Exercices sur les nombres premiers EXERCICE 1

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Exercices sur les nombres premiers
2013-2014
EXERCICE 1 :
Démontrer que pour tout entier n (n > 1), 30n + 7 n’est jamais la somme de deux nombres premiers.
Si l’on excepte 2, tous les nombres premiers sont impairs. On suppose que 30n + 7 peut s’écrire comme la somme
de deux nombres premiers tous les deux différents de 2. La somme de deux nombres impairs donne un nombre pair et
visiblement 30n + 7 est impair pour tout n : une telle décomposition n’est donc pas possible.
Si pour tout n > 1, il existe p premier (p > 35), tel que 30n + 7 = 2 + p alors p = 30n + 5 qui est clairement
divisible par 5. On aboutit à une contradiction puisque p est premier.
EXERCICE 2 :
p est un nombre premier et p > 5.
1. Démontrer que p2 − 1 est divisible par 3.
2. Démontrer que p2 − 1 est divisible par 8.
3. En déduire que p2 − 1 est divisible par 24.
1. 3 est premier et 3 est premier avec p (p > 5), par application du petit théorème de Fermat, on obtient
p3−1 ≡ 1 (3) ⇒ p2 ≡ 1 (3) d’où p2 − 1 est divisible par 3.
2. p > 5 donc p est impair et il existe k ∈ N tel que p = 2k + 1 d’où p2 − 1 = 4k(k + 1). Or (déjà vu), k(k + 1)
est un nombre pair car le produit de deux nombres entiers consécutifs comporte obligatoirement un facteur pair.
Ainsi p2 − 1 est divisible par 8.
3. On utilise ici une conséquence du théorème de Gauss : si a|b et b|c avec a et b premiers entre eux alors ab|c. 3 et
8 sont premiers entre eux et divisent p2 − 1 donc p2 − 1 est divisible par 24.
EXERCICE 3 :
p > 3 est un nombre premier.
1. Quels sont les restes possibles dans la division de p par 12 ?
2. Prouver que p2 + 11 est divisible par 12.
1. Les restes de la division d’un entier par 12 sont tous les entiers compris entre 0 et 11. Compte-tenu de la primalité
de p, certaines valeurs de restes sont impossibles :
• Aucun reste pair n’est possible, sinon p serait pair (il s’écrirait 12q + 2k) ;
• Aucun reste ayant un diviseur commun supérieur ou égal à 2 avec 12 n’est possible : soit r un tel reste, on
aurait p = 12q + r avec 12 et r divisible par d, d diviserait alors p, impossible puisque p est premier ;
• Les seuls restes possibles sont donc 1,5,7 et 11.
2. Dans ces quatre cas, on vérifie aisément que p2 + 11 ≡ 0 (12).
EXERCICE 4 :
Les deux questions sont indépendantes.
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1. Trouver un nombre de trois chiffres qui soit un carré parfait divsible par 56.
2. Trouver tous les diviseurs de 84, puis résoudre dans N, l’équation : x(x + 1)(2x + 1) = 84
1. On utilise la décomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers, 56 = 7 × 23 . Un nombre répondant à
la question comportera trois chiffres et aura une écriture de la forme 72x × 22y = (2y × 7x )2 . On est tenté par
x = 1 et y = 2 et l’on obtient 72 × 24 = 784 = 282 est un carré parfait divisible par 56.
2. 84 = 22 × 3 × 7 donc 84 possède 3 × 2 × 2 = 12 diviseurs. D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84}.
S’il existe x solution dans N de l’équation x(x + 1)(2x + 1) = 84 alors x, x + 1 et 2x + 1 sont des diviseurs de
84. Il ne reste plus qu’à « chercher » parmi les diviseurs de 84, le triplet d’entiers qui convient. x et x + 1 sont
deux entiers consécutifs : x = 3 est la seule solution de l’équation.
EXERCICE 5 :
Le produit de deux entiers naturels a et b (a < b) est 11340. on note d leur PGCD.
1. (a) Pourquoi d2 divise-t-il 11340 ?
(b) Pourquoi d = 2α × 3β avec 0 6 α 6 1 et 0 6 β 6 2 ?
2. On sait de plus que a et b ont six diviseurs communs et a est un multiple de 5.
(a) Démonter que d = 18.
(b) En déduire a et b.
1. (a) d|a et d|b donc d2 |ab, c’est à dire d2 |11340.
(b) la décomposition de facteurs premiers de 11340 est 22 ×34 ×5×7. Ainsi tous les diviseurs de 11340 admettent
une décomposition en facteurs premiers de la forme 2α × 3β × 5c × 7d avec (α, β, c, d) ∈ N4 et 0 6 α 6 2 ,
0 6 β 6 4, 0 6 c 6 1 et 0 6 d 6 1.
d est l’un de ces diviseurs donc d2 = 22α × 32β × 52c × 72d et compte-tenu des « contraintes » qui doivent
être vérifiées par α, β, c et d, α ne peut être que 0 ou 1 et β ne paut prendre que les valeurs 0, 1 ou 2.
d’où d = 2α × 3β avec 0 6 α 6 1 et 0 6 β 6 2.
2. (a) Les diviseurs communs de a et de b sont les diviseurs de leur PGCD (cela se démontre avec l’algorithme
d’Euclide et les propriétés de divisibilité). Ainsi d doit avoir six diviseurs. Au regard de la question 1.b,
d ∈ {1, 2, 3, 6, 9, 18} et seul 18 admet 6 diviseurs donc d = 18.
(b) 18 = 2×32 , d|a et d|b conduisent à écrire a = 2×32 ×5s ×7t et b = 2×32 ×5x ×7y avec (s, t, x, y) ∈ ({0, 1})2
(au regard de la décomposition en produit de facteurs premiers de 11340).
5 est un diviseur de a implique s = 1 (et donc x = 0) puis a < b implique y = 1 (et donc t = 0).
les nombres cherchés sont a = 90 et b = 126.
EXERCICE 6 :
α et β sont deux entiers naturels et n = 2α 3β .
Le nombre de diviseurs de n2 est le triple du nombre de diviseurs de n.
1. Prouver que (α − 1)(β − 1) = 3.
2. En déduire n.
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1. n possède (α + 1)(β + 1) diviseurs et n2 = 22α 32β admet (2α + 1)(2β + 1) diviseurs.
On a donc
(2α + 1)(2β + 1) = 3(α + 1)(β + 1)
⇔ 4αβ + 2α + 2β + 1 = 3αβ + 3α + 3β + 3
⇔ αβ − α − β + 1 = 3
⇔ (α − 1)(β − 1) = 3
2. Les deux seuls couples (α, β) possibles sont (2, 4) et (4, 2) donnant deux possibilités pour n. n ∈ {144, 324}.
EXERCICE 7 :
Un entier n a 5 diviseurs et n − 16 est le produit de deux nombres premiers.
1. Prouver que n = p4 avec p premier.
2. Écrire n − 16 sous forme d’un produit de trois facteurs dépendant de p.
3. En déduire la valeur de n.
αk
∗
1
1. De la décomposition de n en produit de facteurs premiers : n = pα
1 × . . . × pk , αi ∈ N , ∀i ∈ {1, 2, . . . , k}, on
k
Y
(αi + 1), vaut 5 = 1 × 5. Compte-tenu des conditions sur les αi et
peut écrire que le nombre de diviseurs de n,
i=1
de la décomposition de 5, il existe un seul nombre premier p et un seul α tel que n = pα avec α+1 = 5 d’où α = 4.
2. n − 16 = p4 − 24 = (p2 − 22 )(p2 + 22 ) = (p − 2)(p + 2)(p2 + 4).
3. n − 16 est le produit de deux nombres premiers, n = p1 p2 avec (p1 < p2 ), donc n − 16 n’admet que 4 diviseurs
1, p1 , p2 , p1 p2 . D’après la question précédente, p − 2, p + 2, p2 + 4 sont des diviseurs de n − 16, aucun d’eux ne peut
être égal à p
1 p2 car cela remettrait en cause la décomposition de n − 16 en produit de deux facteurs premiers.
 p−2=1
p + 2 = p1 ⇒ p = 3, p1 = 5 et p2 = 13 , ainsi n = 34 = 81 et n − 16 = 65 = 5 × 13.
On a donc
 2
p + 4 = p2
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