1 On considère la fonction homographique f telle que f(x) = 2 x – 3 x

1 On considère la fonction homographique f telle que f(x) =
2x–3
x–1
a) Préciser l'ensemble de définition de la fonction f.
1
x –1
b) Etudier la fonction f . Préciser la transformation utilisée et la nature de la courbe C f .
x+5
2 Soit la fonction f telle que f(x) =
x+2
a) Préciser l'ensemble de définition D de f . Calculer les images de 0 et de – 1 par f .
b
b) Trouver les réels a et b tels que f(x) = a +
x+2
Vérifier que, pour tout réel x de D , on a : f(x) = 2 –
3
b) Etudier la fonction f . Vérifier que la courbe C f est la translatée de la courbe d'équation y = par la translation
x

→

→
de vecteur – 2 i + j .
3 On connaît le tableau des variations d'une fonction u, avec u(0) = 1 et u(2)
=0.
1° Tracer la courbe possible d'une telle fonction.
2° Dresser le tableau des variations de chacune fonctions données par :
a) f(x) = – 2 u(x) + 1
b) g(x) = – u(x – 3) – 2
c) h(x) = | u(x) | – 2 .
On précisera les valeurs aux bornes et les extrêmes.
x
–3
–1
2
5
f(x)
0
–1
4 On considère la fonction f donnée par : f(x) = – 2 x2 – 4 x + 6.
a) Exprimer f(x) – 8 en fonction de x . En déduire que l'on peut écrire : f(x) = a (x + α)2 + β.
b) Etudier le sens de variation de f, en précisant les tram formations qui permettent de passer de la parabole
d'équation y= 2 x2 à la courbe de la fonction f.
c) Résoudre l'équation f(x) = 6 , l'inéquation f(x) < 0 et l'inéquation f(x) ≥ 9 .
2
5 Soit f la fonction définie sur ] – 1 ; + ∞ [ p f(x) = 3 –
et C f sa courbe représentative,
x+1
1° a) Calculer f(0) et f(– 1) .
b) Résoudre l'équation f(x) = 0 . En donner une interprétation graphique.
2° a) Etudier le sens de variation de la fonction f , en précisant la translation permettant de passer de l'hyperbole
de la fonction inverse à la courbe C f .
b) Tracer la courbe C f dans un repère orthonormé d'unité 1 cm en notant les points obtenus en 1°.
c) Tracer la droite d'équation y = x . En déduire 1 nombre de solutions de l'équation f(x) = x .
1
6 On considère les fonctions telles que : u(x) = (x – 3)2 – 9 ; f(x) = 2
et g(x) = 6x – x2.
x –6x
a) Dresser le tableau des variations de la fonction u en indiquant son signe suivant les valeurs de x .
Développer u(x) .
b) Justifier que f est définie sur IR – { 0 ; 6 }. Dresser le tableau des variations de f .
c) Justifier que g est définie sur [ 0 ; 6 ] . Déterminer le sens de variation de la fonction g.
7 Sur le graphique ci-dessous sont représentées courbes C f et C g de
deux fonctions f et g définies sur IR
1
1
1° Déterminer le tableau des variations de et de
f
g
2° Déterminer le tableau des variations de f2 et g2
3° Déterminer le tableau des variations 2 f(x) – 3 et 1 – 2 g(x).
1 On considère la fonction homographique f telle que f(x) =
2x–3
x–1
a) Préciser l'ensemble de définition de la fonction f. Vérifier que, pour tout réel x de D , on a : f(x) = 2 –
2–
1
x –1
1
2 (x – 1)
1
2x–2–1 2x–3
=
–
=
=
= f(x).
x–1
x–1
x–1
x–1
x–1
b) Etudier la fonction f . Préciser la transformation utilisée et la nature de la courbe C f .
x
x–1
→

u:x
→

→

1
x–1
→

–
1
x–1
→

2–
1
x–1
x–1
v:x
→

1
x
w:x
→

2–x
Sur ] 1 ; + ∞ [
la fonction u est croissante puis la fonction v est décroissante
enfin la fonction w est décroissante donc f est croissante
Sur ] – ∞ ; 1 [
la fonction u est croissante puis la fonction v est décroissante
enfin la fonction w est décroissante donc f est croissante
y
C4
1
1
0
x
C3
C1
C1 est la courbe d'équation y =
1
x
C2
1

→
s'obtient à partir de C1 par translation de vecteur i
x–1
1
C3 , la courbe d'équation y = –
s'obtient à partir de C2 par symétrie autour de l'axe des abscisses.
x–1
1

→
C4 , la courbe d'équation y = 2 –
s'obtient à partir de C2 par translation de vecteur 2 j
x–1
C2 , la courbe d'équation y =
2 Soit la fonction f telle que f(x) =
x+5
a) Préciser l'ensemble de définition D de f . Calculer les images de 0 et de – 1 par f .
x+2
x + 2 ≠ 0 . Df = ] – ∞ ; – 2 [ union ; – 2 [ union ] – 2 ; + ∞ [
–1+5
0+5 5
f(0) =
= et f(– 1) =
=4
0+2 2
–1+2
b) Trouver les réels a et b tels que f(x) = a +
b
x+2
b
a (x + 2)
b
ax+2a+b
=
+
=
x+2
x+2
x+2
x+2
ax+2a+b x+5
Si on veut que
=
il suffit de choisir a et b tels que a = 1 et 2 a + b = 5 c'est à dire a = 1 et b = 3
x+2
x+2
3
x+5
x+5 x+2+3 x+2
3
3
On a donc 1 +
=
variante
=
=
+
=1+
x+2
x+2
x+2 x+2
x+2
x+2 x+2
a+

→ 
→
3
b) Etudier la fonction f. Vérifier que C f est la translatée de la courbe d'équation y = par la translation de vecteur –2 i + j .
x
x
x+2
→

u:x
→

→

3
x+2
1+
→

Sur ] – ∞ ; – 2 [ :
u est croissante puis v est décroissante et enfin w est croissante donc f est
décroissante.
Sur ] – 2 ; + ∞ [ :
u est croissante puis v est décroissante et enfin w est croissante donc f est
décroissante.
3
x+2
x+2
v:x
→

3
x
w:x
1+x
3
C1 est la courbe d'équation y =
x
3

→
C2 , la courbe d'équation y =
s'obtient à partir de C1 par translation de vecteur – 2 i
x+2
3

→
s'obtient à partir de C2 par translation de vecteur j
C3 , la courbe d'équation y = 1 +
x+2
3

→

→
donc C3 , la courbe d'équation y = 1 +
s'obtient à partir de C1 par translation de vecteur – 2 i + j
x+2
→

y
C2
C3
1
0
x
1
C1
3 On connaît le tableau des variations d'une fonction u, avec u(0) = 1 et u(2) =0.
x
–3
1° Tracer la courbe possible d'une telle fonction.
–1
2
5
f(x)
y
0
a)
x
Cf
1
Cu
–3
1
–1
–1
5
3
f(x)
O
–3
1
Cg
Ch
b)
x
0
–2
2
8
–1
f(x)
–4
2° Dresser le tableau des variations de chacune fonctions données par :
a) f(x) = – 2 u(x) + 1
b) g(x) = – u(x – 3) – 2
c) h(x) = | u(x) | – 2 .
On précisera les valeurs aux bornes et les extrêmes.
c)
x
–3
–1
0
2
f(x)
–2
–2
5
–1
4 On considère la fonction f donnée par : f(x) = – 2 x2 – 4 x + 6.
a) Exprimer f(x) – 8 en fonction de x . En déduire que l'on peut écrire : f(x) = a (x + α)2 + β.
f(x) – 8 = – 2 x2 – 4 x + 6 – 8= – 2 x2 – 4 x – 2 = – 2 (x2 + 2 x + 1) = – 2 (x + 1)2
Donc f(x) = 8 – 2 (x + 1)2 et en posant : a = – 2, α = 1 et β = 8 on obtient l'égalité demandée.
b) Etudier le sens de variation de f, en précisant les tram formations qui permettent de passer de la parabole d'équation y= 2 x2 à
la courbe de la fonction f.
x → x + 1 → 2 (x + 1)2 → – 2 (x + 1)2 → – 2 (x + 1)2 + 8
• Sur ] – ∞ ; – 1 ] t est croissante, puis u est

t:x

→


x+1
u:x
→


décroissante, puis v est décroissante, enfin
w est croissante donc f est croissante
• Sur ] – 1 ; + ∞ ] t est croissante, puis u
est croissante, puis v est décroissante,
enfin w est croissante donc f est
décroissante
2 x2
v:x
→

–x
w:x
→

x+8
C1 est la courbe d'équation y = 2 x2

→
C2 , la courbe d'équation y = 2 (x + 1)2 s'obtient à partir de C1 par translation de vecteur – i
C3 , la courbe d'équation y = – 2 (x + 1)2 s'obtient à partir de C2 par symétrie autour de l'axe des abscisses.

→
C4 , la courbe d'équation y = – 2 (x + 1)2 + 8 s'obtient à partir de C2 par translation de vecteur 8 j
c) Résoudre l'équation f(x) = 6 , l'inéquation f(x) < 0 et l'inéquation f(x) ≥ 9.
f(x) = 6 ⇔ – 2 (x + 1)2 + 8 = 6 ⇔ 8 – 6 = 2 (x + 1)2 ⇔ 2 (x + 1)2 = 2 ⇔ (x + 1)2 = 1 ⇔ x + 1 = 1 ou x + 1 = – 1
⇔ x = 0 ou x = – 2. S = { 0 ; – 2}
x
–∞
–3
1
+∞
f(x) < 0 ⇔ 8 – 2 (x + 1)2 < 0 ⇔ 2 (22 – (x + 1)2) < 0
1 –x
+
+
0
–
⇔ 2 (2 – (x + 1)) (2 + x + 1) < 0 ⇔ 2 (1 – x) (x + 3) < 0
x+3
–
0
+
+
f(x)
–
0
+
0
–
5 Soit f la fonction définie sur ] – 1 ; + ∞ [ p f(x) = 3 –
2
et C f sa courbe représentative,
x+1
1° a) Calculer f(0) et f(– 1) .
f(0) = 3 –
2
= 3 – 2 = 1 f(– 1) n'existe pas
0+1
b) Résoudre l'équation f(x) = 0 . En donner une interprétation graphique.
2
2
1
=0⇔
= 3 ⇔ 2 = 3 (x + 1) ⇔ 3 x + 3 = 2 ⇔ x = –
x+1
x+1
3
f(x) = 0 ⇔ 3 –
–
1
est l'abscisse du point d'intersection de la courbe représentative de f, Cf avec l'axe des abscisses.
3
2° a) Etudier le sens de variation de la fonction f , en précisant la transformation permettant de passer de l'hyperbole de la
fonction inverse à la courbe C f .
f:x

→
x+1
t:x

→
x+1
→

u:x
2
2
→ –
x+1
x+1

→

2
x
v:x
→

→

–x
w:x
3–
2
x+1
→
3+x

Sur ] – ∞ ; – 1 [
t est croissante puis u est décroissante, puis v est
décroissante enfin w est croissante donc f est croissante
Sur ] – 1 ; + ∞ [
t est croissante puis u est décroissante, puis v est
décroissante enfin w est croissante donc f est croissante
2
x
2

→
C2 , la courbe d'équation y =
s'obtient à partir de C1 par translation de vecteur – i
x+1
2
C3 , la courbe d'équation y = –
s'obtient à partir de C2 par symétrie autour de l'axe des abscisses.
x+1
2

→
C4 , la courbe d'équation y = 3 –
s'obtient à partir de C2 par translation de vecteur 3 j
x+1
C1 est la courbe d'équation y =
y
b) Tracer la courbe C f dans un repère orthonormé
d'unité 1 cm en notant les points obtenus en 1°.
c) Tracer la droite d'équation y = x .
En déduire 1 nombre de solutions de l'équation f(x) = x .
Il semble y avoir deux solutions
– 0,4 et 2,3
1
0
x
1
6 On considère les fonctions telles que : u(x) = (x – 3)2 – 9 ; f(x) =
1
et g(x) = 6x – x2. a) Dresser le tableau des variations de la
x2 – 6 x
fonction u en indiquant son signe suivant les valeurs de x .
Développer u(x) .
u : x → x – 3 → (x – 3)2 → (x – 3)2 – 9 Sur ] – ∞ ; 3 [ i est croissante, puis j décroissante et k est croissante
i : x → x – 3
donc u est décroissante.
j : x → x2
Sur ] 3 ; + ∞ [ i est croissante, puis j croissante et k est croissante
→
k:x
x–9
donc u est croissante.
u(x) = (x – 3)2 – 9 = x2 – 6 x + 9 – 9 = x2 – 6 x






b) Justifier que f est définie sur IR – { 0 ; 6 }. Dresser le tableau des variations de f.
1
. u suivie de v donne la fonction f
x
Sur ] – ∞ ; 0 [, u est décroissante et v décroissante donc f est croisssante
Sur ] 0 ; 3 ] u est décroissante et v décroissante donc f est croisssante
Sur [ 3 ; 6 [ u est croissante et v décroissante donc f est décroisssante
Sur ] 6 ; + ∞ [ u est croissante et v décroissante donc f est décroisssante
c) Justifier que g est définie sur [ 0 ; 6 ].
x
–∞
Déterminer le sens de variation de la fonction g.
x
–
6 x – x2 = x (6 – x)
6–x
+
6 x – x2 ≥ 0 ⇔ x ∈ [ 0 , 6 ] donc Dg = [ 0 , 6 ]
x2 – 6 x
–
w x → x. u suivie de w donne g
Sur ] 0 ; 3 ] u est décroissante et v croissante donc f est décroisssante
Sur [ 3 ; 6 [ u est croissante et v croissante donc f est croisssante
v:x
→

0
0
0
+∞
6
+
+
+
+
–
–
0
0

7 Sur le graphique ci-dessous sont représentées courbes C f et C g de deux fonctions f et g
1
1
définies sur IR 1° Déterminer le tableau des variations de et de
f
g
On suppose que f ne s'annule pas sur IR
x
–∞
2
+∞
2
f
x
–∞
1,5
+∞
0
g
x
1
f
–∞
x
–∞
1
2
–∞
f
x
g
–∞
g
2
2
+∞
1,5
+∞
0
+∞
1,5
2° Déterminer le tableau des variations de f2 et g2
x
+∞
1,5
x
3° Déterminer le tableau des variations 2 f(x) – 3 et 1 – 2 g(
–∞
f2
–∞
x
g2
2
4
+∞
1,5
+∞
0
x
–∞
2f–3
x
1–2g
–∞
2
1
1,5
1
+∞
+∞