relations fonctionnelles
I – Définir une fonction
Une fonction entre deux variables peut être définie de différentes façons non équivalentes :
a. Définition expérimentale
A partir de couples expérimentaux
xi,yi
, la relation fonctionnelle entre les variables
X
et
Y
peut être interprétée à l'aide d'un nuage de points.
i xy:[[0,1],[1,1.6],[2,2.1],[3,3.2]];
o [[0,1],[1,1.6],[2,2.1],[3,3.2]]
En fonction de la nature de la relation, on pourra par régression ou interpolation proposer
une famille de fonctions décrivant correctement la relation entre les variables.
b. Définition explicite
La relation fonctionnelle est décrite analytiquement sous la forme,
y=f x
c. Définition implicite algébrique
L'objectif est de construire une fonction vérifiant une propriété algébrique. Par exemple,
•
f
doit vérifier pour tous nombres réels
x,
y,
et
la relation :
f xy =f x f y
et
f x = f x
•
f
doit vérifier pour tous nombres réels x et
y
la relation :
f xy =f x
×
f y

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•
f
doit vérifier pour tous nombres réels strictement positifs
x
et
y
la relation :
f x×y =f x f y
•Les couples
x,y
sont reliés par la relation :
x2y2=1
et
y
1
d. Définition implicite différentielle
La fonction
f
est définie par une équation différentielle, par exemple :
•
y ' ay =b
avec
a
et
b
deux réels
Une fonction sera ainsi entièrement déterminée par la donnée d'un ensemble de départ
E
(ensemble de définition), d'un ensemble d'arrivée
F
et pour chaque élément
x
de
E
du
couple de
E×F
:
x,y
, symbolisé par :
f
:
E
F
x
y
II Propriétés élémentaires d'une fonction
1. Image par une fonction
Image par une fonction : Soit une fonction f définie sur
I
. Soit
J
un sous ensemble de
I
.
On note
f J
l’ensemble des valeurs prises par f lorsque
x
décrit
J
. En pratique, on
utilise le tableau de variation qui suppose la continuité de la fonction.
Ex : Soit
f x
=
sin x
et
I=
ℝ
, alors
f I =
f([0, π])= f([-π,0])=
Image réciproque par une fonction : Soit une fonction f définie sur
I
. Soit
J
un sous
ensemble de
f I
. On note
f−1 J
l’ensemble {x
∈
I
tels que
f x ∈J
}.
Ex : Soit
f x
=
x3
et
I=
ℝ
, alors
f−1
([0;8])=

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2. Sens de variation
f est croissante sur I (resp. strictement croissante sur I) ssi
Ex:
f est décroissante sur I (resp. strictement décroissante sur I) ssi
Ex:
Remarque: Une fonction croissante sur I conserve l’ordre sur
I
alors qu’une fonction
décroissante sur I inverse l’ordre sur I.
f est monotone sur I , ssi f est croissante ou décroissante sur I.
Propriétés :
•La somme de deux fonctions croissantes (resp. décroissantes) est croissante (resp.
décroissante).
•L'opposé d'une fonction croissante est décroissante.
•L'inverse (si elle est définie) d'une fonction croissante est décroissante.
Exemple: Déterminer le sens de variation de :
1
ex
−ln x
x22x
3. Composée de deux fonctions
Définition : Soit
u
une fonction définie sur
I
à valeurs dans
J
et
v
une fonction définie sur
J
. On appelle composée de
u
par
v
la fonction
v u x
notée
vou x
.
Exemple : Soit
u x =x2
et
v x =sin x
. Déterminer
uov
et
vou
.
Exemple : Décomposé
ln x21
et
sin x
22 sin
x 2
.

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Propriétés
•La composée de deux fonctions de même sens de variation est croissante.
•La composée de deux fonctions de sens de variation contraire est décroissante.
Ex: Déterminer le sens de variation des fonctions suivantes
ex2
ln x2
ln
1
x
3. Fonction bornée
f est minorée sur
I
(resp. majorée), ssi
f est bornée ssi f est à la fois minorée et majorée.
Remarque : f est bornée ⇔
f
majorée
4. Rappels sur les limites
La lettre a représente un réel, +∞ ou -∞. l et l’ ’ sont deux réels. A partir des limites de
référence, il est possible d’en déduire de nouvelles limites à l’aide des opérations
suivantes :
Limite d’une somme
ax →
lim
f(x) =
l l l
+∞-∞+∞
ax →
lim
g(x) =
l ’+∞-∞+∞-∞-∞
ax →
lim
(f+g) (x)
=
Limite d’un produit
ax →
lim
f(x) =
l l ( l >0) l ( l <0) +∞-∞+∞« 0 » « 0 »
ax →
lim
g(x) =
l ’+∞+∞+∞-∞-∞+∞-∞
ax →
lim
(fg) (x) =

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Limite d’un quotient :
Cas où
ax →
lim
g(x) ≠0
ax →
lim
f(x) =
l l l
+∞+∞-∞-∞+∞ ou -∞
ax →
lim
g(x) =
l’ ’+∞-∞ l’ ’ ( l’ ’>0) l’ ’
( l’ ’<0)
l’ ’
( l’ ’>0)
l’ ’ ( l’ ’<0) +∞ ou -∞
ax →
lim
f
g
(x)
=
Cas où
ax →
lim
g(x) =0
ax →
lim
f(x) =
l ( l >0) l ( l <0) l ( l >0 l ( l <0) +∞+∞-∞-∞0+ou 0-
ax →
lim
g(x) = 0+0+0-0-0+0-0+0-0+ou 0-
ax →
lim
f
g
(x)
Applications :
•Une fonction polynôme se comporte en +∞ ou -∞ comme son terme de plus haut
degré.
•Un quotient de fonctions polynôme se comporte en +∞ ou -∞ comme le rapport des
termes de plus haut degré.
Propriété: Soit u et v 2 fonctions telle que v o u soit définie.
a
,
b
et
c
représentent des
réels, +∞ ou -∞.
Si
ax →
lim
u(x) =
b
et
bx →
lim
v(X) =
c
alors
ax →
lim
v o u(x) =
c
Ex : Calculer
lim
x ∞
e−x
lim
x ∞
x2−2x1
i limit(exp(-x), x, inf)
lim
x — 1
x2−2x1
x2−3x2