Théorème de Molien

Théorème de Molien
2012-2013
Référence : Eric Leichtnam, Exercices d’oraux X-ENS : tome Algèbre et
Géométrie, Ellipses, 1999, p. 95.
Théorème.
Soit Vun C-espace vectoriel de dimension finie n.
Soit (e1, . . . , en)une base de V.
Soit Gun sous-groupe fini de GL(V).
On note A=C[X1, . . . , Xn]et on pose :
σ:G−→ S(A)
g7−→ (P7→ P(g−1.(X1, . . . , Xn)))
où (X1, . . . , Xn)est identifié avec la colonne ayant pour coordonnées X1, . . . , Xn
et .est le produit matriciel.
i.e., si g−1= (ui,j )1≤i,j≤n,
σ(g)(P)(X1, . . . , Xn) = P
n
X
j=1
u1,j Xj,...,
n
X
j=1
un,j Xj
Alors :
–σdéfinit une action de Gsur Aet est à valeurs dans GL(A), on notera
σ(g)(P) = g·P.
– Pour k∈N, on note Akl’espace des polynômes homogènes de Ade degré k.
L’action de Gsur Ainduit alors une action de Gsur Ak.
– Finalement, on note AG
kl’ensemble des points fixes sous cette action, i.e.
AG
k={P∈Ak| ∀g∈G, g ·P=P}
et ak(G) = dim AG
k.
On a alors : +∞
X
k=0
ak(G)Xk=1
Card GX
g∈G
1
det(Id −Xg)
Lemme.
Soit Vun C-espace vectoriel de dimension finie net Gun groupe fini.
1

Soit ϕ:G→GL(V)un morphisme de groupes.
On note :
VG=\
g∈G
ker(ϕ(g)−Id)
Alors :
dim VG=1
Card GX
g∈G
Trace ϕ(g)
Démonstration. On considère :
pG=1
Card GX
g∈G
ϕ(g)
Montrons que pG(V) = VG:
– Soit v∈V, h ∈G, alors :
ϕ(h)(pG(v)) = 1
Card GX
g∈G
ϕ(h)ϕ(g)(v)
=1
Card GX
g∈G
ϕ(hg)(v)
=pG(v)
car g7→ hg est une bijection de G, donc pG(V)⊆VG.
– Réciproquement, on a pG(v) = vpour tout v∈VG, donc VG⊆pG(V).
L’égalité ϕ(h)pG=pGpour tout h∈Gmontre que pG2=pG, donc pGest un
projecteur d’image VG.
D’où :
rang pG= dim VG= Trace pG
D’où le résultat par linéarité de la trace.
Démonstration du théorème.
– Montrons d’abord que σdéfinit bien une action de Gsur A. On a :
(g·(g0·P))(X1, . . . , Xn)=(g0·P)(g−1.(X1, . . . , Xn))
=P((gg0)−1.(X1, . . . , Xn))
= (gg0)·P
et Id ·g=g.
De plus, σ(g)est clairement linéaire, donc σ(g)∈GL(A).
– Pour k∈N,g·Ak⊆Ak, donc l’action de Gsur Ainduit une action de Gsur
Ak. Notons σk:G→GL(Ak)le morphisme induit par σ.
2

– Soit g∈G. Observons d’abord que gest diagonalisable. En effet, le polynôme
XCard G−1annule get est scindé à racines simples.
Soit alors u∈GL(V)tel que la matrice de ugu−1dans la base (e1, . . . , en)
soit diagonale et soit λ1, . . . , λnles valeurs propres de g.
Alors :
1
det(Id −Xg)=
n
Y
i=1
1
1−λiX
=
n
Y
i=1 +∞
X
k=0
λk
iXk!
=
+∞
X
k=0 X k1+···+kn=k
λk1
1· · · λkn
n!Xk
D’autre part, si k1+· · · +kn=k, alors :
σk(ug−1u−1)(Xk1
1· · · Xkn
n) = λk1
1· · · λkn
nXk1
1· · · Xkn
n
Donc λk1
1· · · λkn
nest valeur propre de σk(ug−1u−1). Or les Xk1
1· · · Xkn
nforment
une base de Ak, donc :
Trace(σk(g−1)) = Trace(σk(ug−1u−1)) = X
k1+···+kn=k
λk1
1· · · λkn
n
D’où :
1
det(Id −Xg)=
+∞
X
k=0
Trace(σk(g−1))Xk
En appliquant le lemme avec V=Aket ϕ=σk, on obtient :
dim AG
k=ak(G) = 1
Card GX
g∈G
Trace(σk(g−1))
D’où :
+∞
X
k=0
ak(G)Xk=1
Card G
+∞
X
k=0 X
g∈G
Trace(σk(g−1))Xk
=1
Card GX
g∈G
+∞
X
k=0
Trace(σk(g−1))Xk
=1
Card GX
g∈G
1
det(Id −Xg)
3