Probabilités

Probabilités
!
I. Variable!aléatoire!discrète!
!
1. Variable!aléatoire!discrète!
!
Définition!
!!est!l’ensemble!fini!des!issues!d’une!expérience!aléatoire.!!=!!;!!;…;!!!
Définir!une!variable!aléatoire!!!sur!!,!c’est!associer!un!réel!à!chaque!issue!de!!.!
!
Remarques!
• En!général,!une!variable!aléatoire!est!notée!par!une!lettre!majuscule!:!!,!!….!
• Si!!!est!fini,!la!variable!aléatoire!prend!un!nombre!fini!de!valeurs!(d’où!le!nom!de!variable!discrète)!
• L’ensemble!des!issues!auxquelles!on!associe!à!la!variable!aléatoire!!!la!même!valeur!!!est!
l’événement!noté!:!(!=!)!;!sa!probabilité!sera!notée!!(!=!)!!
Exemple!
On!lance!deux!fois!de!suite!une!pièce!équilibrée!:!on!note!!!si!on!obtient!«!Face!»!et!!!si!on!obtient!«!Pile!».!
Les!issues!de!cette!expérience!sont!:!(!!;!!)!,!(!!;!!)!,!(!!;!!)!et!(!!;!!).!
Avant!de!commencer!la!partie!on!mise!1!€!
On!gagne!5!€!chaque!fois!que!sort!!«!Pile!»!et!on!perd!!2!€!chaque!fois!que!sort!«!Face!».!
!
On!définit!une!variable!aléatoire!!,!qui!associe!à!chaque!événement!associe!le!gain!obtenu.!
Déterminons!le!nombre!de!valeurs!que!peut!prendre!la!variable!aléatoire.!
Si!«!Pile!»!sort!deux!fois!:!!!=!5+5−1=9!!(le!−1!correspond!à!la!mise!de!départ)!
Si!«!Face!»!sort!deux!fois!:!!!=!−2−2−1=−5!
Si!«!Pile!»!sort!une!fois!et!Face!sort!une!fois!:!!=5−2−1=2!
! !
La!variable!aléatoire!X!prend!donc!trois!valeurs!:!!!;!−!!!"!!!
!
L’événement!(!=!)!correspond!à!l’issue!(!!;!!)!
L’événement!(!=−!)!correspond!à!l’issue!(!!;!!)!
L’événement!(!=!)!correspond!aux!issues!(!!;!!)!et!(!!;!!)!
!
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!
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!
!
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2. Loi!de!probabilité!d’une!variable!aléatoire!
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Définition!
Définir!la!loi!de!probabilité!de!la!variable!aléatoire!!,!c’est!associer!à!chaque!valeur!!!!prise!par!!,!la!
probabilité!de!l’événement! !=!!!
!
Exemple!
En!reprenant!l’exercice!précédent,!définir!une!loi!de!probabilité!de!!,!c’est!déterminer!les!probabilités!:!
!!=!!;!!=−!!!!"!!!(!=!)!
On!sait!que!les!4!issues!(!!;!!)!,!(!!;!!)!,!(!!;!!)!et!(!!;!!)!sont!équiprobables!;!chacune!a!pour!probabilité!:!
1
4!
!!=!=!(!;!)=
!
!!
!!=−5=!!!;!=
1
4!
!!=2=!!!;!+!!!;!=
1
4+
1
4
=
1
2!
!
On!vérifie!bien!que!!!=!+!!=−!+!!!=!=!!
!
3. Espérance!d’une!variable!aléatoire!
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Définition!
!!est!une!variable!aléatoire!discrète!définie!sur!!!qui!prend!les!valeurs!!!!,!!!,…,!!!
L’espérance!de!la!variable!aléatoire!!!est!le!nombre!réel,!noté!!(!),!tel!que!:!
!!=!!!×!!=!!+!!!×!!=!!+⋯+!!×!(!=!!)!
!
Exemple!
Toujours!en!reprenant!l’exemple!précédent!:!
!!=9×!!=9−5×!!=−5+2×!!=2!
!!=!9×
1
4
−5×
1
4+2×
1
2
=2!
Signification!:!En!jouant!un!grand!nombre!de!fois!à!ce!jeu,!un!joueur!peut!espérer!gagner!2€!par!partie!
!
Vocabulaire!
Si!!(!)!=!0!,!on!parle!de!jeu!équitable.!
Si!!(!)!<!0,!on!dira!que!le!jeu!est!défavorable!au!joueur.!
Si!!(!)!>0,!on!dira!que!le!jeu!est!favorable!au!joueur.!
!
!
II. Répétition!d’expériences!identiques!indépendantes!
!
Il!y!a!répétition!d’expériences!identiques!lorsque!la!même!expérience!aléatoire!est!répétée!plusieurs!
fois.!
Ces!expériences!aléatoires!successives!sont!indépendantes!lorsque!l’issue!de!l’une,!ne!dépend!pas!de!
l’issue!des!autres!expériences.!
!
Exemple!
Une!urne!est!composée!de!3!boules!noires!et!2!boules!blanches.!
1er!cas!:!Avec!remise!
On!tire!au!hasard!une!boule!dans!l’urne,!on!note!sa!couleur,!puis!on!remet!la!boule!dans!l’urne.!
On!recommence!cette!expérience.!
Ces!deux!expériences!sont!identiques!et!indépendantes!:!avant!chaque!tirage!la!composition!de!l’urne!
est!la!même.!

!
2ème!cas!:!Sans!remise!
On!tire!au!hasard!une!boule!dans!l’urne,!on!note!sa!couleur,!mais!on!ne!remet!pas!la!boule!dans!l’urne.!
On!recommence!l’expérience.!
Ces!deux!expériences!ne!sont!pas!indépendantes!:!au!2ème!tirage,!la!composition!de!l’urne!est!différente!
suivant!la!couleur!de!1ère!boule!tirée.!
!
On!s’intéresse!aux!expériences!aléatoires!constituées!de!plusieurs!expériences!aléatoires!identiques!et!
indépendantes.!
!
Exemple!
Une!urne!contient!4!boules!rouges,!3!boules!vertes!et!2!boules!noires.!
On!tire!successivement!deux!boules!avec!remise.!
L’expérience!est!donc!bien!constituée!de!deux!expériences!aléatoires!
identiques!et!indépendantes.!
!
Représentons!cette!situation!par!un!arbre!pondéré!:!
!
Chaque!issue!est!un!couple!formé!par!les!résultats!des!deux!tirages.!
!
La!probabilité!de!chaque!issue!est!le!produit!des!probabilités!de!
chacun!des!résultats!formant!l’issue.!
!
!!;!=
4
9
×
4
9
=
16
81
≈0,2!
!!;!=!(!!;!)=
3
9
×
2
9
=
6
81
≈0,07!
• Soit!!!l’événement!:!«!Tirer!une!boule!noire!et!une!boule!verte!»!
Calculer!la!probabilité!!(!).!
!!=!!!;!+!!!;!=
6
81 +
6
81
=
12
81
≈0,15!
!
!
• Soit!!!la!variable!aléatoire!qui!prend!comme!valeurs!le!nombre!de!boules!rouges!à!la!suite!des!
deux!tirages.!
Déterminer!la!loi!de!probabilité!de!!.!
!!prend!les!valeurs!:!0!;!1!et!2!
En!effet!à!la!fin!des!deux!tirages,!soit!on!a!tiré!0!boule!rouge,!1!boule!rouge!ou!2!boules!rouges.!
L’événement!(!=0)!est!constitué!des!issues!:!(!!;!!)!,!(!!;!!)!,!(!!;!!)!et!(!!;!!)!
!!=0=
3
9
×
3
9+
3
9
×
2
9+
2
9
×
3
9+
2
9
×
2
9
=
25
81!
L’événement!(!=2)!est!constitué!de!l’issue!(!!;!!)!
!!=2=
4
9
×
4
9
=
16
81!
Pour!déterminer!!(!=1)!il!suffit!de!calculer!:!
!!=1=1−!!=0−!!=2=1−
25
81
−
16
81
=
40
81!
!
• Imaginons!que!l’on!tire!successivement!10!boules!avec!remise.!
Calculer!la!probabilité!d’obtenir!exactement!10!boules!rouges.!
A!chaque!tirage!la!probabilité!d’obtenir!une!boule!rouge!est!!
!.!
La!probabilité!de!l’événement!!(!!;!!!;!!!;!!!;!!!;!!!;!!!;!!!;!!!;!!)!est!:!
4
9
×
4
9
×……×
4
9
=
4
9
!"
≈0,0003!
!