Séquence 13 : Probabilités On réalise les 3 expériences suivantes : Expérience n°1 : La pièce de monnaie Expérience n°2 : Le dé à 6 faces Expérience n°3 : La roue de loterie On lance une pièce de monnaie On lance un dé à 6 faces On fait tourner une roue de équilibrée et on regarde sa face équilibré et on regarde le loterie équilibrée, on regarde la supérieure. nombre de points inscrits sur sa couleur désignée par la flèche. face supérieure. I. Vocabulaire Définition : - une expérience est dite aléatoire si : Elle conduit à des résultats possibles que l’on peut nommer. La pièce de monnaie : - On ne sait pas lequel de ces résultats va se produire quand on réalise l’expérience. Le dé à 6 faces : La roue de loterie : …………………………………. …………………………………. ………………………………… Remarque : une expérience élémentaire est entièrement due au hasard. Définition : Chacun des résultats possibles d’une expérience est une issue de l’expérience. La pièce de monnaie : Le dé à 6 faces : La roue de loterie : Cette expérience admet Cette expérience admet Cette expérience admet ………………………………. ……………………………….. ………………………………. ………………………………. ……………………………….. ………………………………. ………………………………. ……………………………….. ………………………………. Définition : Un événement est une condition qui peut être, ou ne pas être, réalisée lors d’une expérience. Un évènement peut être réalisé par plusieurs …............................ de cette expérience. Un évènement réalisé par une seule issue s’appelle un événement élémentaire. La pièce de monnaie : Le dé à 6 faces : La roue de loterie : ………………………………. ……………………………….. ………………………………. ………………………………. est un évènement réalisé par les ………………………………. est un évènement élémentaire. issues :………………………… est un évènement élémentaire. ……………………………….. est un évènement élémentaire. II. Notion de probabilité a. Définition Définition : Lorsque l’on effectue un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de n’importe quel évènement de cette expérience finit par se stabiliser autour d’un nombre qui est ……………………………………………………………………………………………………….. La pièce de monnaie : Le dé à 6 faces : La roue de loterie : Si on lançait la pièce un très Si on lançait le dé un très grand Si on faisait tourner la roue de grand nombre de fois, on nombre de fois, on obtiendrait 4 loterie un très grand nombre de obtiendrait pile environ environ ….............................. fois, on obtiendrait vert environ ………………………………… …………………………….. ……………………………….. Notation : Si A est un évènement, on note p(A) la probabilité que l’évènement A se réalise. b. Propriétés - Une probabilité est un nombre compris entre ……………………………………………………. - Un évènement dont la probabilité est nulle est un évènement …………………………………… - Un évènement dont la probabilité est égale à 1 est un évènement ……………………………….. - La somme des probabilités de tous les évènements élémentaires est égale à ……………………. c. Equiprobabilité Définition : Lorsque tous les évènements élémentaires ont la même probabilité d’être réalisés, on dit qu’il s’agit d’une situation d'équiprobabilité. Réciproquement, dans une situation d’équiprobabilité, tous les évènements élémentaires ont la même probabilité. La pièce de monnaie : Le dé à 6 faces : La roue de loterie : On a autant de chances d’obtenir On a autant de chances d’obtenir On a deux fois plus de chances pile que face : …….…………. 1, que 2, que 3, que 4, que 5, d’obtenir vert que rose : ………………………………. que 6 : ……………………….. ………………………………. ………………………………. ……………………………….. ………………………………. d. Calculer une probabilité Propriété : la probabilité d’un évènement est égale au quotient : La pièce de monnaie : Le dé à 6 faces : La roue de loterie : On considère l’évènement F : « obtenir face ». P(F) = On considère l’évènement A : « obtenir un nombre pair ». P(A) = On considère l’évènement V : « obtenir vert ». P(V) = III. Calcul de probabilité à l’aide d’un arbre 1er exemple : La pièce de monnaie. On peut représenter la situation à l’aide d’un arbre : On indique sur chaque branche, la probabilité de l’évènement auquel mène la branche. On peut indiquer sur chaque branche, la probabilité : 2ème exemple : le dé à 6 faces On peut représenter les issues de l’expérience sous la forme d’un arbre pondéré par des probabilités. Avec un arbre, on peut calculer la probabilité d’un évènement en additionnant les probabilités écrites sur ses branches. 3ème exemple : Chaque élève d’une classe inscrit sur un papier le nombre de SMS qu’il a envoyés la veille. Le tableau ci-dessous donne la répartition des réponses. On mélange ces papiers dans un sac et on en tire un au hasard. On lit le nombre inscrit. Nombre de 0 1 2 3 4 sms envoyés Effectif 6 5 3 4 2 1. Dessine l’arbre pondéré par les probabilités. Quelle est la somme de ces probabilités ? 5 5 2. Soit l'évènement S : « le papier porte le nombre 0 ou 1 ». Calcule la probabilité de S. 3. Soient les évènements B : « le papier porte le nombre 4 ou plus » et C: « le papier porte le nombre 2 au plus ». Calcule la probabilité de B puis celle de C. 4ème exemple : Expérience à deux épreuves Une urne opaque contient trois boules bleues (B), deux boules vertes (V). On tire une boule au hasard, on la remet dans l’urne, puis on tire une deuxième boule au hasard. Compléter les branches de l’arbre avec les probabilités correspondantes.