TP2 - Quantité de mouvement (avec correction)

COMPRENDRE – Lois et modèles
Ch5. Cinématique et dynamique newtonienne
TP type ECE
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TP – Quantité de mouvement Corrigé
Objectifs du TP :
 Construire un vecteur quantité de mouvement
 Retrouver la conservation du vecteur quantité de mouvement pour un système isolé ou pseudo-isolé.
I. Conservation de la quantité de mouvement
14 pts
1. Présentation (S’approprier)
Mobile 1
Dispositif à ressorts
Mobile 2
Fil
On considère un système constitué de deux mobiles
autoporteurs attachés ensemble par un fil. L’un des mobiles
est équipé d’un dispositif à ressort qui, une fois le fil cassé,
expulse l’autre mobile.
On lance le système sur la table avec une vitesse v0.
a) Rappeler le principe de la table à coussin d’air. ❶
La table à coussin d’air est constituée d’un mobile autoporté qui marque la position de son centre de gravité à
intervalle de temps régulier. Cela permet ainsi de reconstituer et étudier sa trajectoire.
b) Déterminer la résultante des forces appliquées au système. ❶
Les forces extérieures sont le poids et la réaction du support.
La force exercée par le fil est une force intérieure au système.
La résultante des forces extérieures est donc 𝑃⃗ + 𝑅⃗ = ⃗0
c) Que peut-on en déduire ? ❶
On peut en déduire que ce système est pseudo-isolé car soumis à des forces qui se compensent.
Cela vérifie le 1er principe puisque le système est en mouvement de translation rectiligne uniforme (TRU).
2. Etude de l’enregistrement du document 1 (Réaliser)
a) Pour une même date avant que le fil ne se casse, tracer les vecteurs quantité de mouvement p1 et p 2
respectivement du mobile M1 de masse m1 = 1200 g et du mobile M2 de masse m2 = 600 g. ❸
Le vecteur quantité de mouvement est défini par p
⃗ = mv
⃗
Le vecteur p
⃗ est donc colinéaire au vecteur v
⃗ .
Déterminons d’abord la valeur de la vitesse v. Cette vitesse est la même pour le mobile 1 et le mobile 2 car les
deux sont attachés donc ils ont la même vitesse.
- Le direction du vecteur v est donné par la trajectoire rectiligne.
- Le sens de ce vecteur est vers la droite.
- Sa norme vaut : 𝑣 =
𝐴𝐴′
2∆𝑡
=
2×5×10−2
2×40×10−3
= 𝟏, 𝟐𝟓 𝒎. 𝒔−𝟏
Pour le mobile 1 : ⃗⃗⃗
𝑝1 = 𝑚1 ⃗⃗⃗⃗
𝑣1 = 𝑚1 𝑣
En norme, cela donne : p1 = 1,2.v= 1,2 x 1,25 = 1,5 kg.m.s-1
Pour le mobile 2 : ⃗⃗⃗⃗
𝑝2 = 𝑚2 ⃗⃗⃗⃗
𝑣2 = 𝑚2 𝑣
En norme, cela donne : p2 = 0,6.v = 0,6 x 1,25 = 0,75 kg.m.s-1
Echelle pour la construction des vecteurs quantités de mouvement : 1 cm <-> 0,5 kg.m.s-1
Avec cette échelle, le vecteur ⃗⃗⃗⃗
𝒑𝟏 a une longueur de 3 cm.
Et le vecteur ⃗⃗⃗⃗
𝒑𝟐 mesure 1,5 cm.
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TP type ECE
b) Tracer alors le vecteur quantité de mouvement p du système composé des deux mobiles attachés. ❶
𝑝1 + ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
𝑝2 = 𝑝
On a donc un vecteur de 3+1,5 cm soit 4,5 cm. Ce qui représente une quantité de mouvement de 2,25 kg.m.s-1.
c) Au bout de combien de temps après la première trace le fil casse-t-il ? ❶
Au 6ème point, le fil casse. Soit au temps tcasse = 5 x Δt =5 x 40 x 10-3 = 200 ms = 0,200 s.
d) Tracer les vecteurs p1 et p 2 pour une date quelconque après que le fil ait cassé. ❸
Il faut faire le même travail que précédemment mais pour chaque mobile car ils sont maintenant indépendants.
On cherche d’abord le vecteur vitesse, puis on calcule la quantité de mouvement.
On utilise ensuite l’échelle pour savoir quelle longueur fera le vecteur quantité de mouvement.
Rappel : Le vecteur 𝑝 est toujours colinéaire au vecteur 𝑣 .
Remarque : il est inutile de dessiner le vecteur vitesse.
Pour le mobile 1
𝑝1 = 𝑚1 ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
𝑣1
avec
𝑣1 =
𝐵𝐵′
2∆𝑡
2,3 × 5 × 10−2
=
2 × 40 × 10−3
= 1,4375 𝑚. 𝑠 −1
En norme, cela donne : p1 = 1,2.v1= 1,2 x 1,4375 = 1,725 kg.m.s-1
Avec l’échelle, le vecteur ⃗⃗⃗⃗
𝒑𝟏 a une longueur de 3,4 cm.
Pour le mobile 2
𝑝2 = 𝑚2 ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑣2
avec
𝑣2 =
𝐶𝐶′
2∆𝑡
=
2,8 × 5 × 10−2
2 × 40 × 10−3
= 1,75 𝑚. 𝑠 −1
En norme, cela donne : p2 = 0,6.v2 = 0,6 x 1,75 = 1,05 kg.m.s-1
Et le vecteur ⃗⃗⃗⃗
𝒑𝟐 mesure donc 2,1 cm.
e) Tracer alors le vecteur quantité de mouvement p du système composé des deux mobiles séparés. ❶
Voir document 1
On vérifie qu’il y a conservation de la quantité de mouvement.
f)
Montrer alors à l’aide de la deuxième loi de Newton que le système est bien pseudo-isolé. ❷
D’après la 2ème loi, la somme des forces est égale à la dérivée de la quantité de mouvement par rapport au temps.
𝑑𝑝
Mathématiquement, cela s’écrit : ∑ 𝐹 =
𝑑𝑡
⃗
Dans la situation étudiée, on sait que la somme des forces est nulle, soit : ∑ 𝐹 = 0
Donc la dérivée de la quantité de mouvement est nulle :
𝑑𝑝
𝑑𝑡
= ⃗0
Donc que le vecteur quantité de mouvement est constant: 𝑝 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑐𝑠𝑡𝑒
Ce que l’on a vérifié en traçant le vecteur quantité de mouvement avant et après que le fil casse.
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II. Propulsion et quantité de mouvement
8 pts
1. Présentation (S’approprier)
On considère un système composé d’un patineur de masse m = 65,3 kg et d’un gros glaçon parallélépipédique de masse
m’. Le système se trouve au milieu d’une patinoire parfaitement horizontale. On négligera toutes les forces de
frottements. Le patineur initialement immobile et accroupi tient le glaçon. A la date t = 0 il pousse ce dernier sur la
patinoire. On observe alors la chronophotographie du document 2.
a) Rappeler le principe d’une chronophotographie. ❶
C’est la superposition de plusieurs photos qui montrent les positions du système étudié au cours du temps.
b) Le système est-il pseudo-isolé ? Justifier. ❶
Oui car la somme des forces extérieures qui s’exercent sur le système est nulle.
D’ailleurs cela est confirmé par le fait que les mouvements du patineur et du glaçon sont rectilignes uniformes.
2. Etude de l’enregistrement du document 2 (Réaliser)
a) Que vaut le vecteur quantité de mouvement du système avant que le patineur ne pousse le glaçon ? ❶
Initialement le patineur et le glaçon sont immobiles, leur vitesse est donc nulle.
La quantité de mouvement du système est donc nulle.
b) Pour une date t prise après que le patineur ait lancé le glaçon, que vaut le vecteur quantité de mouvement p du
patineur. ❷
⃗ = m. v
p
⃗
On connaît la vitesse du patineur à partir de ses positions successives.
𝑃 𝑃
1,2×2
La norme du vecteur vitesse du patineur est 𝑣 = 3 1 =
= 2,4 𝑚/𝑠
2∆𝑡
2×0,500
Le vecteur vitesse est dirigé vers la gauche (le patineur recule une fois qu’il a poussé le glaçon).
Le vecteur quantité de mouvement a pour norme : p = m.v=65,3 x 2,4 = 156,72 kg.m.s-1
Il est colinéaire au vecteur vitesse, donc dirigé vers la gauche.
c) En déduire la valeur du vecteur quantité de mouvement p ' du glaçon. Le tracer. ❶
La quantité de mouvement du système avant la poussée du glaçon est nulle.
Comme les trajectoires sont rectilignes uniformes, on peut conclure que le système {patineur +glaçon} est
pseudo-isolé. Et on sait que la quantité de mouvement d’un tel système est conservée. Donc la quantité de
mouvement après la poussée est nulle. Cela signifie que : p
⃗ + ⃗⃗⃗
p′ = ⃗0
⃗⃗⃗
Donc p′ = −𝑝
Pour tracer ⃗⃗⃗
p′, il suffit de tracer 𝑝 mais orienté vers la droite (à cause du signe « moins »).
d) Retrouver alors la masse m’ du glaçon. ❷
𝑝′
𝑝
On a p’=m’.v’
donc 𝑚′ = =
𝑣′
𝑣′
Déterminons v’ à l’aide du document: 𝑣′ =
Donc 𝑚 =
′
𝑝′
𝑣′
=
156,72
3,2
𝐺3 𝐺1
2∆𝑡
= 48,975 𝑘𝑔 ≈ 49 𝑘𝑔
=
1,6×2
2×0,500
= 3,2 𝑚/𝑠
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III. Décollage d’une fusée Ariane 5
8 pts
La fusée Ariane 5 au décollage :



Masse : 780 t
Hauteur : 52 m
3 moteurs activés
- 2 propulseurs à poudre (PAP)
- 1 moteur Vulcain
Caractéristiques des propulseurs d’Ariane5
Les PAP effectuent 90% de la poussée. Ils sont largués à une
altitude de 60 km d’altitude après avoir fonctionné pendant
130 s et avoir consommé chacun 237 t de poudre.
Le moteur Vulcain brûle 158 t d’un mélange de dihydrogène
et de dioxygène pendant 589 s.
Consommation c des propulseurs :

PAP :

Moteur Vulcain :
c = 270 kg/s
gaz éjectés à v’ = 4000 m/s
1.
En simplifiant la situation, c’est à dire en supposant que le système {fusée – gaz éjectés} est pseudo-isolé, on peut
appliquer la conservation de la quantité de mouvement. A quoi peut-on alors assimiler les gaz éjectés et le
« corps » de la fusée en comparant la situation à celle du canon vu en cours (partie III) ? ❶
Gaz éjectés  canon
Corps de la fusée  boulet
2.
En utilisant les informations précédentes faire un schéma du système {fusée – gaz éjectés} après décollage de la
fusée (elle se trouve à une altitude h par rapport au sol) ❷
3.
A partir des caractéristiques des deux propulseurs donnés ci-dessus, évaluer la masse de gaz éjectée quand les
deux PAP cessent de fonctionner. Quelle est alors la masse de la fusée ? ❷
Masse des gaz éjectés par les PAP : mPAP = 1,82 x 2 x 130 = 473,2 t ou encore mPAP=2 x 237 t = 474 t
c = 1,82 tonnes/s par PAP
gaz éjectés à v = 2800 m/s
Masse des gaz consommés par le moteur Vulcain : mVULCAIN = cvulcain x Δt = 0,270 x 130 t = 35,1 t
Masse de la fusée après extinction des PAP : Mfusée (Δt) = Mfusée(t=0) – mPAP – mVULCAIN = 780 – 474 – 35,1 = 271 t
4.
En utilisant la conservation de la quantité de mouvement du système {fusée – gaz éjectés}, calculer la vitesse
approximative atteinte par la fusée lorsque les PAP cessent de fonctionner. ❷
En appliquant la conservation de la quantité de mouvement, on peut écrire que : pgaz = pfusée
Soit MPAP . v + MVULCAIN . v’ = Mfusée . vfusée
Soit 𝑣𝑓𝑢𝑠é𝑒 =
5.
M𝑃𝐴𝑃 . v + 𝑀𝑉𝑈𝐿𝐶𝐴𝐼𝑁 . v '
𝑀𝑓𝑢𝑠é𝑒
=
474 × 2800 + 35,1 × 4000
271
= 5 415 𝑚. 𝑠 −1 = 19 496 𝑘𝑚. ℎ−1
En analysant les actions qui s’exercent entre les composants du système {fusée – gaz éjectés}, expliquer pourquoi
on nomme ce mode de propulsion : « propulsion par réaction ». ❶
Cela illustre la 3ème loi de Newton également appelé principe d’action-réaction : la fusée exerce une force sur les
gaz pour les éjecter, et en réaction ces gaz exercent une force sur la fusée et la propulse vers le ciel.
COMPRENDRE – Lois et modèles
Ch5. Cinématique et dynamique newtonienne
TP type ECE
Document 1
Echelle pour les distances : 1 cm  5 cm
Echelle pour la quantité de mouvement : 1 cm  0,5 kg.m.s-1
t = 40,0 ms
Sens de ⃗⃗⃗⃗
𝑣1
B’
𝑝1,𝑎𝑝
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
B
A
Mobile 1
𝑝1,𝑎𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
A’
Sens de 𝑣
𝑝𝑎𝑝 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑝1,𝑎𝑝 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑝2,𝑎𝑝
𝑝𝑎𝑣 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑝1,𝑎𝑣 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑝2,𝑎𝑣
Mobile 2
𝑝2,𝑎𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
C
Sens de ⃗⃗⃗⃗
𝑣2
𝑝2,𝑎𝑝
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
C’
Document 2
Echelle : 1 cm  1 m
t = 500 ms
𝑝
⃗⃗⃗
𝑝′