Cours vecteurs - Mathématiques

Vecteurs
I – Translation
1. Définition :
Soit A et B deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la
transformation du plan qui a tout point M associe le point M’ tel que [AM’] et [BM] aient le
même milieu
Le point M’ est unique, il est l’image de M par la translation.
Le point M est l’antécédent de M’ par cette translation. Par une translation tout point du plan
a un unique antécédent.
ABM’M est un parallélogramme.
Rappel : un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses cotés parallèles deux à deux et de
même longueur et dont les diagonales se coupent en leur milieux
Cas particulier : Si les points A, B et M sont alignés, le parallélogramme est aplati.
2. Caractéristiques d’une translation :
La translation qui transforme A en B est caractérisée (définie) par trois renseignements :
▪ La direction donnée par la droite (AB). La droite (MM’) a la même direction que (est
parallèle à) la droite (AB). Attention à ne pas confondre direction et sens, en
mathématique la direction pour une voiture serait la route droite sur laquelle elle roule et le
sens vers où elle va.
▪ Le sens de A vers B. On va de M vers M’ dans le même sens que de A vers B.
▪ La longueur AB. MM’ = AB.
3. Image d’un polygone par une translation :
Image du polygone ABCD par la translation qui transforme A en A’.
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II – Vecteurs (C’est un objet mathématique qui a été inventé au milieu du 19ème siècle)
1. Définition :
Un couple (A, B) de deux points distinct du
plan définit un vecteur noté AB caractérisé
par :
▪ Une direction celle de la droite (AB)
▪ Un sens de A vers B
▪ Une longueur (ou norme) AB.
A est l’origine et B l’extrémité du vecteur.
Par convention le vecteur AA est le vecteur nul, il est noté AA = 0.
Il a une longueur nulle pas de direction ni de sens.
On peut appeler la translation qui transforme A en B, translation de vecteur 𝒖 = AB et
on peut la note 𝑡!" .
La translation de vecteur nul est appelée identité, Tout point du plan a lui-même pour
image, les points sont invariants.
2. Égalité de deux vecteurs :
Deux vecteurs AB et CD sont égaux s’ils définissent la
même translation.
Ils ont même direction, même sens et même norme ou
longueur.
On pourra noter AB = CD = U
AB = CD = U (seule écriture possible pour la norme
d’un vecteur nommé par une lettre.
3. Propriétés :
Propriété 1 : AB = CD équivaut à « [AD] et [CB] on le même milieu ».
Propriété 2 : AB = CD équivaut à « ABDC est un parallélogramme ».
Propriété 3 : Si AB = CD alors (AB)//(CD)
et AB = CD. (pourquoi pas équivaut à ?)
ici on ne va pas dans le même sens de A
vers B et de C vers D
Donc si (AB)//(CD) et AB = CD on ne peut
pas conclure que AB = CD
Propriété 4 : Soit U un vecteur, donné du plan, pour tout point M du plan il existe un point unique N
tel que OM = U
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III – Composée de deux translations. Somme de vecteurs
1. Définition :
La somme de deux vecteurs u et v est le vecteur w qui caractérise la translation résultant la
composition de la translations de vecteur u suivi de la translation de vecteur v,
noté w = u +v.
2. Construction :
Relation de Chasles
Règle du parallélogramme
AB = u et BC = v
AB = u et AD = v
AB +BC = AC
AB + AD = AC
C étant le quatrième sommet du
parallélogramme ABCD.
AC = w
w =u +v
AC = w
w =u +v
4. Propriétés :
Pour tous vecteurs u, v, w du plan on a :
▪ u + v = v+ u
▪u+0=0+u=u
▪ (u+ v) + w = u+ (v+ w) = u+ v+ w.
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5. Vecteurs opposés :
On appelle vecteurs opposés deux vecteurs dont la somme est le vecteur nul.
Ils ont donc la même direction, la même longueur et un sens contraire.
Notation u+ v = 0 ⟺ u = −v. Soustraire un vecteur c’est ajouter son opposé.
IV – Multiplication d’un vecteur par un nombre réel
1. Définition :
Soit u = AB un vecteur et k un nombre réel, le produit du vecteur u par le nombre réel k est
le vecteur
v = CD avec CD = k AB , ou v = k u, tel que :
▪ Si u= 0 ou k =0
alors
v = 0.
▪ Si u ≠ 0 et k ≠ 0 alors u et v ont :
→ la même direction
→ si k > 0 le même sens et CD = k AB . v = k u
→ si k < 0 un sens contraire et CD = – k AB. v = −k u
2. Propriétés admises:
▪ Le produit du vecteur u par un nombre réel k est le vecteur 0 si et seulement si
u = 0 ou k = 0
donc
k u = 0 ⟺ k = 0 ou u = 0
▪ pour tous vecteurs u et v et tous nombres réels a et b :
a(u + v) = a u + a v
et
(a+b) u = k u + b u.
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V – Vecteurs colinéaires
1. Définition :
Deux vecteurs u et v non nuls sont colinéaires si et seulement ils ont la même direction. Par
convention le vecteur nul, 0, est colinéaire à tous les vecteurs.
2. Propriété :
deux vecteurs u et v non nuls sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k tel
que v = k u.
3. Vecteur directeur d’une droite :
Soit une droite (d), un vecteur u non nul. Le vecteur u est un vecteur directeur de la droite
(d) si et seulement si pour tous points A et B distincts de (d), les vecteurs AB et u sont
colinéaires.
4. Parallélisme et alignement :
▪ Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont
colinéaires donc il existe un réel k tel que CD = k AB.
▪ Trois points A, B, distincts, et M sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AM sont
colinéaires donc il existe un réel k tel que AM = k AB.
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