Algèbre et Géométrie

Université d’Aix–Marseille
L3
Année 2015–2016
Feuille de TD 2
Algèbre et Géométrie
Exercice 1.
a. Rappeler la définition de sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel E.
b. Rappeler la définition de famille génératrice d’un espace vectoriel E, puis de famille libre.
c. Rappeler les définitions de base et dimension d’un espace vectoriel E.
d. Rappeler la définition d’application linéaire entre deux espaces vectoriels E et F .
e. Donner la définition de noyau et image d’une application linéaire f : E → F .
f. Commenter l’affirmation suivante :
"Il existe une application linéaire surjective f : M5 (R) → R25 [X]."
g. Commenter l’affirmation suivante :
"Pour tout A, B ∈ Mn (R) on a det(A + B) = det(A) + det(B)."
Exercice 2. a. Soit H = {A ∈ M2 (R) : a11 + a12 − a21 + a22 = 0}, montrer que H est un
sous-espace vectoriel de M2 (R).
b. Trouver la dimension de H, ainsi qu’une base.
c. Montrer que l’application définie par T : M2 (R) −→ R donnée par A 7→ a11 + a22 est
linéaire. Trouver la dimension et une base du noyau ker(T ).
d. Montrer que ker(T ) ∩ H est un sous-espace vectoriel de M2 (R). Trouver sa dimension,
ainsi qu’une base.
e. Donner la dimension de ker(T ) + H. Les deux sous-espaces ker(T ) et H sont ils supplémentaires dans M2 (R) ? Justifier la réponse.
Exercice 3. Soit B = {e1 , e2 , e3 } la base canonique de R3 . Soit B = {a, b, c} la famille de
vecteurs de R3 définie par
a = e1 + e2 + e3 ,
b = e1 + e2 + 3e3 ,
c = e1 + 2e2 + 5e3 .
On considère f : R3 → R3 l’application linéaire définie par
f (a + b) = f (b) = −e1 − e2 − 3e3 ,
f (c) = e1 + 2e2 + 5e3 .
a. Montrer que B 0 est une base de R3 .
b. Donner les matrices MB (f ) = MB,B (f ), MB0 (f ) = MB0 ,B0 (f ), MB,B0 (f ) et MB0 ,B (f ).
c. Trouver les dimensions et bases de im(f ) et ker(f ). Dire si f est un automorphisme de
R3 , en justifiant la réponse.
d. Trouver tous les vecteurs x ∈ R3 tel que f (x) = b + c.
Exercice 4. Soit A = (aij )16i,j6n ∈ Mn (R) une matrice. On appelle trace de A la somme
Pn des
coefficients diagonaux de M et on la note tr(A). Plus précisement on définit tr(A) := i=1 aii .
Dans tout l’exercice, on suppose que A est une matrice triangulaire supérieure.
a. Calculer les coefficients diagonaux de A2 en fonction des coefficients de A.
b. Supposons maintenant que A2 = A. Montrer que si tr(A) = n, alors A est inversible. En
déduire que si tr(A) = n, alors A = Idn .
c. Posons B := Idn − A ∈ Mn (R). Montrer que l’on a B 2 = B si et seulement si A2 = A.
d. Montrer que si A2 = A et tr(A) = 0, alors A = 0.
Exercice 5. Pour quelles valeurs des paramètres réels a, b, c, d, e, f les matrices suivantes sontelles diagonalisables ?




1 a b c
1 a b c
0 2 d e 


 , B = 0 1 d e  ·
A=
0 0 2 f 
0 0 2 f 
0 0 0 2
0 0 0 2


1 1 −1
Exercice 6. Soit A = 1 1 1.
1 1 1
a. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de A.
b. A est-elle diagonalisable ?
c. Déterminer les sous-espaces de R3 stables par l’endomorphisme associé à A dans la base
canonique.
Exercice 7. Soit A ∈ Mn (K) et B = A + aIn pour a ∈ K, et soient




1 1 1 1
16 1 1 1
1 1 1 1


 et D =  1 16 1 1 
C=
1 1 1 1
 1 1 16 1 
1 1 1 1
1 1 1 16
a. Montrer que A est diagonalisable si et seulement si B est diagonalisable.
b. Montrer que C est diagonalisable et trouver P ∈ GL4 (R) telle que P −1 CP soit diagonale.
c. Montrer que D est diagonalisable et trouver Q ∈ GL4 (R) telle que Q−1 DQ soit diagonale.
Exercice 8. Soit dans M3 (R),


−2 −1 2
A = −15 −6 11 ·
−14 −6 11
a. A est-elle trigonalisable sur R ?
b. Si oui, trouver P ∈ GL3 (R) telle que
Exercice 9. Soit dans M5 (R),

4
 0

A=
−1
−1
−2
P −1 AP soit triangulaire supérieure.

1
1 −3
4
0
0
3 −2

−1
0
5 −4
·
−1 −1
5 −3
−1 −1
3 −2
a. Calculer le polynôme caractéristique de A.
b. Déterminer les sous-espaces caractéristiques de A.
c. Déterminer D diagonalisable, Nnilpotentetelles que A = D + N et DN = N D.
0 1 0

Exercice 10. Soit dans M3 (R), A = 1 0 1  ·
1 1 1
a. Calculer le polynôme caractéristique χA (X) de A.
b. Effectuer la division euclidienne de X n par χA (X) pour n ∈ N .
c. Calculer An par deux méthodes différentes.