Séminaire Lelong. Analyse F RANÇOIS N ORGUET Notions sur la théorie des catégories et l’algèbre homologique Séminaire Lelong. Analyse, tome 1 (1957-1958), exp. no 9, p. 1-21 <http://www.numdam.org/item?id=SL_1957-1958__1__A5_0> © Séminaire Lelong. Analyse (Secrétariat mathématique, Paris), 1957-1958, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire Lelong. Analyse » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 9-01 Faculté des Sciences de Paris -:-:-:- 4 février 195~ Séminaire d’ANALYSE (P. LELONG) Année (texte 1957/58 revu en décembre 1958) CATÉGORIES NOTIONS SUR LA THÉORIE DES ET L’ALGÈBRE HOMOLOGIQUE par François NORGUET Le but de cet exposé est de présenter la théorie des catégories comme cadre pour l’algèbre homologique, cadre elle-m8me pour la théorie des faisceaux et des espaces exposée ultérieurement. En fait, la théorie des catégories est celle d’une structure algébrique très générale, qui, particularisée par l’adjonction progressive d’axiomes spéciaux, devient un cadre naturel pour la formalisation de telle théorie mathématique préalablement choisie. Ayant on vue spécialement la formalisation de l’algèbre homologique, on dirige l’axiomatisation vers C6 but particulier, en mentionnant toutefois le point d’inscrtion de la théorie des catégories locales. Une axiomatisation de cette dernière, entreprise de façon un peu différente , a été exposée par M. C. EHRESMANN [3] ( ). Certaines notions, introduites au cours de l’axiomatisation des catégories exactes, sont également néces- annelés, qui sera . cadre formel pour alors des axiomes plus faibles saires si l’on veut construire mais il faut prendre matique introduite ici un pour les catégories sur des l’homologie complexes (cf. théorie topologique ; (cf o [ 4 ~~ [6] et d’où la nécessité de ainsi que les [ 2 ~~ diagrammes (l’) et [7 ~~ . L’axio- que celle plus faible exactes est généralement adoptée (cf. par exemple [ 1 ~~ ; notion do suite exacte et celle d’homologie, . une généraliser la diagrammes classiques (2’ ~ ~ p. 59). On a qu’elles résultent des axiomes .énoncés, et bien qu’elles en résultent presque toujours de manière évidente ; cela permet de contrôler à chaque instant la portée des axiomes. On donne 1p. définition d’une catégorie abélienne, et celles aux foncteurs. Pour les notions de catégorie duale, de produit direct, et de directe, on renvoie au cru bon d’énumérer toutes les mémoire récent [5] propriétés utiles, i de A. GROTHENDIECK. catégories additives, des L’exposé catégories abéliennes se mesure termine par la définition des et des foncteurs teur trouvera dans le mémoire cité de A. GROTHENDIECK logique dans les catégories un exposé dérivés. Le lecde l’algèbre homo- abéliennes. ’ () Les numéros entre l’exposé. crochets renvoient à la bibliographie, placée à la fin de catégories. des I. Défi nitions fondamentales. Notion d’homologie. générales 1. Notions les sur catégories. C , munie d’une loi composition partiellement définie (f ~ g) -~ f.g , on appelle unité tout élément f et g,o - g lorsque ces produits sont définis. Si le produit tel que : e.f a. de Dans composition. - Classe munie d’une loi de classe une = e de deux unités est e.6’ b. Définition. - Une définie alors catégorie C (f ~ g) partiellement définie e = est c’ . une classe munie d’une loi de f~g ~ appelée produit, -~ satisfaisant composition aux axiomes ’ suivants t (f.g).h est définie f.(g.h) est (f.g).h ; si f. (g.h~ ~ est définie (f.g).h est défini. il. si f.g et g.h sont définis, (f.g).h est défini. défini et égale associativité : si i. iii, pour f tout d6 C~ il existe des unités et e’ f cf ’ toiles que et soient définis. Les éléments d’une appelées objets c. Propriétés. i. Pour tout est ou catégorie de appelé unité à Pour que g.f C ~ et e éléments x soit que g) HC (ef , g.x.f ii. e’ de C parfois Chaque triple f . 6f . = applications canoniques. unités de C s HC (e , e ’ ) désigne produit e’) est toujours un désigne l’application un façon unique, et et les tels que le à est déterminé do et e~~ g = E~ sont deux e’ qui, les unités sont il faut et il suffit que définie IL (f , g) de (resp. e.,) à droite) de e’ gauche f.g est défini i. Si appelés morphismes ; norphismes identiques. f d. Les classes sont élément e’ . x. e ensemble. Si de l’ensemble x (e, e’ , e") de H (e’ , défini ; soit f , suppose désormais sont deux éléments de g H (c ~ ~ eg) , on la classe des e) fait d’unités détermine C , dans l’ensemble correspondre l’élément une application canonique : REMARQUE. - La condition ci-dessus définit l’application et) considérée, lorsque e") est non vide ; si cette classe est vide, est déterminée do façon précise comme application vide (de la classe .. R~ (et, et!» C(e’ , x (f , g) ili. Tout couple de morphismes détemine deux vide dans applications canoniques : restrictions de iv. Tout morphisme e) classe Toute application y d’une l’imago réciproque de 2. Morphismes a. contient classe dans e possédant Morphismes détermine deux applications canoniques : f H par cotte des seule unité une (e , e)~ et e ~ on on appellera noyau désignera par application. d’une n(~) ~ propriétés particulières. inversibles. /~ DEFINITIONS. - f (resp. est les éléments de droite) de est dit inversible à non vide ; si f f est dit inversible, inversible simultanément à droite et à n(~~) ~ ments de appelés sont sont ou encore gauche ; appelés est si inverses de f droite) si gauche (resp. à est inversible à (resp. f ; (resp. gauche inverses à à droite), gauche (resp. à appelé isomorphisme~ est inversible, s’il est les élé- f. . , , PROPKOETES O i. Pour que suffit que x x.f == soit inverse à e., (resp. f~x = gauche (rGsp. à droite) e~) . . de f~ il faut et il Si lie est x à inverse, gauche ou à droite, de f, e f ût ex = iii. Pour que x soit inverse à gauche (resp. à droite) de suffit que f soit inverse à droite (resp. à gauche) de x. f~ f.g est définie et si f.g l’est aussi ; si x (resp. à droite Si iv. (resp. g) ~ Si défini, est f inversible, sont égaux. droite, qui v. à est y.x f et y) est sont g inversibles, inverse, à droite inverSe~ à droite ou et est il admet un seul inverse à ou à 4 il faut et il ou à gauche, à gauche, de f gauche, de f.g . gauche et seul inverse un . droite ) uno catégorie dont droite), groupolde une catéinversibles, groupe un groupoide ayant une seule DEFINITIONS. - On appelle groupoido à gauche tous les éléments sont inversibles à gauche (rcsp. à dont tous les éléments sont gorie à unité. épinorphismes. b. Monomorphismes et DÉFINITIONS. - f (resp. appelé : nonomorphisme (resp. épimorphisme), si une injection j; bimorphisme, s’il est en même temps est pour 03C6f,g) tout g, est, mononorphisne épimorphisme. et i. que Pour que f soit f.x’ = f.x" (resp. un monomorphisme (resp. x’ . f ~ x" . f ) entraîne g.f est un monomorphisme (rcsp. monomorphisme (rosp. ii. Si iii. Si iv. g.f Si est est g.f f et définie g un bimorphisme, un est x’ = x" . épimorphisme), un monomorphisme Pour que f soient, vii. Pour que f soit pour tout f soit et g un monomorphismes Tout vi. (r6sp. g) f un isomorphisme, est est épimorphisme. et si monomorphisme il faut et il suffit que 03C6f ,g (resp. Et g , des bijections. un isonorphisne, monomorphisme inversible à droite (resp. il faut et il suffit un un ’ morphisme inversible à gauche (resp. à droite ) épimorphisme); tout isomorphisme un bimorphisme. v. il faut et il suffit (resp. des épimorphismes), monomorphisme (resp. un épimorphisme). sont des c’est f épimorphisme), épimorphisme qu’il soit inversible à un gauche ) . Ef f acements injectifs et proj ectif s c. o DÉFINITIONS. morphisme m est appelé effacement injectif (resp. projectif) si c’est un monomorphisme (resp. épimorphisme) et si, pour tout morphisme g tel que m. g (resp. g.m) soit défini et tout monomorphisme (resp. épimorphisme) f ayant même unité à droite (resp. à gauche) que g, il existe ~~n morphisme x tel que i. Un (resp. m.g = x.f = g.m f.x) . ii. Un objet est dit injectif (resp. projectif) s’il est un effacement injectif (resp. projectif). PROPRIETES. i. Si est m un projectif), injectif (resp. effacement morphisme (resp. épimorphisme), et m. y y.m et si est y sont des effacements un mono- injectifs (resp. proj ectifs) . ii. En ou particulier, un monomorphisme (resp. épimorphisme), dont l’unité à gauche droite est un objet injectif (resp. proj ectif) , est un effacement injectif à (resp. projectif). 3. Relations de préordre et Relations dc a. d’équivalence. préordre dans C . DEFINITIONS. - Si (resp. x tel relations f et sont deux g morphismes de la relation C, g ~ f f) équivaut à l’existence d’un nononorphisne (resp. épimorphisme) f.x (rr.:.sp.3 g = x.f). On désigne par ~ (f ) (resp. que g ~,~.~f ~ ~ la classe des morphismes g tels que g f (rssp. g f ). g = a ,~ PROPRIETES. 1. Les relations monopréordre h Si et 16 est f g un épimorphisme x , tel que iii. est f monomorphisme un g = Si g est un et épipréordre et et que tout ii. si C est préordre, que nous appelleras de C ; cela signifie que : hcg et gcf entraînai vérifie f c f , pour la relation c par exemple. tel que et si un sont des relations de monomorphisme, x x.f ~ ~’,. et si g = f.x g f , alors est déterminé de épimorphisme et monomorphisme et si g g G f , alors g est déterminé de g est un est un nonomorphisne façon unique ; si f épimorphisme et l’épimorphisme façon unique. si ~. f ~ alors ’ alors f est épimorphisme ; f est un nononorphisme. un nonomorphisme (resp. épimorphisme), monomorphisme), et si g et (resp. g f), alors Si iv. (resp. est f un épimorphisme un g et f sont des g bimorphismes. suffit que l’on f Si et si ix. (rcsp. soit inversible à droite il faut et il il faut et il suffit gauche), à o g h.g c h.f , et si h est un un épimorphisme), un ef) . f et si est k ef (rebp. f - sont f.k et g.k nononorphisne (rGsp. un h.g et h.f sont définis, et si Si vii. soit (resp. c f e’ que ait Pour que vi. si f Pour que v. définis, alors épimorphisme, g c- f équivaut f, de h.g c h.f ; g.k f.k . alors nononorphisno, alors g.k .f.k g Cf ; si f . g (f) , ~(g) à alors gcf? la seconde inclusion étant une inclusion de classes. x. &#x26;(g.f) b. Relations = g’~(f) ~ .. (g) C ~f(f) . à équivaut g f De et d’équivalence = dans DEFINITIONS. - Deux norphisnes équivalents) s’il existe un C . et f seront dits g isomorphisme tel que x g monoéquivalents (resp. épif.x (r6sp. g x.f). = = PROPRIETES. i. il suffit g f Pour que deux nonouorphisnes soient qu’ils vérifient gcf épiéquivalents, et et g f C g ; pour il faut et il suffit monoéquivalents, il faut que deux épimorphismes f soient qu’ils vérifient g f et f et et g . il Lorsqu’on parlera de monomorphismes (resp. d’épimorphismes) équivalents, s’agira de monomorphismes (r6 sp 3 d’épimorphismes) mono-équivalents (resp. épiéquivalents) ; pour les binorphisnes, il faudra toujours préciser de quelle équivalence il s’agit. . ii. soient Pour que f soit un isomorphisme, monoéquivalents (resp. que f et il faut et il suffit que e., soient f et épiéquivalents). h.g sont définis, et si f et g sont monoéquivalents, alors si f.k et g.k sont définis, et si f h.f et h.g le sont aussi ; de et g sont épiéquivalents, f.k et g.k le sont aussi. iii. Si h.f et alors g k si h.g et h.f sont monoéquivalents, et si h est un monomorphisme, et f sont monoéquivalents ; si g.k et f.k sont épiéquivalents, Si iv. est Pour que v. épiéquivalents. alors g et f sont les nononorphisnes f et g soient épimorphisme ; un monoéquivalents, il suffit que 03A6(f) 03A6 (g) , pour que les épimorphismes valénts, il faut et il suffit que 03C8(f) = DÉFINITION. - Deux isomorphismes et x g g soient épiéqui- deux y.f.x . e’) contienne un ~ soient e’ et e isomorphes, il faut et il isomorphisme. Union et intersection de morphismes. ~ Et isomorphes s’il existe seront dits g = Pour que deux unités suffit que c. tels que f il faut et r~ , PROPRIETE.’ ’ y Et f morphismes et Catégories locales. , PROPRIETE et DEFINITION. - Soient et f morphisme x ~ vérifiant fcx et g C y entraînent x c- y , ce morphisme deux g morphisnes ; s’il existe un tel que les relations f G y et est défini à une monoéqui valence près ; ’ on écrit alors x = f U g . . f=fuf; PROPRIETES. - PROPRIÉTÉ DÉFINITION. - et morphisme x ~ vérifiant y ~ g entraient écrit alors x = y ex, Soient et xc.f ce f et deux g x cg, et morphismes ; s’il existe tcl que les relations morphisme est défini à une un y C, f monoéquivalence près ; et on f ~ g . PROPRIÉTES. - f ~ g = g ~ f ; f ~ g ~ f ; f = f ~ f ; f ~ (g ~ h) = (f ~ g) ~ h PROPRÏE~1~5 ..- (t~ h ~, (f h) u REMARQUE. - L’étude 6t l’axiomatisation de l’union et de l’intersection des morphismes conduit à dans cet la notion de catégorie locale, qui ne sera pas développée exposé. 4. Catégories exa,ctes. a. AxiomE dE l’ imagE. AXIOME El. - Pour tout morphisme épimorphisme y 1 tels que : f~ il existe un monomorphisme . x et un . i. f ~ x.y x’ si le monomorphisme x’ c. x ot l’épimorphisme y’ vérifient f = x’.y’, alors et monomorphisme x et l’épimorphisme y , satisfaisant à l’axione E1, sont déterminés, le premier à une monoéquivalence près, 16 second à une étant choisi, y lui est cepondant associé de façon épiéquivalence près ; x unique. Le NOTATION. - On pose, pour tout E (f ) étant respectivement ff I (f ) ~ E(f) y ~ I(f) un épimorphisme définis = x 1 à des nononorphisne et équivalences près, appelés respectivement inage et coimage de f , l’un étant toutefois déterminé de façon unique quand l’autre a été choisi. et un PROPRIÉTÉS. i. Les conditions : f est un monomorphisme, I (f ) = f , E (f ) = ef , sont ’ équivalentes. ii. Les conditions : f est un épimorphisme, I(f) E(f) = = f, sont équivalentes. iii. Si sont . bimorphisme, Si . g est Si est f I(I(f)) vi. Si sont b. Axiome il en f et sont e!. monoéquivalents, résulte que tout bimorphisme est identité entre les notions de bimorphisme et a v. E (g) un épiéquivalents ; donc il y iv. est f f = et un I(g.f) monomorphisme, = g.I (f ) et g un E (g.f) = E (f) ; = sont isonorphes, I(f) et = I (g) sont = isomorphes, E(f) isonorphes. des morphismes nuls . et) AXIOME E2. - Toute classe app6lé morphisne nul, contient C et une élément, noté unité, notée o , appelée objet nul, contient un tels que : i. ef isomorphisme ; d’isomorphisme. épimorphisme, I(g.f) I(g) et z(f) , ~(ECf)) ~ E(f) , I(E(f)) == un et f Pour tout norphisne 0 6 ~6 = f 0 8~8 de H (6 , e’ ) f ~ n(f, 0 . E r = et Pour tout ü . morphisme f .0 = 0 ,~ ) . ~ E~e e~s iii. Quelle que soit l’unité un H C (e’ , en) , 03C6 o E _ , dE. f Est 0 e , un o,e e"(0e, e’ , monomorphisme, Et épimorphisme. iv. 0o,o = à 0e,e" 08 o est o . NOTATION. - On écrira parfois sera f) = craindre, négligera on 0f,g lorsqu’aucunc confusion pour n6 les indices. , PROPRIETES. o f ~o ~ e) contient le seul élément 0o,e , et contient le seul élément 0 ; en particulier, HC (o , o) contient e,o Pour toute unité i. Hom(e , o) 16 seul élément Pour , , o. couple tout . que I(0e’,e) HC ~o ~ ~ 6 ) d’unités, 0 , e 4 = f est un Si f est un f.x monomorphisme, 0 = o~o .0 o ‘ ~o . ; Entrai,n6 entraîne x.f = 0 épimorphisme, 0 il En résulte 0e’,o . = 6 iii. Si = ~o x 0 . x = = 0 . ’ c. ’ Axiomo du noyau. AXIOME E3... Pour tout morphisme f, il existe un monomorphisme x tel que : ’ i. f .x ü. si = 0 (c’est-à-dire Est y un f .x ,,). f.y ~ 0 , alors monomorphism6 tel que COROLLAIRE. - Le monomorphisme une 0 = x, satisfaisant à l’axiome E3, est déterminé à monoéquivalence prés.. désigne par N(f) , que unE monoéquivalence près. NOTATION. - On le étant déterminé à l’on appelle noyau de f, cc noyau si y est un . , , PROPRIETES. i. Les conditions suivantes sont monomorphisme vérifiant f .y il . Si f est un = 0, monomorphisme, équivalentes: N(f) alors N(f) y = 0 . = 0o,f ; = ’ = e’ iv. Quels que soient f et N(f) == N(g.f) . Si f est un vi. Si et f vii. Pour que viii. Si et morphisme z ix. Si g.f et f sont g un seul, est g N(f) monomorphisme, et N(g) sont I(f) isomorphes. ~. N(g) . morphismes vérifiant f.y ~ 0 ~ alors N(r).z . N(f) et N(g) tel que g.f est défini, et un N(g) . il faut et il suffit que sont des y si monomorphisme, isomorphes, 0, = N(f) c N(gf) ; g ~ il existe y = si sont nuls, alors N(g.f) est nul. DEFINITION. On faible’tout appelle monomorphisme f. tel que morphisme N(f) = 0 . d. Axiome du conoyau. AXIOME E4 . - Pour tout morphisme i. x.f = ii. si un épimorphisme x tel que : 0; y.f = 0 , alors y COROLLAIRE, r Le morphisme une il existe f ~ x ~ satisfaisant à y x . l’axiome E4, est déterminé à épiéquivalence près. NOTATION. ~ On le désigne conoyau étant déterminé à Q(f~ ~ par une que l’on appelle conoyau de f ~ ce épiéquivalence près. PROPRIÉTÉS. i. Les conditions suivantes sont , épimorphisme vérifiant y.f ii. Si iii. f est un = équivalentes : Q(f~ ~ 0 , alors épimorphisme, y = 0 . 0,~ ; si y est un Q(f) = 0f,o . Q (0e’,e) = e . iv. Quels que soient f et g, Q~g~ ~ Q ~g,f ) ; si f est un épimorphisme, un Q(g)=Q(g.f) .Si et vi. Si vii. Pour que f viii. Si morphisme f Si ix. g. f g.f = Q(g) et tel que seul, est y 6t si définie = isomorphes. sont E(g) Q(f) . il faut et il suffit que 0, y.f = 0 i alors il existe sont des morphismes vérifiant y un isomorphes, Q(f) sont g et et z est un épimorphisme, Q(g.f).g Q(f) . g un z .Q(f) . Q(f) sont nuls, alors Q(g.f) est nul. DEFINITIONS. i. On Notions de quotients et et g , et par et g on désigne vérifient seul, un par f tel que g ; f , il existe et DEFINITION. - Z (f } E(g) Q(f) ; il et N(g) existe un f.x ; un un on épimorphisme Si le vérifient g ~ et par il existe appelle nonoquotient x , et on couple I (f ) monomorphisme de C x un le N(f) = ef//E(f) . (f , g) N(g) ~ ~ E (g) un épimorphisme N(g).x N(z) , g) , = épimorphismes seul, tel que par désigne morphismes et de Si deux f 9 Q(f) = isomorphisme près, tels que I(f) = et les quotients isomorphisme près ; il existe un norphisne H(f chacun à o f/g, l’épimorphisme Q(x) . PROPRIETES. - Pour tout morphisme g.f = 0 ~ de 40 gvérifient et g = = PROPRIÉTÉS axiomes o x.f ; on appelle épiquotint de f nonomorphisme N(x) . g aux d’homologie DEFINITIONS. - Si deux nononorphisnes monomorphisme x , . elle satistait catégorie est dite faiblement exacte si El, E2, E3, E4 ~ ce qu’on supposera jusqu’à la fin ii. Une e. tel f faible tout morphisme appelle épimorphisme et un f f vérifie vérifient z , déterminés E(g) = z.Q(f) ; alors déterminés à un détErmi.né à un isonorphisme sont près tel que la relation suivante soit vérifiée à un isomorphisme près : appelé morphisme d’homologie du couple (f ~ g) ’ En particulier, 11(0 , f) = c~ , et H(f , 0) e’~~~ pour tout morphisme f . PROPRIÉTÉ. - Les quatre relations : H(f , g) 0 , N(g) c N(Q(f)) , Q (f) Q(N(g)) , Q (f) . N ( g) 0 , sont équivale nte s .. Une suite (*) de morphismes est dite exacte lorsque H(f t g) est = = = DÉFINITION. - i (fi)03B1i03B2 quatre conditions l’une des vérifiant x i’ ~ - équivalentes qui suivent est vérifiée, pour tout indice 1 : PROPRIÉTÉS. i~ Pour que la suite (0 , f) soit exacte il faut et il suffit que N(f) = 0 . il. Pour que la suite 0) soit exact6, il faut et il suffit que Q(fl) = 0 . iii. Pour tout exactes, iv. soit ainsi que les suites Considérons z condition = suite Q(x’) , 0) = définie et la suite exacte (on le vérifie aisément est x’oz est . à l’aide de la 0). DIAGRAMMES. - A chaque couple (f , g) tel que g.f = 0 correspond le diagramme de norphisnes alignés lequel chaque suite est exacte ; à droite du diagramme correspondant au couple (f , g) est représanté celui qui correspond au couple (g , h) tel que h.g = 0 ~ des connections relient le,s ,deux diagrammes~ et donnent naissance à une suite exacte supplémentaire qui est redressée au-dessoux de la figure. commutatif ’ une l’épimorphisme td N(h) ,x’ ; le produit I(g) = (0 ., N(z) , , (f , Q(f) p 0) et (0 , N(f) , f) sont E(f) ~ 0) . (0, I(f) ~ Q(f) , 0) et (0, (f ~ g p h) , telle g.f = 0 et h.g 0 ; alors E(g) = z,Q(f) , et x’ le monomorphisme tel que norphisne f y les suites représenté ci-dessous, dans DÉFINITIONS. i. On appelle complexe tout indice ii. Si de k k le i = une vérifiant (~)~j~ k suite = ~i/ ,3- 1 est un (k~ ~ » de morphismes, telle que, pour k..k. =0 . j, complexe, on appelle morphisme H~(k) défini par les conditions H~(k) =H(k~,k~) pour e+l i~ , x i,o +2 , H~(k) =H(0 , k~) pour H(k~ , 0 ) pour ~- 1 i ~+ i i-ième morphisme d’homologie suivantes : = . iii. Soit (0 ~ f , (0 ~ f , e une unité de ~0$i+co ’ à droite des ~el que Soit k~ , C ; 0 $ i on f.e appelle résolution de soit défini, e , un et que la suite complexe exacte ~ la résolution est dite injective si les unités +00 , sont injectives. f. Catégories exactes o AXIOME E5 0 - Pour tout DÉFINITION. - Une morphisme f, catégorie N(Q(f)) C I (f) et Q(N(f)) E (f) . . est dite exacte si elle est faiblement exacte et satisfait à l’axiome E5a PROPRIÉTÉS. - Dans Pour tout i. E(g) = catégorie exacte : morphisme f , N(Q(f) = I(f) et = E(f) = = morphismes soit exacte, (fi)03B1i03B2 de équivalentes : ~~f ).N~f ~ ~ 0 ~ ~a ~ f.) = 0 z ~f. ) N~f i+1 ~ , E ~f ~,+1 ) ~ ~ ~f ~ i 9 soit réalisée pour tout N~f ~ ~ 0 o, f ~ Q(f) équivalentes : Q(t) = est un la nononorphisme suite ~0 ~ f) : f est un épimorphisme, équivalentes : (0 , f , 0) est f est un isomorphisme, est exacte. Les trois conditions suivantes sont équivalentes la suite (f , 0) est exacte. Of ,0 ’ la suite et 0f,o soit vil. Pour que la suite f == x~ N(g) , 0) exacte, il faut et il suffit que ~C ~ x ~ ~’ j soit exact6, il faut et il suffit x , Les que . E ~f ) ~ T ~f ) ~ , ~ ~f ) , norphisnes épiéquivalence près, une mono- ou exactes ; g soit , f, ces et les associés à tout norphisme vérifient les conditions suivantes 1 suites (o , I(t) , ~~f) , o) , conditions les déterminent à 5. ’ Premiers exemples de . il faut et il suffit que N~ f~ , ix. à exacte, exacte. et vjii. Pour que la suite (f = ~ ~t~ j . Pour qu6 la suite x = vérifiant f Les trois conditions suivantes sont vi. 1 1 . Les trois conditions suivantes sont = il faut et il = , v. une une iii. Pour qu’une suite suffit que l’une des conditions iv. à (resp. épiéquivalenceoprès, évidemment). Pour tout couple de morphisncs (f , g) , les conditions I(f) = N(g) , ~(f~ ~ Q(f).N(g) 0, H(f , g) 0 sont équivalentes. et à monoéquivalence il. une une uono- ou (o , N(f) , E~f~ , 0) f~ sont épiéquivalence près. catégories. a. Catégorie des ensembles c’est une catégorie locale. désigne et de ’ par G~ ; Catégorie désigne par b. la des espaces c’est Ct 9 et.de leurs topologiques catégorie une applications continues. - On 1°Cale. Catégorie des modules sur un anneau donné A ... On 1~~ désigne par C m,A est une catégorie exacte. En particulier, on désigne par C g la catégorie des e. c’ groupes abéliens. d. Catégorie des anneaux On la 0 - désigne Cap par c’ est catégorie une faiblement exacte. Construction de j partir de catégories catégories données 1 . Construetion de catégories à partir de’ deux o catégories données. Catégorie des ’ ’ C morphismes de foncteurs dE a. C’ . dans Notion d6 foncteur , DEFINITION. - Soient C contravariant) C’ et deux de C et est est dé fini dans C ~ dans une catégories ; application un foncteur T de C covariant (resp. dans C’ ~ telle que Si i. g.f T (g) .T (f ) (rESp. T (f ) .T (g) ) est défini 3ans ~ C’ égale T (g.f ) . et il. Si 6, est une .. C , T(Q) unité dans Est unité dans une C’ . PROPRIETES. i. Si T 6st Si T est et , contravariant, ü. La classe T(0) nent au ûts produit défini iii.Si est une images T des éléments de appliqu6 biunivoquement b. Notion de dE = C est une catégorie relative- T (g.f ) (resp. T(f).T(g) = T(g.f)) par sous-catégorie T (e’ ) f e T (f ) . et = contravariant) lorsque g.f covariant = dans est défini dans C’ C .. la classe des unités de C’ T est si C, T (C ) .. morphisme dE foncteurs. ’ . , DEFINITION. - Soient covariants de T une ~~ C dans application (g).S(f) Et I~ C et C’ ; de C C’ on deux catégories, appelle morphisme dans T(g). ~’(f) ~ sont C’ , S T du foncteur telle que : si définis dans Et C’ ~ et deux foncteurs S . dans lE foncteur g.i est défi.ni. dans r(g.f) ~ ï(g).S(f) C, PROPRIETES. C de C’ est dans S du foncteur norphisne un lui-même. en ii. T(ep = iii.Si est e Si iv. et T(f), et pour tout dans C seul, coïncidant un r(f) pour tout c. f morphisme = C r ’. est r’ r C’ . Soient dans définie si de C de C (S et morphisme alors il existe la classe des sur =T(f). un F (C , C’) . Catégories dans S et C de r (6r) dans C un C’ . dans si elle est dans C’ , un foncteur covariant F(C ~ C’) } r’ deux éléments de le produit un r(f) = rBf). composition, est appelée catégorie des morphismes dans C’ , ou catégorie des C-diagrammes sur C’ . C sont les foncteurs covariants de r C’ ~ F(C , C’) , e C r(e) pour toute unité e de il faut et il suffit que de (resp. soit inversible à droite il faut et il suffit que dans toute unité morphisme de S dans unités de C , et défini par un dans C ’ . équivalentes. PROPRIÉTE. - Pour que gauche) étant des muni de cette loi de LeXUàités de F(C ~ CI) , T . ’ de foncteurs covariants de d. et appartient à F(C , C’ (rBr)(f) F(C , C’) , f telle norphisne d’un foncteur S dans un foncteur T , foncteur U ; alors FB r est le norphisne de S est r r’ du foncteur T dans dans U ~ défini par : e C’ ~ des morphismes de foncteurs covariants de application r de C dans morphisme d’un foncteur covariant de dans pour toute unité r(ep.s(f) Une T C C . de F(C , C’) Catégorie r avec ~rY B==S(e) . ~~~~ de la classe des unités de et foncteurs covariants de T, C, application r est une = = e~ unité dans une e~ B==T(e) que , S Un foncteur covariant i. gauche), à soit inversible à droite C ; r(e) soit un (resp. à isomorphisme isomorphisme dans et pour r pour que dans soit un C . DÉFINITIONS. 1. On appelle par un foncteur existe s équivalence S de C entre deux dans CI et catégories un foncteur C et T de couple formé dans C tels qu’il le C’ .. F (C’ , C) ~ un isomorphisme foncteur composé T.S. il. Dans C’) ~ un isomorphisme r du foncteur identique de Dans i. foncteur identique de F~ du foncteur composé C S.T dans le dans le C’ , et que les conditions suivantes soient vérifiées : Sfe) i r’(S(~’’).S(r(e)) il. r~(T(e~)).T(r’ "~(e’)) = pour toute unité C~ dans de e C , 0393-1 0393-1 et désignant = T(e’) dans les inverses de 0393 pour toute C F’ et de unité dans et de F(C , C) et F(C’ , C’) respectivement. 2 Deux une catégories catégories Notion de foncteur DÉFINITION. - Soient , C’ et sont dites équivalentes deux variables) une application i~ de Si C x à dépendant plusieurs catégories données~ plusieurs variables. do catégories ; on appelle fonct6ur (à C" p covariant en C , contravariant en C’ ~ en C, CI de partir dans trois T de la classe C est défini dans C , x C’ telle que : dans est défini dans C~ et alors C’ ~ dans g).T(f , Cg) . gg~) = il. Si une s’il existe entre elles équivalence 2. Construction de a. C 6 est une unité dans C g).T(f , 6’ et une unité dans 6~) C~ ~ T (e , el) est unité dans C" . ’ ~/ . i~ est défini dans Si e) une unité il. Si à l’ensemble des conditions suivantes-; équivalentes PROPRIETE. - Ces conditions sont C, et si T(f~ ~ e)~T(f ~ e) ; dans C , T(e, T(e , si = 6 est est est une une unité unité dans est défini dans unité dans C’ ~ e~.. = T(e ~ C~ ~ et si e est g) . = e une = T(e~ ~ et e) et e~ ~ = T(o ~ = c) ; EXEMPLE. - Pour toute catégorie C , H est un foncteur de C C dans contravariant par rapport à la première variable , covariant par rapport à la seconde, qui, au couple (f ~ g) de morphismes de C , associe le morphisme g) de Ce. b. Catégorie Soit dans C. ~2 (T.S)(f) d’une une classe , T(S(f)) = classe de S Composition i. Soit pour tout foncteur morphisme dans des foncteurs (resp. S’) gorie D (resp. D’) , et le foncteur T.(S ~ S’) S ii. Soit et soit x C’ T x et soit C x C’ un C" T x C" D" S un de T C un , ~-2 de dans dans C. "1 C. "3 C..La classe "1 catégo- un foncteur de en posant des foncteurs . de D x et D’ catégorie foncteur de un dans C x D (resp. C’) C x (exemples) :t D’ dans une dans une caté- catégorie D" ; est défini par Dit dans foncteur de x plusieurs variables C’. (resp. C") D" ; le foncteur dans (resp. D’) , D T. (S ~ de un foncteur de D foncteur de x D’ C (resp. dans et dans x le foncteur T. D ~S ~ S’ ) (re sp. D ’ ) , de est défini par d’algèbre homologique. l’algèbre homologique. Foncteurs exacts. Soient une , est défini par (resp. S ~ ) dans dépendant soit foncteur de dans 1. Le cadre de i. y autre une III. Notions T.~ T.S f sont des Ci ’ 1 C. 2 C. ~3 dans C. et T C. foncteur d’une un (re sp. S ~ ) S iii. Soit a. si catégorie quelconque de la classe donnée , de cette loi de composition, est une catégorie dont les unités sont les foncidentiques des catégories données. (Le titre était un abus de langage). teurs C catégories ; ~-1 un Ce ’ catégories. foncteur de un on définit C. "3 sont des objets catégorie quelconque munie c. dont les (~)~;[ ries de cette x de C C et dans C’ C’, des catégories exactes (ou faiblement Un foncteur est dit : exact à droite s’il transf orme toute suite exacte suite exacte exactes). (T (f ) , T (g) , 0) dans C’ . (f , g ~ 0) dans C en ii. exact à gauche (0 , T (f) , T (g) ) suite exacte une s’ il transforme toute suite exacte (0, T(f) , T ( g) , 0) dans 0) C C en C’. dans iii. exact s’il transforme toute suite exacte suite exacte (0, f , g) (0 , f , g ~ dans en une C’ . dans Hom-f oncteurs ~ 8 ~. b. Soit catégorie ; si K est un foncteur covariant d’une catégorie E dans la catégorie C , un foncteur T de C C dans E , contravariant par rapport à la première variable, covariant par rapport à la seconde , est appelé Hom-foncteur, relativement à K, de C C dans E , si les foncteurs H C et C ) . K.T sont isomorphes dans la catégorie F (C C une x x Hom-catégories. c. Soit K Hom-catégorie, gorie, et Home catégorie au relativement à C et dans Ce (C’ , à tout foncteur covariant du foncteur ~‘T 0394T un Une de catégorie Cg blés façon . morphisme Catégories d. un dans Ce couple (T, du foncteur est une une caté- C dans E . A toute (C , H)~ relativement C x le foncteur 0394T) Home où en T Hom-catégories, relativement à K, est associé C’ dans K-foncteur de o définition, C en défini de façon naturelle. Un par sont deux de H C où C ; Ce. HomC’) T catégorie (C ~ couple Hofoncteur, relativement à K, de est associé canoniquement la Hom-catégorie (C, morphisme un dans la un foncteur identité de Si est K, E catégorie foncteur covariant d’une un composé (C , est Homc) un H canoniquement un , . (T ! T) , morphisme dans est, (C’ , Hom , ) foncteur de le foncteur dans C C’ , et tels que additives. semi-additive est qui, sous-jacente. Dans à tout une naturelle et satisfont une Hom-catégorie, morphisme telle relativement de groupes, associe catégorie, les au foncteur I l’application morphismes nuls d’ensem- sont définis de partiellement à l’axiome E2 . Une catégorie est dite additive si elle est semi-additive9 si elle contient un. objet nul tel que l’axiome E2 soit vérifié, et si elle admet des sommes directes finies (et par conséquent des produits directs finies, isomorphes aux sommes directes). Si C et C’ sont deux catégories additives , un foncteur additif T de C dans CI est par définition un I-foncteur de C dans C’ 9 pour un tel foncteur, est déterminé de façon canonique. Tous les foncteurs considérés seront désormais additifs. Catégories abéliennes~ e. Une catégorie sont Cmais m,A est dite abélienne si elle est additive et exacte. Les abéliennes; est C particulier, en g abélienne 9 catégories est additive, Ca seulement faiblement exacte. 0 2. Notion de foncteur dérivé. PROPRIÉTÉ et DÉFINITION. a. Soit C une monomorphisme dont l’unité lienne, T un foncteur de (0 ~~ f , k.) i . + cn est (0 , T (ki))o~i ne +aJ à à droite d’un dont toute unité est catégorie abélienne inj ective. Soient C’ une catégorie abédans C~ ~ et e une unité de C 9 si résolution inj ective de e , l’homologie du complexe est gauche . C une pas de la résolution dépend injective de choisie ; e on (e) , 0 ~ p , les morphismes d’homologie de ce compeut donc désigner par plexe ; l’application RpT de C dans C’ s’étend naturellement aux morphismes de C ; c’ est un foncteur de C dans C t , appelé p-ième foncteur dérivé de T. b, PROPRIÉTÉS des foncteurs dérives . Si T cst exact à gauche, RoT = Si p > o . ~ C est injectif, i. ii. T T Si OU Est T exact, et R~T ~ pour tout ~D ’ iii. Si canonique 0 f une g , 0) est suitc une exacte, il lui est associé __ . , où e’:=e e=e’=6 , la suite . façon suite exacte : . 3. de (R~T) sp +co o" = e’ . constitue On (RpT)(e) = 0 pour pour tout p ~ 0 , le est dite acyclique pour le foncteur T, ’ tout p>0 . (0 , f , (c’est-à-dire si les unités b. PROPRIETE. - Si en un Déteroination des foncteurs dérives. dans C o a. DEFINITION. - Une unité si cette ki)o ~i + à droite p-iene morphisme oo est sont une d’homologie résolution acyclique de du complexe (0 , e 9-21 BIBLIOGRAPHIE [1] BUCHSBAUM (D. A.). - Exact t. 80, 1955, p. 1-34. [2] (H.) and EILENBERG (S.). - Homological algebra. - Princeton, Princeton University Press, 1956. EHRESMANN (Charles). - Cours de Géométrie différentielle (Leçon professées à la Faculté des Sciences de Paris, Année 1956/57). EILENBERG (S.) and MACLANE (S.). - General theory of natural equivalences, Trans. Amer. math. Soc., t. 58, 1945, p. 231-294. 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