Sur quelques foncteurs de bi-ensembles

POUR L'OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR ÈS SCIENCES
acceptée sur proposition du jury:
Prof. J. Krieger, président du jury
Prof. J. Thévenaz, directeur de thèse
Prof. S. Bouc, rapporteur
Dr R. Stancu, rapporteur
Prof. K. Hess Bellwald, rapporteuse
Sur quelques foncteurs de bi-ensembles
THÈSE NO 6753 (2015)
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE
PRÉSENTÉE LE 11 NOVEMBRE 2015
À LA FACULTÉ DES SCIENCES DE BASE
CHAIRE DE THÉORIE DES GROUPES
PROGRAMME DOCTORAL EN MATHÉMATIQUES
Suisse
2015
PAR
Rosalie Françoise CHEVALLEY

Résumé
Cette thèse se place dans le contexte de la théorie des représentations des groupes finis.
Plus particulièrement, dans l’étude des foncteurs de bi-ensembles. L’exemple classique d’un
foncteur de bi-ensembles est le foncteur de Burnside CB.PourungroupefiniG, on définit
BpGqcomme étant le groupe de Grothendieck des classes d’isomorphisme de G-ensembles et
CBpGq“CbZBpGq. Les applications standards de restriction, induction, inflation ou dé-
flation induisent des applications du genre CBpResG
Hq:CCBpGqÑCBpHq(si H§G).
C’est en généralisant ce processus qu’on arrive à la définition de foncteur de bi-ensembles.
Formellement, on considère la catégorie GrB dont les objets sont tous les groupes finis et
HomCGrBpG, Hq“CbZBpH, Gqoù BpH, Gqest le groupe de Grothendieck des classes d’iso-
morphismes de pH, Gq-bi-ensembles. Un foncteur de bi-ensembles est alors un foncteur C-linéaire
de CGrB vers C-Vect.
Dans cette thèse, je m’intéresse en particulier à deux foncteurs de bi-ensembles : le foncteur
de Burnside CBet le foncteur des modules de p-permutation Cppk. Pour le foncteur de Burnside,
un premier résultat porte sur une caractérisation de certains B-groupes ; les B-groupes étant
l’élément essentiel de la classification des facteurs de composition de CB. Un second résultat
porte sur le lien entre le foncteur CBet le foncteur des modules libres CFreek. Ce dernier n’est
pas un foncteur de bi-ensembles car l’inflation d’un module libre n’est pas nécessairement libre.
Pour comparer CBet CFreekon travaillera sur une adjonction entre la catégorie des foncteurs
de bi-ensembles et celle des foncteurs qui ne savent pas faire d’inflation.
Soit pK, O,kqun système p-modulaire. Un aspect du travail effectué sur le foncteur des
modules de p-permutation consiste à comparer Cppket CRK, le foncteur des représentations
ordinaires. Ceci dans le but d’étudier les facteurs de composition de Cppken utilisant le fait
que les facteurs de composition du foncteur CRKsont connus. Même si via cette méthode on ne
trouve pas de nouveaux facteurs de composition du foncteur Cppkpar rapport à ceux connus,
on comprend mieux comment ils apparaissent. D’autre part, de par la classification des modules
de p-permutation, on cherche à exprimer le foncteur Cppken termes du foncteur des modules
projectifs CProjk(qui n’est pas un foncteur de bi-ensembles). On utilisera une adjonction entre
la catégorie des foncteurs de bi-ensembles et une catégorie de foncteurs qui contient CProjk.
C’est dans le but d’utiliser les deux adjonctions citées ci-dessus qu’on trouve dans cette thèse
une preuve de l’existence d’un adjoint à gauche et à droite du foncteur
✓˚:Fun
R-ModpD,R-Modq݄FunR-ModpC,R-Modq
Ffi›ÑF˝✓,
lorsque Rest un anneau unitaire, Cet Dsont deux petites catégories enrichies sur R-Mod et
✓:CÑDest un foncteur enrichi sur R-Mod.
Mots clés. Foncteurs de bi-ensembles, modules de p-permutation, foncteur de Burnside, ad-
jonctions entre catégories de foncteurs enrichis.

Abstract
This thesis is in the context of representation theory of finite groups. More specifically, it
studies biset functors. The classical example of a biset functor is the Burnside functor CB.For
a finite group G, we denote BpGqthe Grothendieck group of isomorphism classes of G-sets and
CBpGq“CbZBpGq. The standard applications of restriction, induction, inflation or deflation
induce applications like CBpResG
Hq:CCBpGqÑCBpHq(if H§G). Generalizing this process,
we get the definition of a biset functor. Formally, we consider the category GrB whose objects are
finite groups and HomCGrBpG, Hq“CbZBpH, Gqwhere BpH, Gqis the Grothendieck group
of isomorphism classes of pH, Gq-bisets. A biset functor is a C-linear functor from CGrB vers
C-Vect.
In this thesis, I focus on two biset functors : the Burnside functor CBand the functor of
p-permutation modules Cppk. For the Burnside functor we first give a result that characterize
some B-groups ; B-groups being the essential ingredient in the classification of composition fac-
tors of CB. The second result compare CBand the functor of free modules CFreek.Notethat
CFreekis not a biset functor since the inflation of a free module is not necessarily free. To
compare CBand CFreekwe will work on a adjunction between the category of biset functors
and the category of functors that do not have inflation.
Let pK, O,kqbe a p-modular system. An aspect of the work done on the functor of p-
permutation modules is to compare Cppkand CRK, the functor of ordinary representations.
The goal is to study the composition factors of Cppkknowing that those of CRKare classified.
Even though this method does not give new composition factors of Cppk, we understand better
where they lie. On the other hand, because of the classification of p-permutation modules, we
try to express the functor Cppkin terms of the functor of projective modules CProjk(which
is not a biset functor). We will use an adjunction between the category of biset functors and a
category that contains CProjk.
In the interest of the two adjunctions mentioned above, we find here the proof of the existence
of a left and right adjoint to the functor
✓˚:Fun
R-ModpD,R-Modq݄FunR-ModpC,R-Modq
Ffi›ÑF˝✓,
whenever Ris a commutative ring, Cand Dare two small categories enriched over R-Mod and
✓:CÑDis a functor enriched over R-Mod.
Keywords. Biset functors, p-permutation modules, Burnside functor, adjunctions between en-
riched functors categories.

Table des matières
IFoncteursdebi-ensembles,foncteurdesmodulesdep-permutation et
relations de Brauer 11
1Foncteursdebi-ensembles 13
1.1 Bi-ensembles ...................................... 13
1.1.1 Composition de bi-ensembles ......................... 14
1.1.2 Décomposition d’un bi-ensemble transitif ................... 17
1.1.3 Bi-ensembles p-libres à gauche ou à droite .................. 19
1.2 Foncteurs de bi-ensembles, catégories admissibles et foncteurs simples ....... 19
1.2.1 Catégories enrichies .............................. 19
1.2.2 Définition des foncteurs de bi-ensembles et autres catégories ........ 20
1.2.3 Foncteurs simples ................................ 21
1.2.4 Facteurs de composition ............................ 23
1.3 Foncteur de Burnside .................................. 23
1.3.1 Définition du foncteur de Burnside ...................... 24
1.3.2 Classification et B-groupes ........................... 25
1.4 Foncteurs des représentations et des modules projectifs ............... 25
1.4.1 Définition du foncteur des représentations ordinaires ............ 25
1.4.2 Définition du foncteur des modules projectifs ................ 26
1.4.3 Lien entre le foncteur de Burnside et le foncteur des représentations ... 27
1.4.4 Changement de corps ............................. 28
1.4.5 Classification des facteurs de composition du foncteur des représentations 30
2Foncteurdesmodulesdep-permutation 31
2.1 Définition et propriétés usuelles ............................ 31
2.1.1 Foncteur des modules de permutation .................... 31
2.1.2 Définition des modules de p-permutation et du foncteur Cppk....... 31
2.1.3 Classification des modules de p-permutation ................. 32
2.1.4 Système p-modulaire .............................. 33
2.2 Application f:CppkÑCRK............................. 33
2.2.1 Définition de l’application f:CppkÑCRK................. 33
2.2.2 Restriction à la catégorie des p-groupes ................... 35
2.2.3 Restriction à la catégorie CCpˆp1....................... 36
2.2.4 Résultats .................................... 42
3 B-groupes et relations de Brauer 45
3.1 Résultats préliminaires ................................. 45
3.1.1 Des Z-modules aux espaces vectoriels ..................... 45
3.1.2 Idempotents comme relations ......................... 46
3.2 Résultat principal .................................... 47