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Fonctions trigonométriques
1. Rappel
Soit x un réel et M le point associé sur le cercle trigonométrique. Dans le repère orthonormal (O, ~ı, ~) :
I le cosinus de x, noté cos(x), est l’abscisse du point M.
I le sinus de x, noté sin(x), est l’ordonnée du point M.
2. Propriétés des fonctions cosinus et sinus
(a) Pour tout x réel, −1 ≤ cos(x) ≤ 1 et −1 ≤ sin(x) ≤ 1
(b)
i. Pour tout x réel, cos(−x) = cos(x) :
on dit que la fonction cosinus est paire.
ii. Pour tout x réel, sin(−x) = − sin(x) :
on dit que la fonction sinus est impaire.
Interprétation graphique
Le plan est muni d’un repère orthogonal (O, ~ı, ~).
La courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe (O, ~).
La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine O du repère.
(c) Pour tout x réel, cos(x + 2π) = cos(x) et sin(x + 2π) = sin(x)
On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques, de période 2π
Interprétation graphique
Il suffit donc d’étudier les fonctions sinus et cosinus sur un intervalle de longueur 2π.
On obtient chaque courbe sur R par des translations de vecteurs 2kπ~ı(k ∈ Z)
(d) Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et pour tout nombre réel x :
sin0 (x) = cos(x) et cos0 (x) = − sin(x)
(e) Tableaux de variations
x
f 0 (x) = − sin(x)
0
1
x
π
f 0 (x) = cos(x)
−
π
2
0
+
0
1
f (x) = cos(x)
π
−
f (x) = sin(x)
0
−1
(f) Représentations graphiques
1
0
3. Rappels
Compléter les tableaux suivants :
cos(a − b) =
cos(a + b) =
sin(a + b) =
sin(a − b) =
x
0
π
6
cos(x)
sin(x)
π
√4
2
√2
2
2
π
3
π
2
4. Graphique à connaître
5. Deux formules utiles : Pour tout x réel,
π
− x = sin(x)
cos
2
sin
π
2
− x = cos(x)
6. Equations cos(x) = cos(a) et sin(x) = sin(a)
1) cos(x) = cos(a) équivaut à x = a + 2πk ou x = −a + 2πk avec k ∈ Z
2) sin(x) = sin(a) équivaut à x = a + 2πk ou x = π − a + 2πk avec k ∈ Z
C Gerlein
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