Continuité et dérivabilité des fonctions réelles

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Chapitre II : Relations fonctionnelles
I – Définir une fonction
Une fonction entre deux variables peut être définie de différentes façons non équivalentes :
a. Définition expérimentale
A partir de couples expérimentaux  x i , y i  , la relation fonctionnelle entre les variables X et
Y peut être interprétée à l'aide d'un nuage de points.
i
xy:[[0,1],[1,1.6],[2,2.1],[3,3.2]];
o
[[0,1],[1,1.6],[2,2.1],[3,3.2]]
En fonction de la nature de la relation, on pourra par régression ou interpolation proposer
une famille de fonctions décrivant correctement la relation entre les variables.
b. Définition explicite
La relation fonctionnelle est décrite analytiquement sous la forme, y = f  x 
c. Définition implicite algébrique
L'objectif est de construire une fonction vérifiant une propriété algébrique. Par exemple,
•
f doit vérifier pour tous nombres réels x , y , et  la relation :
f  x  y  = f  x   f  y  et f   x  = f  x 
•
f doit vérifier pour tous nombres réels x et y la relation :
f  x  y = f  x  × f  y 
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•
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f doit vérifier pour tous nombres réels strictement positifs x et y la relation :
f  x × y  = f  x  f  y 
• Les couples  x , y  sont reliés par la relation :
x 2  y 2 = 1 et y 1
d. Définition implicite différentielle
La fonction f est définie par une équation différentielle, par exemple :
•
y '  ay = b avec a et b deux réels
Une fonction sera ainsi entièrement déterminée par la donnée d'un ensemble de départ E
(ensemble de définition), d'un ensemble d'arrivée F et pour chaque élément x de E du
couple de E × F :  x , y  , symbolisé par :
f:
E  F
x  y
II Propriétés élémentaires d'une fonction
1. Image par une fonction
Image par une fonction : Soit une fonction f définie sur I . Soit J un sous ensemble de I .
On note f  J  l’ensemble des valeurs prises par f lorsque x décrit J . En pratique, on
utilise le tableau de variation qui suppose la continuité de la fonction.
Ex : Soit f  x  = sin  x  et I = ℝ , alors f  I  =
f([0, π])=
f([-π,0])=
Image réciproque par une fonction : Soit une fonction f définie sur I . Soit J un sous
ensemble de f  I  . On note f −1  J  l’ensemble {x ∈ I tels que f  x  ∈ J }.
Ex : Soit f  x  = x 3 et I = ℝ , alors f −1 ([0;8])=
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2. Sens de variation
f est croissante sur I (resp. strictement croissante sur I) ssi
Ex:
f est décroissante sur I (resp. strictement décroissante sur I) ssi
Ex:
Remarque: Une fonction croissante sur I conserve l’ordre sur I alors qu’une fonction
décroissante sur I inverse l’ordre sur I.
f est monotone sur I, ssi f est croissante ou décroissante sur I.
Propriétés :
• La somme de deux fonctions croissantes (resp. décroissantes) est croissante (resp.
décroissante).
• L'opposé d'une fonction croissante est décroissante.
• L'inverse (si elle est définie) d'une fonction croissante est décroissante.
Exemple: Déterminer le sens de variation de :
1
ex
−ln  x 
x2  2 x
3. Composée de deux fonctions
Définition : Soit u une fonction définie sur I à valeurs dans J et v une fonction définie sur
J . On appelle composée de u par v la fonction v  u  x   notée vou  x  .
Exemple : Soit u  x  = x 2 et v  x  =sin  x  . Déterminer uov et vou .
Exemple : Décomposé ln  x 2  1  et sin  x 2  2 sin  x   2 .
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Propriétés
• La composée de deux fonctions de même sens de variation est croissante.
• La composée de deux fonctions de sens de variation contraire est décroissante.
Ex: Déterminer le sens de variation des fonctions suivantes
ex
2
ln  x 2 
ln
 1x 
3. Fonction bornée
f est minorée sur I (resp. majorée), ssi
f est bornée ssi f est à la fois minorée et majorée.
Remarque : f est bornée ⇔ f majorée
4. Rappels sur les limites
La lettre a représente un réel, +∞ ou -∞. l et l’’ sont deux réels. A partir des limites de
référence, il est possible d’en déduire de nouvelles limites à l’aide des opérations
suivantes :
l
f(x) =
lim
l’
x→ a g(x) =
lim
x→ a (f+g) (x)
=
lim
x→ a
l
f(x) =
lim
l’
x→ a g(x) =
lim
x→ a (fg) (x) =
lim
x→ a
l
+∞
Limite d’une somme
l
+∞ -∞ +∞
-∞ +∞ -∞ -∞
Limite d’un produit
l (l>0) l (l<0) +∞ -∞ +∞
+∞
+∞
+∞ -∞ -∞
«0» «0»
+∞
-∞
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Limite d’un quotient :
lim g(x) ≠0
Cas où x→
a
lim
l
l
l
+∞
x→ a f(x) =
lim
l’’ +∞ -∞ l’’ (l’’>0)
x→ a g(x) =
lim
x→ a
+∞
l’’
(l’’<0)
-∞
l’’
(l’’>0)
-∞
l’’ (l’’<0)
+∞ ou -∞
+∞ ou -∞
 gf  (x)
=
lim
Cas où x→
a g(x) =0
lim
l (l>0)
x→ a f(x) =
lim
0+
x→ a g(x) =
lim
x→ a
l (l<0)
0+
l (l>0
0-
l (l<0)
0-
+∞
0+
+∞
0-
-∞
0+
-∞
0-
0+ou 00+ou 0-
 gf  (x)
Applications :
• Une fonction polynôme se comporte en +∞ ou -∞ comme son terme de plus haut
degré.
• Un quotient de fonctions polynôme se comporte en +∞ ou -∞ comme le rapport des
termes de plus haut degré.
Propriété: Soit u et v 2 fonctions telle que v o u soit définie. a, b et c représentent des
réels, +∞ ou -∞.
Si
lim
x→ a
u(x) = b et
lim v(X)
x→ b
= c alors
e−x
Ex : Calculer xlim
 ∞
i limit(exp(-x), x, inf)
x2− 2 x  1
lim 2
x —1 x −3 x 2
lim
x→ a
v o u(x) = c
lim
x  ∞
 x2 − 2 x  1
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III Fonctions de réferences
Les fonctions suivantes se retrouvent dans tous les domaines, physique, biologie. Elles
servent souvent à décrire des processus car elles traduisent des relations simples comme la
proportionnalité ou la linéarité. Il faut bien les connaître (opérations algébriques,
propriétés, limites, dérivées, sens de variation …).
1/ Applications linéaires et affines
Définition : Soient a et b deux réels donnés. Lorsqu’à chaque réel x, on associe le réel
ax + b, on définit une fonction affine f et on note f(x) = ax + b.
• Lorsque b = 0, la fonction est dite linéaire, par exemple, f(x) = -3x.
• Lorsque a = 0, la fonction est dite constante, par exemple, f(x) = 3.
Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction
affine f : x  ax + b est une droite. On dit que cette droite a
pour équation y = ax + b et que a est son coefficient
P
directeur, b son ordonnée à l’origine.
1
Cette droite passe par le point P(0 ; b).
O
A
1
a
y = ax + b
1
• Dans le cas d’une fonction linéaire x  ax, l’image y est proportionnelle à la
variable x.
• Dans le cas d’une fonction affine x  ax+b , les variations de la réponse y sont
proportionnelles aux variations de la variable x.
Propriété Soit f une fonction affine définie par f(x) = ax + b.
Alors, pour tous u et v tels que u ≠ v,
f v − f u
= a.
v −u
Ce rapport est appelé taux de variation de f entre u et v. Ce rapport est égal au coefficient
de proportionnalité reliant les variations de x à celle de y.
Exemple : Retrouver graphiquement les fonctions affines représentées ci-dessous.
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4 y
x 0 2
l(x) 0 4
4 y
x –4 2
f(x) –1 2
-3
-2
4
3
3
2
2
2
-1
-1
x –1 1
g(x) 5 –1
3
1
1
1
-4
5 y
x
0
1
2
3
4
x
-2
-1
0
1
2
-3
3
-2
x
0
1
2
3
-1
-1
-2
-1
-2
Régionnement du plan
La droite (d) d’équation y = ax  b partage le plan en deux demi-plans :
• Un demi-plan fermé P1 contenant la droite (d), qui est
l’ensemble des points M(x ;y) tels que : y ≥ ax  b;
• Un demi-plan fermé P2 contenant la droite (d), qui est
l’ensemble des points M(x ;y) tels que : y  ax  b;
• La droite (d) est appelée droite frontière des demi-plans
P1 et P2.
• Si les inégalités sont strictes (< ou >), les demi-plans ne contiennent pas la droite (d).
2/ Logarithme népérien et de base a: ln  x  et log a  x 
Définition: On note ln la fonction logarithme népérien définie comme l'unique
1
primitive sur ]0;+∞[ de qui s'annule en x = 1.
x
Propriétés algébriques: ∀ a>0 et b>0
ln  a × b  = lna + lnb
Tableau de variation
x
ln x
Tableau de signe
x
ln x
Corollaires
ln
1
= - lna
a
lnaα = α × lna
avec α∈ ℝ
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• ln( x)réalise une bijection de ]0;+∞[ dans ℝ, elle admet une fonction réciproque
de ℝ dans ]0;+∞[ avec ln -1 x = ex, ainsi pour x>0 :
ln x = y ⇔ x = ey
• ln x est strictement croissante sur ℝ +*, donc pour x>0 et y>0:
x < y ⇔ ln x < ln y
 
• Limites particulières: lim ln
x —0
et
1 x
x

ln x= ln y ⇔ x = y
= 1 et lim
x —1
ln  x 
=1
x −1
Logarithme de base a (a>0)
• On définit sur ]0;+ ∞ [ la fonction logarithme de base a, notée log a, par log a(x)=
ln x
ln a
.
log a possède les mêmes propriétés algébriques que ln et log a(a)=1 et log a(an) = n
•
• Cas particuliers: log 10 avec log 10(10n)=n en physique et log 2 en informatique.
2/ Exponentielle: ex
Définition : On définit sur ℝ la fonction exponentielle, notée exp(x)= ex, comme la
fonction réciproque de ln x.
Propriétés algébriques: ∀ a,b ∈ ℝ
ea+b = ea × eb
Propriété: La fonction ex est dérivable sur ℝ et (ex)’=ex.
Tableau de variation
x
ex
Tableau de signe
x
ex
Corollaires
1
e-a= e a
e  a =(ea)α avec α∈ ℝ
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•
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ex est strictement croissante, donc pour tous réels x et y :
x < y ⇔ ex < ey et
•
Limites particulières: lim
x —0
ex =ey ⇔ x = y
ex−1
=1
x
3/ Fonction exponentielle de base a, a>0 : expa(x)=ax
Propriété :Pour tout réel a strictement positif,
• a x est définie sur ℝ par a x = e x ×ln a
• a x est dérivable sur ℝ et (ax)’ =
Etudier les limites en –∞ et +∞ et le tableau de variation de ax dans les cas :
Si 0<a<1
Si a>1
y
4
Quelques exemples:
Retrouver les courbes de:
0,5x 0,8x 1,5x et 3x
3
2
1
-2
-1
o
1
2
3
x
Remarque: Dans les expression faisant intervenir x en puissance, penser à mettre sous
forme exponentielle. Exemple :
2x =
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4/ Fonction puissance α : xα avec x>0 et α réel
1
Rappels: Pour α= n, entier naturel non nul et x>0, x n = n x est le réel positif qui élevé à
la puissance n égale x. On pose pour x=0 n 0 = 0 . En particuliers :
x= x
1
2
La fonction racine nième, x→ n x , définie sur [0 ;+ ∞ [ est la fonction réciproque de la
fonction puissance x→xn définie sur [0 ;+∞[.
On étend cette notion à une puissance réelle α quelconque, mais pour cela il faut x>0.
Définition : Pour tout réel α, xα est définie sur ]0;+∞[ par xα = e  ln  x 
Propriétés algébriques: Pour tous α ∈ ℝ , α' ∈ ℝ , x>0 et y>0,
xα × yα = (xy)α
xα × xα' = xα+α'
(xα)α' =xα × α'
xα
= xα − α '
xα '
Propriété : xα est dérivable sur ]0;+∞[ et (xα )’=
Si α<0
Si α>0
y
Exemples: Retrouver les courbes de :
x-1,5 x-0.2 x0.6 x2,3
4
3
2
1
o
1
2
3
Remarque : - Si α >0, x peut être prolongée par continuité en 0 (f(0)=0).
- Si α = n ∈ ℕ *, xn est définie sur ℝ et x-n sur ℝ *.
α
4 x
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5/ Croissances comparées
Les fonctions puissances, α>0 , x→ xα , exponentielle, x → ex, et logarithme, x→ ln x,
sont toutes trois croissantes sur ]0 ;+∞[ et de même limite +∞ quand x tend vers +∞.
Aussi les limites des fonctions
x→
ln x
x
α
et x →
ex
xα
sont des formes indéterminées en +∞
Propriété : Si α>0, on a
lim ln x =0
xα
x→ + ∞
et x→lim+ ∞
ex
xα
=+∞
Remarque : En +∞, l’exponentielle l’emporte sur la puissance qui l’emporte sur le
logarithme.
Démonstration :
y
Corollaire: Par changement de variable, on montre que pour α>0,
lim xα
x→ 0
lnx = 0 et x→lim+ ∞ xα e-x = 0
o
x
IV Quelques applications des fonctions
1. Programmation linéaire – Optimisation
Le régionnement du plan est utilisé en programmation linéaire pour déterminer les
solutions d'un système d'inéquations à deux inconnues.
Exemple : À l'approche des fêtes de Pâques, un artisan chocolatier décide de
confectionner des oeufs en chocolat. En allant inspecter ses réserves, il constate qu'il lui
reste 18 kg de cacao, 8 kg de noisettes et 14 kg de lait. Il a deux spécialités : l'oeuf Extra et
l'oeuf Sublime. Un oeuf Extra nécessite 1 kg de cacao, 1 kg de noisettes et 2 kg de lait. Un
oeuf Sublime nécessite 3 kg de cacao, 1 kg de noisettes et 1 kg de lait. Il fera un profit de
20 € en vendant un oeuf Extra, et de 30 € en vendant un oeuf Sublime.
Combien d'oeufs Extra et Sublime doit-il fabriquer pour faire le plus grand bénéfice
possible ?
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Résolution :
• Poser les inconnues du problème
• Déterminer les contraintes sur ces inconnues (inégalités)
• Déterminer graphiquement l'ensemble des solutions par régionnement du plan.
• Déterminer la fonction bénéfice ou coût en fonction des variables et représenter les
solutions possibles pour une valeur de bénéfice fixe.
• Trouver la solution optimale.
2. Echelle logarithmique
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L'échelle logarithmique n'est définie que pour des valeurs strictement positives. Une base
logarithmique b est choisie, correspondant à un type de logarithme, les plus courants étant
le logarithme népérien ln et le logarithme en base 10, log10 .
L'intérêt de telles échelles est :
• de pouvoir représenter des données d'ordres de grandeur différents :
objet
x=taille en m log10  x 
mouche
0,005
homme
2
Terrain de foot 100
village
1000
pays
1 000 000
• De pouvoir linéariser une relation entre deux variables :
• y = b× a x avec a  0
•
y = b× x a avec x  0
• y= b  a ln  x 
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L'utilisation du papier semi log ou log-log permet d'éviter le calcul préalable dans la
nouvelle échelle. L'utilisation d'un ordinateur permet de visualiser rapidement les nuages
(x,y), ( ln x, ln y), ( ln x, y), (x, ln y) et déterminer celui représentant le mieux une
relation linéaire qui découle ensuite sur une régression.
Exemple : La croissance d'une population fermée dont les coefficients de mortalité et de
natalité restent invariables suit une loi exponentielle. Les données observées sur le petit
rongeur Microtus Arvalis Pall, sont :
Durée t (mois) 0 2 4 6 8 10 12
Effectif N
2 5 11 20 40 109 200
xy:[[0,2],[2,5],[4,11],[6,20],[8,40],[10,109],[12,200]];
wxplot2d([[discrete,xy]],[style,[points,3]],[xlabel,"t"],[ylabel,"N"]);
wxplot2d([[discrete,xy]],[style,[points,3]],[gnuplot_preamble, "set logscale
y; setgrid;"]);
• Ecrire le modèle mathématique décrivant la croissance du rongeur. Dans quel type
de repère semi log représenter le tableau pour obtenir une relation linéaire?
• Représenter les données dans un repère semi log. En déduire graphiquement le
temps nécessaire pour atteindre 150 individus.
• En déduire la droite d'ajustement empirique puis les coefficients du modèle.
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