Topologie algébrique élémentaire

Topologie algébrique élémentaire
Frédéric Paulin
Version très préliminaire
Cours de première année de mastère
École Normale Supérieure
Année 2009-2010
1

Table des matières
1 Introduction 6
1.1 Exemples et applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Remarques sur les prérequis de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Remarques (pseudo-)historiques sur l’homologie . . . . . . . . . . . . 9
Des arguments de connexité à la notion de bord . . . . . . . . . . . . 9
Du bord topologique à son algébrisation . . . . . . . . . . . . . . . . 10
La formulation axiomatique de l’homologie . . . . . . . . . . . . . . . 11
De l’homologie à l’homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Homotopie et groupe fondamental 14
2.1 Homotopie................................. 14
2.2 Groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Autresexercices.............................. 23
3 Revêtements 27
3.1 Catégorie des revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Homéomorphismes locaux et revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Actions de groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Actions de groupes et revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5 Unicité des relèvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.6 Relèvement des chemins et des homotopies . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.7 Action sur la fibre du groupe fondamental de la base . . . . . . . . . 39
3.8 Relèvement des applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.9 Structure des morphismes de revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.10 Revêtements galoisiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.11 Revêtements universels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.12 Classification des revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.13Autresexercices.............................. 57
3.14 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 Groupe fondamentaux, revêtements et CW-complexes 67
4.1 Propriétés universelles sur les groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Groupelibre................................ 67
Groupes définis par générateurs et relations . . . . . . . . . . . . . . 69
Somme amalgamée de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Formes normales dans les produits amalgamés . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Le théorème de van Kampen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3 CW-complexes .............................. 77
4.4 Groupe fondamental des CW-complexes . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Groupe fondamental des graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Groupe fondamental de CW-complexe et présentation de groupe . . . 85
4.5 Applications des revêtements à la théorie des groupes . . . . . . . . . 88
4.6 Autresexercices.............................. 89
2

4.7 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . 93
5 Homologie singulière 102
5.1 Un peu d’algèbre homologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Complexes de chaînes et homologie de complexes de chaînes . . . . . 102
Suite exacte longue d’homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Caractéristique d’Euler d’un complexe de chaînes . . . . . . . . . . . 106
Complexes de cochaînes, cohomologie, suite exacte longue de coho-
mologie ..............................107
Catégories et foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2 Construction et propriétés axiomatiques de l’homologie singulière . . 110
Chaînessingulières ............................110
Fonctorialité de l’homologie singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Premiers calculs d’homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Invariance homotopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Homologierelative ............................116
Théorème des petites chaînes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Excision ..................................123
Suite exacte de Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.3 Quelques calculs et applications de l’homologie . . . . . . . . . . . . . 128
Calcul de l’homologie des sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Le théorème du point fixe de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Homologie et limite inductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Homologie du complémentaire d’une sphère dans une sphère . . . . . 132
Le théorème de séparation de Jordan-Brouwer . . . . . . . . . . . . . 135
Le théorème d’invariance du domaine de Brouwer . . . . . . . . . . . 136
5.4 Groupe fondamental et homologie : le théorème d’Hurewicz . . . . . . 137
5.5 Autresexercices..............................142
5.6 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . 144
6 Homologie cellulaire 149
6.1 Le complexe de chaînes cellulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Homologie relative du p-squelette par rapport au (p−1)-squelette . . 149
Le complexe de chaînes cellulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Degré des applications de la sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Calcul des morphismes de bords cellulaires . . . . . . . . . . . . . . . 154
Calcul des morphismes induits par les applications cellulaires . . . . . 156
6.2 Homologie cellulaire et homologie singulière . . . . . . . . . . . . . . 157
Caractéristique d’Euler des CW-complexes. . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.3 Homologie des espaces projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.4 Autresexercices..............................161
6.5 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . 162
3

7 Cohomologie singulière et cellulaire 164
7.1 Le foncteur Hom et les complexes de cochaînes . . . . . . . . . . . . . 164
7.2 Propriétés de la cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Fonctorialité de la cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Cohomologie du point et en degré 0...................167
Invariance homotopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Suite exacte longue relative de cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . 168
Excision ..................................168
Suite exacte de Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Théorème de Hurewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Relation entre cohomologie cellulaire et singulière . . . . . . . . . . . 169
7.3 Lecupproduit ..............................170
7.4 Autresexercices..............................172
7.5 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . 172
8 Exercices et problèmes récapitulatifs 174
8.1 Énoncés ..................................174
8.2 Indications de correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
A Annexe : rappels de topologie générale 196
A.1 Généralités ................................196
Topologie engendrée, prébase et base d’ouverts . . . . . . . . . . . . . 197
Voisinages, systèmes fondamentaux de voisinages . . . . . . . . . . . 198
Intérieur, adhérence, frontière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Séparation.................................199
Continuité.................................199
Connexité .................................200
A.2 Constructions de topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Comparaison de topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Topologieinitiale .............................201
Sous-espace topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Topologieproduit.............................203
Topologiefinale..............................205
Topologiequotient ............................206
A.3 Limites et valeurs d’adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Limites...................................212
Propriétés des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Valeursd’adhérence............................214
A.4 Compacité.................................215
Espacecompact..............................215
Compacité et valeurs d’adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Compacité et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Compacité et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Topologie compacte-ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
4

A.5 Exercices récapitulatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Index 226
Bibliographie 231
1
1. Je suis reconnaissant à Bruno Calado pour sa relecture scrupuleuse et enthousiaste de l’in-
tégralité de la première version de ce texte. Je remercie les élèves de l’Ecole normale supérieure
pour leurs corrections sur ce texte, en particulier Katarina Radermacher, Jérémy Daniel, Lin Shen
et Louis Nebout
5