Notes de cours - Mathématiques en PCSI 834 à Masséna Alain

Gaudino, casier 5 version N1.0
P.C.S.I. 834 Polynômes Lycée Masséna
On note Kle corps Rou C.
I. Polynômes
I.1. Définition
d´ efinition 1. On appelle polynôme à une indéterminée à coefficients dans Ktoute suite d’éléments de Knulle `a partir d’un
certain rang.
L’ensemble est noté K[X]. Muni des lois usuelles + et ., il s’agit d’un espace vectoriel sur le corps K(sous-espace vectoriel de
KN). Les termes de la suite sont appelés coefficients.
Th´ eor` eme 1. Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
I.2. Structure d’anneau
Proposition 2. On définit, pour deux polynômes de coefficients (an)n∈Net (bn)n∈N, le polynôme de coefficients :
∀n∈N, cn=
n
X
k=0
akbn−k
Il s’agit d’une loi de composition interne notée ×, qui confère à (K[x],+,×)une structure d’anneau commutatif.
Le neutre pour ce produit est la suite de coefficients (0,1,0,· · · ). On le note X(appelé l’indéterminée, bien qu’il soit parfaitement
déterminé).
L’anneau étant commutatif, la formule du binôme de Newton est vérifiée.
I.3. Notation des polynômes
On remarque que, pour n∈N,Xnest la suite dont le seul coefficient non nul est le n+ 1ème : ce coefficient est 1. Le polynôme
de coefficients les (an)n∈Nest donc égal à
+∞
X
k=0
akXk, cette somme étant en fait nulle `a partir d’un certain rang.
Les règles usuelles d’addition et de produit sur les polynômes s’en déduisent.
I.4. Composition
d´ efinition 2. Soient Pet Qdeux polynômes. On note P=
+∞
X
k=0
akXk. On définit le polynôme P◦Qpar P◦Q=
+∞
X
k=0
akQk. En
particulier, si Q=X, on trouve P=P(X).
I.5. Fonctions polynomiales
d´ efinition 3. – évaluation : Soit P=
+∞
X
k=0
akXkun polynôme et α∈K. On appelle évaluation en αde Ple scalaire noté
P(α) =
+∞
X
k=0
akαk.
– fonction polynomiale : Soit P=
+∞
X
k=0
akXkun polynôme, et Iun sous-ensemble de K. On appelle fonction polynomiale associée
àPsur Ila fonction notée e P:I−→ K
x7−→ P(x). En particulier, e
P(x) = P(x).
I.6. Degré d’un polynôme
I.6.1. définition
d´ efinition 4. On appelle degré d’un polynôme non nul de coefficients (an)n∈Nle plus grand entier nqui vérifie an6= 0. On dit
que le polynôme nul est de degré −∞.
Notion de monôme, de coefficient dominant, de polynôme unitaire (ou normalisé).
1

I.6.2. relations
Th´ eor` eme 3. Pour deux polynômes Pet Q, on a avec les conventions usuelles d’opérations sur R:
1. deg(P Q) = deg(P) + deg(Q);
2. deg(P+Q)≤max(deg(P), deg(Q)) avec égalité lorsque deg(P)6=deg(Q).
Applications : les polynômes inversibles sont les constantes non nulles.
Un produit de polynôme est nul si et seulement si l’un au moins des deux est nul (cette propriété est appelée intégrité de
l’anneau).
I.7. Structure d’espace vectoriel
I.7.1. K[X]
La famille (Xk)k∈Nest une base de K[X].
I.7.2. Kn[X]
d´ efinition 5. Pour n∈N, on note Kn[X]l’ensemble des polynômes de degré ≤n.
Proposition 4. Kn[X]est un espace vectoriel dont une base est la famille (Xk)0≤k≤n.
Exercice : supplémentaire de R1[X] dans R2[X].
I.7.3. Famille étagée
La famille de polynômes (P0,· · · , Pn) est dite de degrés échelonnés si deg(P0)<· · · < deg(Pn).
Proposition 5. Toute famille finie de polynômes non nuls à coefficients dans K et de degrés échelonnés est libre.
On parle aussi de famille étagée. Comme l’ordre des vecteurs ne modifie pas le caractère libre, on a donc que toute famille de
polynômes non nuls de degré deux-à-deux distincts est libre. Exemple avec la famille des ((X−a)k)0≤k≤n.
II. Divisibilité et racines
II.1. Arithmétique de K[X]
II.1.1. définition
d´ efinition 6. Soient Aet Bdans K[X]. On dit que Bdivise A, noté B|A, lorsqu’il existe C∈K[X]tel que A=BC.
0 ne divise que 0, 1 et −1 et tout polynôme constant non nul divise tout polynôme. 0 est divisible par tout polynôme.
Réflexivité, transitivité, symétrique, antisymétrique ?
Proposition 6. Si B|Aalors A= 0 ou deg(B)≤deg(A).
II.1.2. division euclidienne
Th´ eor` eme 7. Soit A∈K[X]et B∈K[X]non nul. Il existe un unique couple (Q, R)∈K[X]2qui vérifie :
A=BQ +Ret deg(R)< deg(B)
Qest le quotient, Rle reste.
Exemple avec X3+X2+X+ 1 = (X−1)(X2+ 2X+ 3) + 4.
II.1.3. polynômes associés et irréductibles
d´ efinition 7. Deux polynômes Aet Bsont dits associés lorsqu’il existe λ∈K∗tel que A=λB ou B=λA.
Aest dit irréductible lorsque deg(A)≥1et ses seuls diviseurs sont les constantes et ses associés.
Un polynôme et ses associés ont les mêmes multiples et diviseurs.
Tout polynôme de degré 1 est irréductible.
Représentant unitaire.
II.2. Racines
II.2.1. définition
d´ efinition 8. α∈Kest une racine du polynôme Plorsque P(α) = 0.
Racine de sa fonction polynomiale.
Th´ eor` eme 8. α∈Kest une racine du polynôme Psi et seulement si (X−α)|P.
Application : X2+ 1 est irréductible dans R[X], mais pas dans C[X].
2

II.2.2. lemme
Lemme 9. Si (α1,· · · , αn)sont des racines distinctes de Palors
n
Y
k=1
(X−αk)|P.
pv par récurrence sur n.
Corollaire 10. Un polynôme non-nul de degré nadmet au plus nracines distinctes.
Le seul polynôme qui admet une infinité de racines est le polynôme nul.
Exemple de décomposition lorsqu’on connait nracines d’un polynôme de degré n, application avec Xn−1 dans C.
II.2.3. polynôme et fonctions polynômiales
Proposition 11. Soit Iune partie infinie de K. On note ] K[X]l’ensemble des fonctions polynomiales sur I. L’application
K[X]−→ ]
K[X]
P7−→ e Pest un isomorphisme d’anneaux et d’espaces vectoriels.
II.2.4. racine multiple
d´ efinition 9. Soit Pun polynôme non nul. α∈Kest racine d’ordre p∈N∗lorsque (X−α)p|Pet (X−α)p+1 6 |P.
Une racine d’ordre pest racine. Toute racine à un ordre. Elle est dite simple lorsque p= 1, double lorsque p= 2, etc. . .
Elle est dite multiple lorsque p≥2. Elle est multiple si et seulement si (X−α)2|Psans précision supplémentaire.
II.2.5. théorème
Th´ eor` eme 12 (admis).Si le polynôme non nul Padmet comme racine α1de multiplicité r1, . . ., αnde multiplicité rnalors
n
Y
k=1
(X−αk)rk|P
Corollaire 13. Tout polynôme de degré n∈N∗admet au plus nracines comptées avec leur multiplicité.
Exemple de décomposition lorsqu’on connait nracines (comptées avec leur multiplicité) d’un polynôme de degré n, application
avec X4−3X3+X2+ 3X−2 = (X−1)2(X−2)(X+ 1) en indiquant que 1 est racine multiple.
II.3. Dérivation formelle des polynômes
II.3.1. définition
d´ efinition 10. La dérivée du polynôme nul est le polynôme nul, la dérivée du polynôme P=
+∞
X
k=0
akXkest P0=
+∞
X
k=1
kakXk−1.
Remarque : valable même si K=C.
II.3.2. Quelques résultats
– lien avec les fonctions polynomiales réelles ;
–Pconstant si et seulement si P0= 0.
– si deg(P)≥1 alors deg(P0) = deg(P)−1 ;
– dérivée d’un produit et d’une combinaison linéaire ;
– dérivées successives et formule de Leibniz.
II.3.3. formule de Taylor
Th´ eor` eme 14. Si P∈K[X](de degré n) et a∈Kalors
P(X) =
n
X
k=0
P(k)(a)
k!(X−a)k=
+∞
X
k=0
P(k)(a)
k!(X−a)k
pv par analyse pour K=R, par linéarité sinon.
II.3.4. bases de Kn[X]
Corollaire 15. La famille (X−a)k0≤k≤nest une base de Kn[X].
Expression des coefficients d’un polynôme dans cette base.
3

II.3.5. ordre d’une racine
Th´ eor` eme 16. Soit Pun polynôme non nul et α∈K.αest racine d’ordre psi et seulement si
P(α) = P0(α) = · · · =P(p−1)(α) = 0 et P(p)(α)6= 0
pv par la formule de Leibniz et de Taylor.
Sans la condition P(p)(α)6= 0, la racine est d’ordre ≥p. En particulier, αest multiple si et seulement si P(α) = P0(α) = 0.
II.3.6. Exercice
Décomposer les polynômes en admettant qu’ils admettent des racines multiples : P= (X+1)2(X−2)2=X4−2X3−3X2+4X+4,
P=X3−3X2+ 4 = (X+ 1)(X−2)2.
II.4. Factorisation
II.4.1. définitions
On dit qu’un polynôme non nul est scindé lorsqu’il s’écrit sous la forme (avec λ∈K) : P=λ
n
Y
k=1
(X−αk).
On dit qu’il est scindé à racines simples lorsque les αksont deux-à-deux distincts.
II.4.2. théorème de d’Alembert-Gauss
Th´ eor` eme 17 (admis).Tout polynôme de C[X]de degré ≥1admet au moins une racine.
II.4.3. polynômes irréductibles de C[X]
Th´ eor` eme 18. Les polynômes irréductibles de C[X]sont les polynômes de degré 1.
II.4.4. polynômes irréductibles de R[X]
Th´ eor` eme 19. Les polynômes irréductibles de R[X]sont les polynômes de degré 1et les polynômes de degré 2de discriminant
∆<0.
II.4.5. polynômes scindés
Corollaire 20. Tout polynôme de C[X]de degré ≥1est scindé.
II.4.6. factorisation
Th´ eor` eme 21. Tout polynôme de degré ≥1se décompose comme produit de polynômes irréductibles et d’une constante.
pv par récurrence forte.
Remarque sur l’unicité : ordre des polynômes, problème des représentants.
Exemple avec Xn−1, P=X4+ 2X3−X−2 = (X−j)(X−)(X−1)(X+ 2).
III. Relations coefficients-racines
On remarque que λ(X−α)(X−β) = λX2−λ(α+β)X+λαβ, relation valable pour (λ, α, β)∈K3, on ne suppose pas α6=β.
Si on note P=aX2+bX +c, on identifie en :
a=λ, b =−λ(α+β), c =λαβ
On a donc :
– si αet βsont les racines de P=aX2+bX +cavec a6= 0, alors −b
a=α+β, c a=αβ.
– réciproquement, les polynômes de degré 2 qui admettent ces racines sont les polynômes P=λX2−(α+β) + αβavec
λ∈K∗.
Application à la résolution de système x+y=−b
xy =c: les couples solutions sont les (α, β) avec αet βracines du polynôme
P=X2+bX +c, avec éventuellement α=β.
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