Exercices sur les nombres premiers EXERCICE 1

TS spécialité Exercices sur les nombres premiers 2013-2014
EXERCICE 1 :
Démontrer que pour tout entier n(n>1), 30n+ 7 n’est jamais la somme de deux nombres premiers.
Si l’on excepte 2, tous les nombres premiers sont impairs. On suppose que 30n+ 7 peut s’écrire comme la somme
de deux nombres premiers tous les deux différents de 2. La somme de deux nombres impairs donne un nombre pair et
visiblement 30n+ 7 est impair pour tout n: une telle décomposition n’est donc pas possible.
Si pour tout n>1, il existe ppremier (p>35), tel que 30n+ 7 = 2 + palors p= 30n+ 5 qui est clairement
divisible par 5. On aboutit à une contradiction puisque pest premier.
EXERCICE 2 :
pest un nombre premier et p>5.
1. Démontrer que p2−1 est divisible par 3.
2. Démontrer que p2−1 est divisible par 8.
3. En déduire que p2−1 est divisible par 24.
1. 3 est premier et 3 est premier avec p(p>5), par application du petit théorème de Fermat, on obtient
p3−1≡1 (3) ⇒p2≡1 (3) d’où p2−1 est divisible par 3.
2. p>5 donc pest impair et il existe k∈Ntel que p= 2k+ 1 d’où p2−1 = 4k(k+ 1). Or (déjà vu), k(k+ 1)
est un nombre pair car le produit de deux nombres entiers consécutifs comporte obligatoirement un facteur pair.
Ainsi p2−1 est divisible par 8.
3. On utilise ici une conséquence du théorème de Gauss : si a|bet b|cavec aet bpremiers entre eux alors ab|c. 3 et
8 sont premiers entre eux et divisent p2−1 donc p2−1 est divisible par 24.
EXERCICE 3 :
p > 3 est un nombre premier.
1. Quels sont les restes possibles dans la division de ppar 12 ?
2. Prouver que p2+ 11 est divisible par 12.
1. Les restes de la division d’un entier par 12 sont tous les entiers compris entre 0 et 11. Compte-tenu de la primalité
de p, certaines valeurs de restes sont impossibles :
•Aucun reste pair n’est possible, sinon pserait pair (il s’écrirait 12q+ 2k) ;
•Aucun reste ayant un diviseur commun supérieur ou égal à 2 avec 12 n’est possible : soit run tel reste, on
aurait p= 12q+ravec 12 et rdivisible par d,ddiviserait alors p, impossible puisque pest premier ;
•Les seuls restes possibles sont donc 1,5,7 et 11.
2. Dans ces quatre cas, on vérifie aisément que p2+ 11 ≡0 (12).
EXERCICE 4 :
Les deux questions sont indépendantes.
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1. Trouver un nombre de trois chiffres qui soit un carré parfait divsible par 56.
2. Trouver tous les diviseurs de 84, puis résoudre dans N, l’équation : x(x+ 1)(2x+ 1) = 84
1. On utilise la décomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers, 56 = 7 ×23. Un nombre répondant à
la question comportera trois chiffres et aura une écriture de la forme 72x×22y= (2y×7x)2. On est tenté par
x= 1 et y= 2 et l’on obtient 72×24= 784 = 282est un carré parfait divisible par 56.
2. 84 = 22×3×7 donc 84 possède 3 ×2×2 = 12 diviseurs. D12 ={1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84}.
S’il existe xsolution dans Nde l’équation x(x+ 1)(2x+ 1) = 84 alors x,x+ 1 et 2x+ 1 sont des diviseurs de
84. Il ne reste plus qu’à « chercher » parmi les diviseurs de 84, le triplet d’entiers qui convient. xet x+ 1 sont
deux entiers consécutifs : x= 3 est la seule solution de l’équation.
EXERCICE 5 :
Le produit de deux entiers naturels aet b(a < b) est 11340. on note dleur PGCD.
1. (a) Pourquoi d2divise-t-il 11340 ?
(b) Pourquoi d= 2α×3βavec 0 6α61 et 0 6β62 ?
2. On sait de plus que aet bont six diviseurs communs et aest un multiple de 5.
(a) Démonter que d= 18.
(b) En déduire aet b.
1. (a) d|aet d|bdonc d2|ab, c’est à dire d2|11340.
(b) la décomposition de facteurs premiers de 11340 est 22×34×5×7. Ainsi tous les diviseurs de 11340 admettent
une décomposition en facteurs premiers de la forme 2α×3β×5c×7davec (α, β, c, d)∈N4et 0 6α62 ,
06β64, 0 6c61 et 0 6d61.
dest l’un de ces diviseurs donc d2= 22α×32β×52c×72det compte-tenu des « contraintes » qui doivent
être vérifiées par α, β, c et d,αne peut être que 0 ou 1 et βne paut prendre que les valeurs 0, 1 ou 2.
d’où d= 2α×3βavec 0 6α61 et 0 6β62.
2. (a) Les diviseurs communs de aet de bsont les diviseurs de leur PGCD (cela se démontre avec l’algorithme
d’Euclide et les propriétés de divisibilité). Ainsi ddoit avoir six diviseurs. Au regard de la question 1.b,
d∈ {1,2,3,6,9,18}et seul 18 admet 6 diviseurs donc d= 18.
(b) 18 = 2×32,d|aet d|bconduisent à écrire a= 2×32×5s×7tet b= 2×32×5x×7yavec (s, t, x, y)∈({0,1})2
(au regard de la décomposition en produit de facteurs premiers de 11340).
5 est un diviseur de aimplique s= 1 (et donc x= 0) puis a < b implique y= 1 (et donc t= 0).
les nombres cherchés sont a= 90 et b= 126.
EXERCICE 6 :
αet βsont deux entiers naturels et n= 2α3β.
Le nombre de diviseurs de n2est le triple du nombre de diviseurs de n.
1. Prouver que (α−1)(β−1) = 3.
2. En déduire n.
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1. npossède (α+ 1)(β+ 1) diviseurs et n2= 22α32βadmet (2α+ 1)(2β+ 1) diviseurs.
On a donc
(2α+ 1)(2β+ 1) = 3(α+ 1)(β+ 1)
⇔4αβ + 2α+ 2β+ 1 = 3αβ + 3α+ 3β+ 3
⇔αβ −α−β+ 1 = 3
⇔(α−1)(β−1) = 3
2. Les deux seuls couples (α, β) possibles sont (2,4) et (4,2) donnant deux possibilités pour n.n∈ {144,324}.
EXERCICE 7 :
Un entier na 5 diviseurs et n−16 est le produit de deux nombres premiers.
1. Prouver que n=p4avec ppremier.
2. Écrire n−16 sous forme d’un produit de trois facteurs dépendant de p.
3. En déduire la valeur de n.
1. De la décomposition de nen produit de facteurs premiers : n=pα1
1×...×pαk
k, αi∈N∗,∀i∈ {1,2,...,k}, on
peut écrire que le nombre de diviseurs de n,
k
Y
i=1
(αi+ 1), vaut 5 = 1 ×5. Compte-tenu des conditions sur les αiet
de la décomposition de 5, il existe un seul nombre premier pet un seul αtel que n=pαavec α+1 = 5 d’où α= 4.
2. n−16 = p4−24= (p2−22)(p2+ 22) = (p−2)(p+ 2)(p2+ 4).
3. n−16 est le produit de deux nombres premiers, n=p1p2avec (p1< p2), donc n−16 n’admet que 4 diviseurs
1, p1, p2, p1p2. D’après la question précédente, p−2, p +2, p2+4 sont des diviseurs de n−16, aucun d’eux ne peut
être égal à p1p2car cela remettrait en cause la décomposition de n−16 en produit de deux facteurs premiers.
On a donc 
p−2 = 1
p+ 2 = p1
p2+ 4 = p2
⇒p= 3, p1= 5 et p2= 13 , ainsi n= 34= 81 et n−16 = 65 = 5 ×13.
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