Probabilités (Seconde partie) - PharedesMaths

Probabilités (Seconde partie)
Classe de Première ES
Y. BRENEY - Professeur de Mathématiques
[email protected]
Lycée Lumière - Luxeuil-les-Bains
Probabilités (Seconde partie) – p. 1
1 - Épreuve et loi de Bernoulli
Probabilités (Seconde partie) – p. 2
1 - Épreuve et loi de Bernoulli
Définitions
Probabilités (Seconde partie) – p. 2
1 - Épreuve et loi de Bernoulli
Définitions
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire
n’ayant que deux issues, appelées « succès » (notée S) et
« échec » (notée E ou S), de probabilités respectives p et
(1 − p) où p est un réel appartenant à ]0; 1[.
Probabilités (Seconde partie) – p. 2
1 - Épreuve et loi de Bernoulli
Définitions
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire
n’ayant que deux issues, appelées « succès » (notée S) et
« échec » (notée E ou S), de probabilités respectives p et
(1 − p) où p est un réel appartenant à ]0; 1[.
On appelle loi de Bernoulli de paramètre p, la loi de probabilité associée à une épreuve de Bernoulli dont la probabilité
du succès est p.
Probabilités (Seconde partie) – p. 2
1 - Épreuve et loi de Bernoulli
Définitions
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire
n’ayant que deux issues, appelées « succès » (notée S) et
« échec » (notée E ou S), de probabilités respectives p et
(1 − p) où p est un réel appartenant à ]0; 1[.
On appelle loi de Bernoulli de paramètre p, la loi de probabilité associée à une épreuve de Bernoulli dont la probabilité
du succès est p.
Remarque
Dans le cas présent, la notion de succès n’a pas valeur de
jugement. Le succès peut être un événement désagréable et
l’échec un événement heureux.
Probabilités (Seconde partie) – p. 2
2 - Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Probabilités (Seconde partie) – p. 3
2 - Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Définitions
Probabilités (Seconde partie) – p. 3
2 - Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Définitions
Soit n un entier naturel non nul.
Probabilités (Seconde partie) – p. 3
2 - Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Définitions
Soit n un entier naturel non nul.
L’expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière
indépendante une même épreuve de Bernoulli de paramètre
p est nommée schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
Probabilités (Seconde partie) – p. 3
2 - Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Définitions
Soit n un entier naturel non nul.
L’expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière
indépendante une même épreuve de Bernoulli de paramètre
p est nommée schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
La loi de probabilité de la variable aléatoire comptant le
nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli de
paramètres n et p est appelée loi binomiale de paramètres n
et p et est notée B(n, p).
Probabilités (Seconde partie) – p. 3
2 - Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Définitions
Soit n un entier naturel non nul.
L’expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière
indépendante une même épreuve de Bernoulli de paramètre
p est nommée schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
La loi de probabilité de la variable aléatoire comptant le
nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli de
paramètres n et p est appelée loi binomiale de paramètres n
et p et est notée B(n, p).
Proposition
Probabilités (Seconde partie) – p. 3
2 - Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Définitions
Soit n un entier naturel non nul.
L’expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière
indépendante une même épreuve de Bernoulli de paramètre
p est nommée schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
La loi de probabilité de la variable aléatoire comptant le
nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli de
paramètres n et p est appelée loi binomiale de paramètres n
et p et est notée B(n, p).
Proposition
Si une variable aléatoire X suit la loi B(n, p) alors l’espérance de X est donnée par E(X) =
.
Probabilités (Seconde partie) – p. 3
2 - Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Définitions
Soit n un entier naturel non nul.
L’expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière
indépendante une même épreuve de Bernoulli de paramètre
p est nommée schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
La loi de probabilité de la variable aléatoire comptant le
nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli de
paramètres n et p est appelée loi binomiale de paramètres n
et p et est notée B(n, p).
Proposition
Si une variable aléatoire X suit la loi B(n, p) alors l’espérance de X est donnée par E(X) = n × p.
Probabilités (Seconde partie) – p. 3
3 - Loi binomiale et coefficients binomiaux
Probabilités (Seconde partie) – p. 4
3 - Loi binomiale et coefficients binomiaux
Dans tout ce paragraphe, n désigne un entier naturel non nul, k
un entier compris entre 0 et n et p un réel appartenant à ]0; 1[.
Probabilités (Seconde partie) – p. 4
3 - Loi binomiale et coefficients binomiaux
Dans tout ce paragraphe, n désigne un entier naturel non nul, k
un entier compris entre 0 et n et p un réel appartenant à ]0; 1[.
Définition
Probabilités (Seconde partie) – p. 4
3 - Loi binomiale et coefficients binomiaux
Dans tout ce paragraphe, n désigne un entier naturel non nul, k
un entier compris entre 0 et n et p un réel appartenant à ]0; 1[.
Définition
On considère l’arbre pondéré associé au schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
Probabilités (Seconde partie) – p. 4
3 - Loi binomiale et coefficients binomiaux
Dans tout ce paragraphe, n désigne un entier naturel non nul, k
un entier compris entre 0 et n et p un réel appartenant à ]0; 1[.
Définition
On considère l’arbre pondéré associé au schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
Le nombre de chemins
exactement k succès sur les
Ö réalisant
è
n
n épreuves est noté
(se lit « k parmi n ») et est nommé
coefficient binomial. k
Probabilités (Seconde partie) – p. 4
3 - Loi binomiale et coefficients binomiaux
Dans tout ce paragraphe, n désigne un entier naturel non nul, k
un entier compris entre 0 et n et p un réel appartenant à ]0; 1[.
Définition
On considère l’arbre pondéré associé au schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
Le nombre de chemins
exactement k succès sur les
Ö réalisant
è
n
n épreuves est noté
(se lit « k parmi n ») et est nommé
coefficient binomial. k
Proposition
Probabilités (Seconde partie) – p. 4
3 - Loi binomiale et coefficients binomiaux
Dans tout ce paragraphe, n désigne un entier naturel non nul, k
un entier compris entre 0 et n et p un réel appartenant à ]0; 1[.
Définition
On considère l’arbre pondéré associé au schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
Le nombre de chemins
exactement k succès sur les
Ö réalisant
è
n
n épreuves est noté
(se lit « k parmi n ») et est nommé
coefficient binomial. k
Proposition
Si une variable aléatoire X suit la loi B(n, p) alors :
Probabilités (Seconde partie) – p. 4
3 - Loi binomiale et coefficients binomiaux
Dans tout ce paragraphe, n désigne un entier naturel non nul, k
un entier compris entre 0 et n et p un réel appartenant à ]0; 1[.
Définition
On considère l’arbre pondéré associé au schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
Le nombre de chemins
exactement k succès sur les
Ö réalisant
è
n
n épreuves est noté
(se lit « k parmi n ») et est nommé
coefficient binomial. k
Proposition
Si une variable aléatoire X suit la loi B(n, p) alors :
Ö è
P (X = k) =
n
k
pk (1 − p)n−k
Probabilités (Seconde partie) – p. 4
Probabilités (Seconde partie) – p. 5
Méthode
Utilisation de la calculatrice graphique
Probabilités (Seconde partie) – p. 5
Méthode Utilisation de la calculatrice graphique
Si une variable aléatoire X suit la loi B(n, p) alors :
Probabilités (Seconde partie) – p. 5
Méthode Utilisation de la calculatrice graphique
Si une variable aléatoire X suit la loi B(n,
p) alors :
Ö è
• Pour calculer le coefficient binomial
n
:
k
Probabilités (Seconde partie) – p. 5
Méthode Utilisation de la calculatrice graphique
Si une variable aléatoire X suit la loi B(n,
p) alors :
Ö è
• Pour calculer le coefficient binomial
n
:
k
◮ Syntaxe : n Combinaison k
Probabilités (Seconde partie) – p. 5
Méthode Utilisation de la calculatrice graphique
Si une variable aléatoire X suit la loi B(n,
p) alors :
Ö è
• Pour calculer le coefficient binomial
n
:
k
◮ Syntaxe : n Combinaison k
◮ Accès : Touche Math puis PRB puis Combinaison
Probabilités (Seconde partie) – p. 5
Méthode Utilisation de la calculatrice graphique
Si une variable aléatoire X suit la loi B(n,
p) alors :
Ö è
• Pour calculer le coefficient binomial
n
:
k
◮ Syntaxe : n Combinaison k
◮ Accès : Touche Math puis PRB puis Combinaison
• Pour calculer la probabilité P (X = k) :
Probabilités (Seconde partie) – p. 5
Méthode Utilisation de la calculatrice graphique
Si une variable aléatoire X suit la loi B(n,
p) alors :
Ö è
• Pour calculer le coefficient binomial
n
:
k
◮ Syntaxe : n Combinaison k
◮ Accès : Touche Math puis PRB puis Combinaison
• Pour calculer la probabilité P (X = k) :
◮ Syntaxe : binomFdp(n,p,k)
Probabilités (Seconde partie) – p. 5
Méthode Utilisation de la calculatrice graphique
Si une variable aléatoire X suit la loi B(n,
p) alors :
Ö è
• Pour calculer le coefficient binomial
n
:
k
◮ Syntaxe : n Combinaison k
◮ Accès : Touche Math puis PRB puis Combinaison
• Pour calculer la probabilité P (X = k) :
◮ Syntaxe : binomFdp(n,p,k)
◮ Accès : Menu distrib (Touches 2nde var ) puis choisir binomFdp
Probabilités (Seconde partie) – p. 5
Méthode Utilisation de la calculatrice graphique
Si une variable aléatoire X suit la loi B(n,
p) alors :
Ö è
• Pour calculer le coefficient binomial
n
:
k
◮ Syntaxe : n Combinaison k
◮ Accès : Touche Math puis PRB puis Combinaison
• Pour calculer la probabilité P (X = k) :
◮ Syntaxe : binomFdp(n,p,k)
◮ Accès : Menu distrib (Touches 2nde var ) puis choisir binomFdp
• Pour calculer la probabilité P (X 6 k) :
Probabilités (Seconde partie) – p. 5
Méthode Utilisation de la calculatrice graphique
Si une variable aléatoire X suit la loi B(n,
p) alors :
Ö è
• Pour calculer le coefficient binomial
n
:
k
◮ Syntaxe : n Combinaison k
◮ Accès : Touche Math puis PRB puis Combinaison
• Pour calculer la probabilité P (X = k) :
◮ Syntaxe : binomFdp(n,p,k)
◮ Accès : Menu distrib (Touches 2nde var ) puis choisir binomFdp
• Pour calculer la probabilité P (X 6 k) :
◮ Syntaxe : binomFRép(n,p,k)
Probabilités (Seconde partie) – p. 5
Méthode Utilisation de la calculatrice graphique
Si une variable aléatoire X suit la loi B(n,
p) alors :
Ö è
• Pour calculer le coefficient binomial
n
:
k
◮ Syntaxe : n Combinaison k
◮ Accès : Touche Math puis PRB puis Combinaison
• Pour calculer la probabilité P (X = k) :
◮ Syntaxe : binomFdp(n,p,k)
◮ Accès : Menu distrib (Touches 2nde var ) puis choisir binomFdp
• Pour calculer la probabilité P (X 6 k) :
◮ Syntaxe : binomFRép(n,p,k)
◮ Accès : Menu distrib (Touches 2nde var ) puis choisir binomFRép
Probabilités (Seconde partie) – p. 5