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Fonctions trigonométriques
1. Rappel
Soit xun réel et Mle point associé sur le cercle trigono-
métrique. Dans le repère orthonormal (O, ~ı, ~):
Ile cosinus de x, noté cos(x), est l’abscisse du point M.
Ile sinus de x, noté sin(x), est l’ordonnée du point M.
2. Propriétés des fonctions cosinus et sinus
(a) Pour tout xréel, −1≤cos(x)≤1et −1≤sin(x)≤1
(b) i. Pour tout xréel, cos(−x) = cos(x):
on dit que la fonction cosinus est paire.
ii. Pour tout xréel, sin(−x) = −sin(x):
on dit que la fonction sinus est impaire.
Interprétation graphique
Le plan est muni d’un repère orthogonal (O, ~ı, ~).
La courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe (O, ~).
La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine O du repère.
(c) Pour tout xréel, cos(x+ 2π) = cos(x)et sin(x+ 2π) = sin(x)
On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques, de période 2π
Interprétation graphique
Il suffit donc d’étudier les fonctions sinus et cosinus sur un intervalle de longueur 2π.
On obtient chaque courbe sur Rpar des translations de vecteurs 2kπ~ı(k∈Z)
(d) Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur Ret pour tout nombre réel x:
sin0(x) = cos(x)et cos0(x) = −sin(x)
(e) Tableaux de variations
x0π
f0(x) = −sin(x)−
f(x) = cos(x)
1
−1
x0π
2π
f0(x) = cos(x)+0−
f(x) = sin(x)
0
1
0
(f) Représentations graphiques
1

3. Rappels
Compléter les tableaux suivants :
cos(a−b) =
cos(a+b) =
sin(a+b) =
sin(a−b) =
x0π
6
π
4
π
3
π
2
cos(x)√2
2
sin(x)√2
2
4. Graphique à connaître
5. Deux formules utiles : Pour tout xréel,
cos π
2−x= sin(x) sin π 2−x= cos(x)
6. Equations cos(x) = cos(a)et sin(x) = sin(a)
1) cos(x) = cos(a)équivaut à x=a+ 2πk ou x=−a+ 2πk avec k∈Z
2) sin(x) = sin(a)équivaut à x=a+ 2πk ou x=π−a+ 2πk avec k∈Z
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