Sur les espaces simples des Probabilités conditionnelles

ANNALES DE L’I. H. P., SECTION B
ALFRED RÉNYI
MAURICE FRÉCHET
Sur les espaces simples des Probabilités conditionnelles
Annales de l’I. H. P., section B, tome 1, no1 (1964), p. 3-21
<http://www.numdam.org/item?id=AIHPB_1964__1_1_3_0>
© Gauthier-Villars, 1964, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Annales de l’I. H. P., section B »
(http://www.elsevier.com/locate/anihpb) implique l’accord avec les condi-
tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute uti-
lisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une
infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-
nir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/

Sur les
espaces
simples
des
Probabilités
conditionnelles
Alfred
RÉNYI
par
Maurice
FRÉCHET
(Budapest).
Avertissement
(Paris).
o
Ann.
Inst.
Henri
Poincaré,
Vol.
I,
n~
1,
1964,
p.
3-19.
Section
B :
Calcul
des
Probabilités
et
Statistique.
Il
y
a
quelques
années,
M.
Rényi
avait
fait à
Paris
un
exposé
qui
m’avait
vivement
frappé.
Je
lui
avais dit
que
ses
très
remarquables
contributions
à divers
chapitres
du Calcul des
Probabilités
viendraient
se
placer
à
côté
d’autres
importantes
contributions dues à
divers
auteurs,
tandis
que
sa
conception
entièrement
nouvelle
(1)
de ce
que j’appellerai
ses
«
probabilités
généralisées
»
apporte
un
aspect
fondamentalement
distinct
aux
fondements
du Calcul
des
Probabilités.
Depuis
lors,
M.
Rényi
a
donné
des
exposés
très
complets
de
sa théorie
en
différentes
langues.
Je l’ai
plusieurs
fois invité à
donner
un article en
français
donnant
une
idée
simple
de sa
théorie.
M.
Rényi
a bien voulu
y
consentir
et se
limite dans
ce
Mémoire à
l’étude
de ce
qu’il
appelle (p. 7)
un
espace
simple
de
probabilités
conditionnelles.
Avant de lui donner la
parole,
je
voudrais
prévenir
le
lecteur
contre
un
malentendu
possible.
A
lire le
texte
qui
suit,
on
pourrait
penser
qu’il
y
a
(~) Toutefois,
M.
Rényi
a
appris,
assez
récemment,
que
M.
Kolmogoroff
a émis
des idées
analogues
dans une
conférence
qui
n’a
pas
été
publiée.
3

4
ALFRED
RÉNYI
dans ce
texte
deux
innovations :
1 ~
on
renoncerait aux
probabilités
absolues
pour
se
limiter
aux
probabilités
conditionnelles;
2~
une
probabilité
géné-
ralisée de
l’événement
A
sous la
condition
B
est
de la
forme
où
fl.(B)
n’est
pas
borné
quand
B
varie.
Or si l’on
parle
souvent,
pour
abréger,
de la
probabilité
P(A)
d’un
évé-
nement
A,
comme
s’il
s’agissait
d’une
probabilité
absolue,
en
réalité,
l’expression
n’a
pas
de
sens
par
elle-même.
Que
l’auteur le
précise
ou
non,
les
probabilités
dont il
parle
sont
toujours
relatives à ce
que j’ai
appelé
dans
toutes
mes
publications
«
Une
certaine
catégorie
d’épreuves »
B
ou
ce
que
d’autres
auteurs ont
explicité
d’une
autre
façon.
De
sorte
que
l’innovation
essentielle
de M.
Rényi
réside dans
l’hypothèse
que
dans
la
formule
(1.13)
(de
la
p.
12),
la
mesure
fl.(B)
n’est
pas
bornée.
M.
Rényi
a bien
voulu
m’écrire :
«
Vous avez
parfaitement
raison
en
disant
que
la théorie
des
champs
de
probabilités
conditionnelles ne
fournit
au fond de
résultat
nouveau
que
si la
mesure ~, [dans
la
formule
(1.13)]
n’est
pas
bornée
».
Pour voir
comment
cette
hypothèse
permet
de donner
un
sens
à des
probabilités
qui
n’en
avaient
pas,
je
crois
que
le
lecteur
ferait
bien,
avant
de lire
en détail le
texte
qui
suit,
de
voir les
deux
excellents
exemples
donnés
pages
16-17,
par
M.
Rényi.
Exposé
d’Alfred
RÉNYI
RÉSUMÉ. - Il
y
a
quelques années,
l’auteur
a
proposé
une
théorie
axio-
matique
des
espaces
des
probabilités
conditionnelles
(voir [2]
à
[6],
qui
est
une
généralisation
naturelle
de la
théorie
axiomatique
des
probabilités
due
à
M.
Kolmogoroff
[1].
Dans
le
présent
Mémoire,
le
cas
spécial
le
plus
simple
des
espaces
des
probabilités
conditionnelles
ayant
une
seule
mesure
génératrice,
non
borné
est
élaboré
d’une
façon
détaillée.
SUMMARY. -
Some
years
ago
the
author
(see
[2]-[6])
proposed
an
axio-
matic
theory
of
conditional
probability
spaces,
which
is
a
natural
genera-
lization
of the
axiomatic
theory
of probability
due
to A.
N.
Kolmogoroff
[1].
In the
present
note the
most
simple
special
case of
conditional
probability
spaces generated
by
a
single
unbounded
measure is
worked
out
in
detail.

5
SUR
LES ESPACES
SIMPLES
DES
PROBABILITÉS CONDrrIONNELLES
Introduction.
- Il
y
a
quelques
années
j’ai
élaboré
une théorie axio-
matique
des
espaces
des
probabilités
conditionnelles
(1), qui
est
une
géné-
ralisation
naturelle
de
la théorie
axiomatique
des
probabilités
aujourd’hui
généralement
acceptée,
due à
M.
Kolmogoroff (2)
[1].
Cette
théorie
générale
est
basée,
comme
celle de
M.
Kolmogoroff,
sur la
théorie
des
ensembles
et de la
mesure;
les événements
aléatoires sont
représentés
de
la
même
façon
par
les sous-ensembles
mesurables d’un
espace
abstrait. Une différence
principale
consiste
en ce
que
les
probabilités
conditionnelles
sont
exprimées
dans ma
théorie
par
l’intermédiaire d’une
mesure
qui
peut
être
non
bornée;
tandis
que,
dans la théorie
classique,
seulement les mesures
bornées sont
admises.
Il
y
a aussi une
autre
différence
qui
est
plutôt
d’ordre
didactique.
Ceci
correspond
au fait
qu’en
réalité
chaque probabilité
est
conditionnelle.
La
question :
quelle
est
la valeur de la
probabilité
d’un événement aléatoire ?
n’a
de sens exact
que
si l’on
précise
les
conditions sous
lesquelles
cet
événe-
ment est observé.
Comme
M. M. Fréchet
l’a formulé
(voir
[7],
p.
5-10),
la
probabilité
d’un événement n’a
un
sens
que
«
dans
une
certaine
catégorie
d’épreuves
».
Par
exemple,
si l’on
parle
de la
probabilité
de
tirer
une
carte
donnée d’un
paquet
de
cartes,
il est
sous-entendu
que
ce
paquet
est bien
mêlé et contient
une de toutes les cartes
possibles.
Mais cela s’entend sans
dire,
et les
probabilités
calculées sous cette
condition
ne sont
pas appelées
probabilités
conditionnelles,
bien
qu’elles
le
soient.
Le fait
que
toute
pro-
babilité
est conditionnelle
est contenu
seulement d’une
manière
implicite
dans
la
théorie
classique,
mais il est
exprimé
d’une
façon
explicite
dans la
mienne.
En
général,
en
appliquant
la
théorie
de
M.
Kolmogoroff
à une situation
réelle,
on choisit
toujours
quelques
conditions
(circonstances)
données
comme fondamentales
et les
probabilités
calculées
sous
ces
conditions sont
appelées
les
probabilités
ordinaires
(ou
absolues)
sans faire allusion aux
conditions fixées. C’est seulement si
à ces
conditions
il
s’ajoute
une
nouvelle
condition
complémentaire, qu’on
parle
des
probabilités
conditionnelles ;
mais,
malgré
cet
emploi
des mots
usuels,
en
principe chaque
probabilité
est
conditionnelle. Ce
fait a été
souligné
du
point
de
vue
philosophique par
plusieurs
auteurs,
comme
par
exemple
MM.
Reichenbach
[8],
Popper
[9],
Keynes [I o],
Koopman
[ll ],
Copeland
[12],
Barnard
[13],
Good
[14],
mais
0
Voir mes travaux
([2]
à
(2) Après
avoir
élaboré
cette
théorie, j’ai
appris
par
M.
B.
V.
Gnedenko
que
M.
Kolmogoroff
lui-même avait
déjà
indiqué
dans une
conférence,
quelques
années
auparavant,
la
possibilité
d’une
telle
généralisation
de
sa
théorie,
mais
il
n’avait rien
publié
sur ce
sujet.

6
ALFRED RÉNYI
ces auteurs
n’ont
pas
suivi
cette
idée
jusqu’à
la
construction
d’une
théorie
mathématique
- comme
celle
de M.
Kolmogoroff -
fondée sur
la
théorie
des
ensembles et de la
mesure.
D’autres
auteurs sont arrivés
aux
mêmes
conclusions en
partant
des
applications
concrètes de la
notion
des
proba-
bilités.
Il
y
a
des
situations
réelles
dans
lesquelles
il
n’existe
pas
de
condi-
tion
susceptible
d’être
considérée comme
naturelle ;
chaque
condition
qu’on
peut prendre
comme
fondamentale
étant
également
arbitraire.
Tel
est
le
cas,
par
exemple,
dans la
psychologie
des
choix. La
probabilité
de choisir
quelque
chose
dépend
essentiellement de
l’ensemble
des alternatives
pos-
sibles. Autrement
dit,
choisir cela
signifie
toujours,
choisir
un ensemble
donné.
Demander,
par
exemple, quelle
est la
probabilité
qu’un
consomma-
teur
choisisse un
plat
déterminé,
n’a de
sens
que
si l’ensemble
des
plats
sur
la carte
est
donné. Ces
considérations
ont
conduit,
par
exemple,
M.
R. Luce
[15],
un
peu plus
tard,
mais
indépendamment
de l’auteur
de
cette
Note,
à la
notion
d’espaces
des
probabilités
conditionnelles
spéciales.
Pour
caractériser
le
point
de
départ
d’un
autre
groupe
de
chercheurs,
nous
devons
mentionner d’abord
l’avantage
le
plus important,
d’un
point
de
vue
strictement
mathématique,
de
la théorie
des
probabilités
condi-
tionnelles.
Comme il est bien
connu,
dans la
théorie
de
Kolmogoroff,
la
probabilité
conditionnelle
P(A ~ B)
d’un événement
A
sous la condition
que
l’événement
B a
lieu
(en
bref :
sous la condition
B)
est
exprimé par
la
formule
où
P(B)
est la
probabilité
de l’événement
B,
et
P(AB)
celle
de la réalisation
conjointe
des
événements A et B.
Étant donné
que,
dans la
théorie
de
M.
Kolmogoroff,
les
événements sont
représentés par
les
sous-ensembles
mesurables
d’un
espace
abstrait,
et la
probabilité
des événements
est
une
mesure
définie
sur
ces
ensembles
(en
dénotant l’ensemble
représentant
un
événement
par
la
même
lettre
que
cet
événement,
et en
désignant
l’inter-
section
des
deux
ensembles
par
leur
produit),
on
peut
dire
que
la
probabilité
conditionnelle
s’exprime
dans
la
théorie de M.
Kolmogoroff
sous
la forme
où A
et
B
sont
les
sous-ensembles d’un
espace
Q,
AB
désigne
leur inter-
section
et fl.
est une
mesure.
Cependant,
dans la
théorie de M.
Kolmogoroff
v
est
toujours
une
mesure
bornée,
notamment
une mesure
normée
par
la
condition
=
1.
Par
contre,
notre
théorie
admet des cas
où
la
pro-