Notes de cours - Mathématiques en PCSI 834 à Masséna Alain

Gaudino, casier 5
version N1.0
Polynômes
P.C.S.I. 834
Lycée Masséna
On note K le corps R ou C.
I.
Polynômes
I.1.
Définition
définition 1. On appelle polynôme à une indéterminée à coefficients dans K toute suite d’éléments de K nulle à partir d’un
certain rang.
L’ensemble est noté K[X]. Muni des lois usuelles + et ., il s’agit d’un espace vectoriel sur le corps K (sous-espace vectoriel de
KN ). Les termes de la suite sont appelés coefficients.
Théorème 1. Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
I.2.
Structure d’anneau
Proposition 2. On définit, pour deux polynômes de coefficients (an )n∈N et (bn )n∈N , le polynôme de coefficients :
∀n ∈ N, cn =
n
X
ak bn−k
k=0
Il s’agit d’une loi de composition interne notée ×, qui confère à (K[x], +, ×) une structure d’anneau commutatif.
Le neutre pour ce produit est la suite de coefficients (0, 1, 0, · · · ). On le note X (appelé l’indéterminée, bien qu’il soit parfaitement
déterminé).
L’anneau étant commutatif, la formule du binôme de Newton est vérifiée.
I.3.
Notation des polynômes
On remarque que, pour n ∈ N, X n est la suite dont le seul coefficient non nul est le n + 1ème : ce coefficient est 1. Le polynôme
de coefficients les (an )n∈N est donc égal à
+∞
X
ak X k , cette somme étant en fait nulle à partir d’un certain rang.
k=0
Les règles usuelles d’addition et de produit sur les polynômes s’en déduisent.
I.4.
Composition
définition 2. Soient P et Q deux polynômes. On note P =
+∞
X
ak X k . On définit le polynôme P ◦ Q par P ◦ Q =
k=0
+∞
X
ak Qk . En
k=0
particulier, si Q = X, on trouve P = P (X).
I.5.
Fonctions polynomiales
définition 3. – évaluation : Soit P =
+∞
X
ak X k un polynôme et α ∈ K. On appelle évaluation en α de P le scalaire noté
k=0
P (α) =
+∞
X
ak αk .
k=0
– fonction polynomiale : Soit P =
+∞
X
ak X k un polynôme, et I un sous-ensemble de K. On appelle fonction polynomiale associée
k=0
à P sur I la fonction notée Pe :
I.6.
I.6.1.
I
x
−→
7−→
K
. En particulier, Pe(x) = P (x).
P (x)
Degré d’un polynôme
définition
définition 4. On appelle degré d’un polynôme non nul de coefficients (an )n∈N le plus grand entier n qui vérifie an 6= 0. On dit
que le polynôme nul est de degré −∞.
Notion de monôme, de coefficient dominant, de polynôme unitaire (ou normalisé).
1
I.6.2.
relations
Théorème 3. Pour deux polynômes P et Q, on a avec les conventions usuelles d’opérations sur R :
1. deg(P Q) = deg(P ) + deg(Q) ;
2. deg(P + Q) ≤ max(deg(P ), deg(Q)) avec égalité lorsque deg(P ) 6= deg(Q).
Applications : les polynômes inversibles sont les constantes non nulles.
Un produit de polynôme est nul si et seulement si l’un au moins des deux est nul (cette propriété est appelée intégrité de
l’anneau).
I.7.
I.7.1.
Structure d’espace vectoriel
K[X]
La famille (X k )k∈N est une base de K[X].
I.7.2.
Kn [X]
définition 5. Pour n ∈ N, on note Kn [X] l’ensemble des polynômes de degré ≤ n.
Proposition 4. Kn [X] est un espace vectoriel dont une base est la famille (X k )0≤k≤n .
Exercice : supplémentaire de R1 [X] dans R2 [X].
I.7.3.
Famille étagée
La famille de polynômes (P0 , · · · , Pn ) est dite de degrés échelonnés si deg(P0 ) < · · · < deg(Pn ).
Proposition 5. Toute famille finie de polynômes non nuls à coefficients dans K et de degrés échelonnés est libre.
On parle aussi de famille étagée. Comme l’ordre des vecteurs ne modifie pas le caractère libre, on a donc que toute famille de
polynômes non nuls de degré deux-à-deux distincts est libre. Exemple avec la famille des ((X − a)k )0≤k≤n .
II.
Divisibilité et racines
II.1.
Arithmétique de K[X]
II.1.1.
définition
définition 6. Soient A et B dans K[X]. On dit que B divise A, noté B|A, lorsqu’il existe C ∈ K[X] tel que A = BC.
0 ne divise que 0, 1 et −1 et tout polynôme constant non nul divise tout polynôme. 0 est divisible par tout polynôme.
Réflexivité, transitivité, symétrique, antisymétrique ?
Proposition 6. Si B|A alors
II.1.2.
A = 0 ou deg(B) ≤ deg(A) .
division euclidienne
Théorème 7. Soit A ∈ K[X] et B ∈ K[X] non nul. Il existe un unique couple (Q, R) ∈ K[X]2 qui vérifie :
A = BQ + R et deg(R) < deg(B)
Q est le quotient, R le reste.
Exemple avec X 3 + X 2 + X + 1 = (X − 1)(X 2 + 2X + 3) + 4.
II.1.3.
polynômes associés et irréductibles
définition 7. Deux polynômes A et B sont dits associés lorsqu’il existe λ ∈ K∗ tel que A = λB ou B = λA.
A est dit irréductible lorsque deg(A) ≥ 1 et ses seuls diviseurs sont les constantes et ses associés.
Un polynôme et ses associés ont les mêmes multiples et diviseurs.
Tout polynôme de degré 1 est irréductible.
Représentant unitaire.
II.2.
II.2.1.
Racines
définition
définition 8. α ∈ K est une racine du polynôme P lorsque P (α) = 0.
Racine de sa fonction polynomiale.
Théorème 8. α ∈ K est une racine du polynôme P si et seulement si (X − α) |P .
Application : X 2 + 1 est irréductible dans R[X], mais pas dans C[X].
2
II.2.2.
lemme
Lemme 9. Si (α1 , · · · , αn ) sont des racines distinctes de P alors
n
Y
(X − αk ) |P .
k=1
pv par récurrence sur n.
Corollaire 10. Un polynôme non-nul de degré n admet au plus n racines distinctes.
Le seul polynôme qui admet une infinité de racines est le polynôme nul.
Exemple de décomposition lorsqu’on connait n racines d’un polynôme de degré n, application avec X n − 1 dans C.
II.2.3.
polynôme et fonctions polynômiales
] l’ensemble des fonctions polynomiales sur I. L’application
Proposition
11. Soit I une partie infinie de K. On note K[X]
]
K[X] −→ K[X]
est un isomorphisme d’anneaux et d’espaces vectoriels.
P
7−→
Pe
II.2.4.
racine multiple
définition 9. Soit P un polynôme non nul. α ∈ K est racine d’ordre p ∈ N∗ lorsque (X − α)p |P et (X − α)p+1 6 |P .
Une racine d’ordre p est racine. Toute racine à un ordre. Elle est dite simple lorsque p = 1, double lorsque p = 2, etc. . .
Elle est dite multiple lorsque p ≥ 2. Elle est multiple si et seulement si (X − α)2 |P sans précision supplémentaire.
II.2.5.
théorème
Théorème 12 (admis). Si le polynôme non nul P admet comme racine α1 de multiplicité r1 , . . ., αn de multiplicité rn alors
n
Y
(X − αk )rk |P
k=1
∗
Corollaire 13. Tout polynôme de degré n ∈ N admet au plus n racines comptées avec leur multiplicité.
Exemple de décomposition lorsqu’on connait n racines (comptées avec leur multiplicité) d’un polynôme de degré n, application
avec X 4 − 3X 3 + X 2 + 3X − 2 = (X − 1)2 (X − 2)(X + 1) en indiquant que 1 est racine multiple.
II.3.
II.3.1.
Dérivation formelle des polynômes
définition
définition 10. La dérivée du polynôme nul est le polynôme nul, la dérivée du polynôme P =
+∞
X
k=0
Remarque : valable même si K = C.
II.3.2.
–
–
–
–
–
Quelques résultats
lien avec les fonctions polynomiales réelles ;
P constant si et seulement si P 0 = 0.
si deg(P ) ≥ 1 alors deg(P 0 ) = deg(P ) − 1 ;
dérivée d’un produit et d’une combinaison linéaire ;
dérivées successives et formule de Leibniz.
II.3.3.
formule de Taylor
Théorème 14. Si P ∈ K[X] (de degré n) et a ∈ K alors
P (X) =
n
X
P (k) (a)
k=0
k!
(X − a)k =
k=0
pv par analyse pour K = R, par linéarité sinon.
II.3.4.
bases de Kn [X]
Corollaire 15. La famille (X − a)k
0≤k≤n
+∞
X
P (k) (a)
est une base de Kn [X].
Expression des coefficients d’un polynôme dans cette base.
3
k!
(X − a)k
ak X k est P 0 =
+∞
X
k=1
kak X k−1 .
II.3.5.
ordre d’une racine
Théorème 16. Soit P un polynôme non nul et α ∈ K. α est racine d’ordre p si et seulement si
P (α) = P 0 (α) = · · · = P (p−1) (α) = 0 et P (p) (α) 6= 0
pv par la formule de Leibniz et de Taylor.
Sans la condition P (p) (α) 6= 0, la racine est d’ordre ≥ p. En particulier, α est multiple si et seulement si P (α) = P 0 (α) = 0.
II.3.6.
Exercice
Décomposer les polynômes en admettant qu’ils admettent des racines multiples : P = (X+1)2 (X−2)2 = X 4 −2X 3 −3X 2 +4X+4,
P = X 3 − 3X 2 + 4 = (X + 1)(X − 2)2 .
II.4.
Factorisation
II.4.1.
définitions
On dit qu’un polynôme non nul est scindé lorsqu’il s’écrit sous la forme (avec λ ∈ K) : P = λ
n
Y
(X − αk ).
k=1
On dit qu’il est scindé à racines simples lorsque les αk sont deux-à-deux distincts.
II.4.2.
théorème de d’Alembert-Gauss
Théorème 17 (admis). Tout polynôme de C[X] de degré ≥ 1 admet au moins une racine.
II.4.3.
polynômes irréductibles de C[X]
Théorème 18. Les polynômes irréductibles de C[X] sont les polynômes de degré 1.
II.4.4.
polynômes irréductibles de R[X]
Théorème 19. Les polynômes irréductibles de R[X] sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 de discriminant
∆ < 0.
II.4.5.
polynômes scindés
Corollaire 20. Tout polynôme de C[X] de degré ≥ 1 est scindé.
II.4.6.
factorisation
Théorème 21. Tout polynôme de degré ≥ 1 se décompose comme produit de polynômes irréductibles et d’une constante.
pv par récurrence forte.
Remarque sur l’unicité : ordre des polynômes, problème des représentants.
Exemple avec X n − 1, P = X 4 + 2X 3 − X − 2 = (X − j)(X − )(X − 1)(X + 2).
III.
Relations coefficients-racines
On remarque que λ(X − α)(X − β) = λX 2 − λ(α + β)X + λαβ, relation valable pour (λ, α, β) ∈ K3 , on ne suppose pas α 6= β.
Si on note P = aX 2 + bX + c, on identifie en :
a = λ, b = −λ(α + β), c = λαβ
On a donc :
b
c
– si α et β sont les racines de P = aX 2 + bX + c avec a 6= 0, alors − = α + β, = αβ.
a
a
– réciproquement, les polynômes de degré 2 qui admettent ces racines sont les polynômes P = λ X 2 − (α + β) + αβ avec
λ ∈ K∗ .
x+y
xy
2
P = X + bX + c, avec éventuellement α = β.
Application à la résolution de système
=
=
−b
: les couples solutions sont les (α, β) avec α et β racines du polynôme
c
4