Ensembles simpliciaux et opérations cohomologiques

Séminaire Henri Cartan
W EISHU S HIH
Ensembles simpliciaux et opérations cohomologiques
Séminaire Henri Cartan, tome 11, no 1 (1958-1959), exp. no 7, p. 1-10
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7-01
Séminaire H. CARTAN
E.
N. S., 1958/59
18
janvier 1959
ENSEMBLES SIMPLICIAUX ET OPÉRATIONS COHOMOLOGIQUES
par SHIH Weishu
exposé est de montrer que la théorie des "opérations cohomologiques" dans la catégorie des espaces topologiques est équivalente (dans un sens
qui sera précisé) à la théorie des opérations cohonologiques dans la catégorie des
ensembles sinpliciaux" (anciennement dénommés "complexes semi-simpliciaux", ou
encore "complexes C. S. s . " ).
Le but de cet
1. Ensembles simpliciaux.
Il
s’agit d’un
catégorie 0394
,f,~ o ~
bref
définie
morphismes
où
... ~
(0 , 1 , ... , n) .
des
suit : les
comme
... ,
tions croissantes
de notions maintenant
rappel
Les
(au
objets.de
~, n désigne
morphismes 0394p
Tout
sens
large).
identiques 0394n ~ 0394n
~ 0394q
classiques. Considérons la
6. forment une suite
la suite des entiers
sont,
définition,
par
morphisme s’obtient par
6t des
morphismes
du
applicacomposition
.
type suivant :
désigne l’application strictement oroissante qui ne prend
6i l’application surjective qui prend deux fois la valeur
i , et
applications 03B6i sont
"de dégénére.scsnC6".
Soit maintenant
G
les morphisnes "de
une
fac6",
catégorie quclconque.
des foncteurs contravariants
les
6i
pas la valeur
i . Les
sont les
On lui associe la
dans C . Un objet de
t;~
2° pour
d’objcts
chaque entier
K ,
n ~
0,
... ,
Kn ,
...
de la
-morphismes
morphismes
catégorie G
est donc défini
par la donnée :
1° d’unc suite
les
catégorie C ;
qui satisfont
relations déduites de cellcs qui existent entre les
et
‘~i
à savoir
les 6i ,
Un morphisme
pour
aux
chaque
{Kn ~ {K’n}
0,
On s’intéresse ici
catégorie e0394 est défini par la donnée,
-morphisme fn : Kn ~ K’n
, de manière que
n
d’un
de la
(e
des ensembles et des
catégorie
applications ensenblistes ; on notera ,5 la catégorie &0394 ; un objet de àù
s’appelle un ensemble simplicial, un morphisme de S s’appelle une application
simpliciale. On a un foncteur covariant C de la. catégorie S dans la ca té gorie
des groupes différentiels gradués: si K
{ Kn} est un ensenble simplicial,
on lui associe le groupe différentiel gradué
C(K) = o C n (Ii) , où C n (K)
où
au cas
est la
=
n~o
désigne
le groupe abélien libre ayant pour base l’ensemble
~~’~
A
Iln , l’opérateur
étant défini par
~*
application simpliciale f : K 2014~K~ correspond de manière évidente un
homomorphisme C(f) : C(K) 2014~C(K’) qui conserve les degrés et est compatible
une
avec
les différentielles. On
tiel
gradué
est le
un
quotient de
les
"simplexes dégénérés" de
où u appartient à un K ;
au cuoticnt à partir de
celle
()
aussi
a
K ,
C(K/
par le sous-groupe engendré par
c’est-à-dire les éléments de la forme
u ,
s.
la différentielle de
de
le groupe différen-
autre foncteur
C(K) .
Il est
classique
Cela résulte par exemple du Corollaire de la p. 58 de
sition 1 de [1 ] .
est induite par
()
que
[2]~
passage
l’application
et de la
C(K)
isomorphisme des groupes d’homologie (gradués)
On notera simplement
H le foncteur composé H C . ou
H C : c’est un foncteur covariant de la catégorie S des ensembles simpliciaux
dans la catégorie ç des groupes abéliens gradués. On a de même le foncteur
cohomologie H* , qui est un foncteur contravariant de ~ dans ç . En réalité
naturelle
--~
induit
un
H (C(K))
il y
a
lien
de coefficients choisi pour
beaucoup
de foncteurs
H
~~~
et des
la
catégorie
dispose librement
la cohomologie.
car on
l’homologie
2. Ensembles simpliciaux et espaces
On note
H* ,
et
ou
du groupe abé-
topologiques.
des espaces
topologiques (non nécessairement séparés)
continues. Soit
applications
le foncteur covariant qui associe à
chaque
X
"complexe singulier"
S(X) , et à chaque application continue f : X -+ Y l’application simpliciale
S(f) : S(X) 2014~S(Y) ~ Rappelons la définition du complexe singulier S(X) :
soit
A le simplexe affine-type de dimension n ~ c’est-à-dire l’ensemble des
~ 0=k~n tk = 1 . Définissons
points (to , ... , tn) ~ Rn+1 tels que tk ~ 0 et
les
applications
espace
son
continues
que voici :
Un élément de
un
est
S (X)
une
application
continue 03C6: A
n-simplexe singulier de X . Pour
(X) ,
pour 03C6 ~ Sn
munie des
En
sens
on
définit
opérateurs ~i
inverse,
rn
et
définit
si 03C6
=
on
03C6 6i .
si , est bien
un
ensemble
fondeur covariant
X,
et
s’appelle
définit
La collection
un
~
S(X)
des
simplical.
Sn (X) ,
à chaque ensemble
qui,
appelé
la "réalisation
f :
--~ K t ~
K
comment
associe
(cf . ~ 4 ~) .
Soit
simplicial K ~
géométrique"
K
un
un
et à
de
application
une
associe
T(f) : T(K) --~- T (K t ) . Précisons
continue
ensemble
topologique T(K) ,
chaque application simpliciale
espace
simplicial ; considérons
la
somme
topolo-
gique
où l’ensemble
est muni de la
Kn
d’équivalence ~ engendrée
Par
K ~ K’
nue
f : K 2014~ K’
est
T(f) : T(K)
~
la relation
par
définition, l’espace T(K)
f :
topologie discrète ; introduisons
est le
quotient
de
K
par la relation ~
application simpliciale, f induit une application
compatible avec les relations d’équivalence, d’où
une
Si
conti-
T(K’) .
chaque k ~ kn ,
l’injection de An dans K définie par a ~ (k , a)
induit une application continue A ~ T(K) , qu’on notera. jk) ; c’est un
n
de
n-simplexe singulier
T(K) . L’espace T(K) est réunion des images des
applications jkj relatives aux k non dégénérés ~ et si k est non dégénérée
l’application |k| induit un homéomorphisme de l’intérieur de A sur son image
Pour
T(K)
(par contre, jkjÎ n’induit pas, en générale
bord de A sur son image). La structure simpliciale de
"décomposition cellulaire" de l’espace T(K) .
dans
A
chaque
simpliciale
k
un
homéomorphisme
K
définit donc
du
une
simplexe singulier jk) ; ceci est une application
qui est évidemment "naturelle" ; autrement dit, on
du foncteur 1~
dans le foncteur ST. Le
morphisi-ie
associons le
vient de définir
un
~’
morphisme
est
un
gie
d’un espace muni d’une
meme,
isomorphisme :
cela résulte du calcul
décomposition
(classique)
cellulaire
(voir
des groupes d’homolopar
exemple [4]).
De
est
isomorphisme~
un
On
va
cial
K
maintenant
définir,
et d’un espace
pour tout
topologique
(1 ) Hom ~(K ,
X~
effet
en
’g’ : ~ 2014~
X
g :
est bien
S (X)
une
application simpliciale ; définissons
une
avec
.
désignant l’image
de
a
application continue~
et
~.A
par le
comme
g
g:
continue ;
pour
est
d’équivalence ~ dans K
T(K) -2014~ X . Inversement, soit
chaque
k
E
simpliciale,
n
simplexe
on
ce
qui prouve que les
un
tions, réciproques
La
bijection (1 )
teurs
S
et
T
deux
applications
l’une de l’autre. D’où
g
~
g*
(1).
f
et
~
adjoints,
au sens
K
f#
est
une
une
appliappli-
-~ ~ ~ ) x
dont
sont des
bijec-
_
est évidemment "naturelle". Par cette
deviennent
2014~ X
f :
singulier de X ; d’où une application f ~~~~ :
vérifie aussotôt qu’elle est simpliciale. On vérifie que
est
g
6t induit donc
T(K)
l’application composée
K
g(k) ;
simplexe singulier
la relation
cation continue
cation
~
naturelle
X) .
x(T(K) ,
par la formule
le second membre
compatible
K
formé d’un ensemble simpli-
bijection
une
S(X)) ~ Hom
Soit
g
(K , X)
couple
On
de
lopper quelques considérations générales relatives
appliquera ensuite à la présente situation.
bijection
aux
va
foncteurs
les deux fonc-
maintenant déve-
adjoints, qu’on
3. Foncteurs adjoints.
DÉFINITION. S :
donné:
Soient
et
deux
oatégories,
des foncteurs covariants. On dit
pour tout
naturelles
couplc formé
et soient
qu’ils
d’un
~ 03B2
et
adjoints si l’on s’est
03B2 , deux applications
sont
B~
T :
et si
ces
applications
sont des
bijections, réciproques
EXEMPLE. - Le lecteur observera
"suspEnsion’~
adjoints.
et le
au
foncteur"espace
PROPOSITION 1. - La donnée d’une
morphisme
En
supposons
S(B) ;
de
naturel vis-à-vis
des lacets" ont été
application
un
un
Réciproquement,
un ~
soit donné
soit
g
=
03C6 (f) .
le
g
On définit ainsi
et elle est "naturelle". On laisse
une
au
définis
foncteurs
comme
à celle d’un
TS(B)
ce
morphisme
un
tel
morphisme idenmorphisme est
16
soit
du foncteur
morphisme
03A6 ;
TS
dans
et soit
f
morphisme compose
application
lecteur le soin de vérifier que la corres-
pondance ainsi définie entre applications
On
le foncteur
naturelle 03C6 équivaut
l’application 03C6 donnée ;
morphisme
~’de ~i SB ~B. ~ On) est
obtient donc
’la foncteur
posons
l’exposé 5,
de foncteurs
effet,
tique
début de
l’une de l’autre.
03C6
et
morphismes 03A6
est
bijective.
prouve de même :
application naturelle 03C8 équivaut
PROPOSITION 1 bis. - La donnée d’un6
à
celle d’un morphisme de foncteurs
PROPOSITION 2. - Soient données des
applications naturelles 03C6 et 03C8 ,
et
soient 03A6 : TS ~ 103B2 et 03C8 ; 1 ~ ST les morphismes do fonct6urs correspondants. Pour que l’application composée 03C8 o 03C6 soit l’identité, il faut et
03B1
il suffit qU6 le
soit le
morphisme composé
morphisme identique
du foncteur
S .
1
DEMONSTRATION. - Partons de
est lE
Pour
le
cxplicitant,
(f ) )
=
donc le
doit être
soit
g =
03C6(f) ;
alors
mrophisme composé
en
est
S (B)) ;
f
morphisme composé
pour tout
f~
il faut
qu’il
soit ainsi
en
f
lorsque
composé
l’identité,
autrement dit le
(S 03A6)
morphisme
Cette condition nécessaire est aussi suffisante :
le
car
(y S )
o
est
l’identité.
diagramme suivant
est
commutatif
~
et alors ls
Par
composé des morphismes (2)
dualité,
on a
sera
bien
la
PROPOSITION 2 bis. - Pour que l’application
il faut et il suffit que le morphisme composé
soit le morphismo
f ,
identique
du foncteur
composée ~ o
morphisme
morphi sme c ompo s é
.( l# bP )
Si maintenant
ùe morphisme
et
titre
composé (S % )
’(I’ ’flÎ )
nous revenons aux
’)" : 1 ~
qui associe à chaque
T (K) . À ,
o
o
T
et
(Q/ S)
’
s oit 1 ’ identi té.
deux foncteurs
’est a,utre que celui
k ~ Kn
le n-simplexe
qui
d ’«xrCiC«,
n
T
a
du
paragraphe 2,
déj à été explici té,
singulier|k|
16
foncteurs adjoints
soi t l’ identi té et que le
ct
ST
comme
"
S
-*
l’identité,
T.
Nous pouvons maintenant conclure.86 donner S
revient à se donner deux morphismes de foncteurs
de manière que le
soit
lecteur explicitera 16morphisme
de
" :
l’espace
TS -+
.o
4.
Opérations cohomologiques.
Soient donnés deux entiers
opération cohomologique de type
chaque ensemble simplicial K ,
d6 manjère que si
K
f :
soit commutatif. Si de
K ~
chaque
pour
on
de la
plus
dit que
G)
Considérons
catégorie ,5’
-~-
K’
on
considère
(n ~
ces
et
G’ . Une
q ,
U(K) est un homomorphisme de groupes’ abéliens
l’opération cohomologique U est additive.
G’)
et
dans la
G
G , GI) consiste dans la donnée, pour
d’une application U(K) :
est une application simpliciaie, le diagramme
catégorie
n’est pas autre chose
second. Si
q , et deux groupes abéliens
et
n
comme
des foncteurs
des ensembles. On voit
qu’un morphisme
du
premier
(contravariants)
qu’une opération cofoncteur dans le
prenant leurs va16urs dans la
plus des ensembles), alors un morphisme
deux foncteurs
comme
catégorie des groupes abéliens (et non
est une opération cohomologique additive. Ce qui va suivre s’appliquera aussi
bien aux opérations cohomologiques générales qu’aux opérations cohomologiques
qu’on vient de définir, ce sont les opérations cohomologiques pour la catégorie dcS ensembles simpliciaux. Mais on a aussi uns notion d’opération cohomoCe
logique pour la catégorie des espaces topologiques : pour
espace topologique X ~ on se donne une application V(X) :
G) Hq(S(X) ; G’) ,
de manière que si g : X
est une application continue, un diagramme
évident soit commutatif. Autrement dit, V est un morphisme du fondeur Hn S
dans le foncteur Hq S (le premier étant pris à coefficients dans G ~ le
second à coefficients dans
On
se
propose d’établir
G’).
une
correspondance bijective naturelle
201420142014201420142014201420142014201420142014--
opérasimplioiaux,
entre
’~ ’ L~ - ._ - - ~ _ , ~ . ~
r
cohomologiques de type (n ~ q , G , G’) sur les ensembles
6t opérations cohomologiques de type
(n ~ q , G , G’ ) sur les espaces topologiqU6S. Cette correspondance doit évidemment associer à chaque morphisme
U : H~ -+ Hq le morphisme US : HnS ~ HqS .
tions
’
~
~
THEOREME. -
morphisme
L’application qui,
US:
à
est
DEMONSTRATION. -
chaque morphisme
U,
associe le morphisme de foncteurs
des
morphismes
me
Hn
du foncteur
associe le
bijective.
S l’application qui;
Notons
U :
à
chaque morphisme de foncteurs
Hq)
US . Et notons
dans le fondeur
On
a
l’ensemble
évidemment
un
diagram-
commutatif
On veut montrer que l’application
suffit de montrer que
et
(ST)*
applications
1°
du
diagramme
L’application
(ST)*
S*
(TS)*
seront des
est
de
gaucho
est
sont des
bijection. Pour cela,
bijections (alors toutes les
une
il
bijections).
bijective. - En effet~ considérons le diagramme
commutatif
où les flèches verticales sont des
isomorphismes (cf. paragraphe 2, calcul de la
cohomologie d’un espace T(K) nuni d’une décomposition cellulaire). Ce diagramme
montre que toutBorphism6 V : H~ ST
définit un morphisme
U :
H~ -~ H~ ,
et que l~on
2°
a
par
alors
L’a plication
suffit de
V
=
(TS)
UST ~
est
bijective. - Par
montrer que le diagramme
un
raisonnement
analoguc,
il
7-10
est
les flèches verticales sont des
commutatif, puisque
rons
le
isomorphismes. Or considé-
diagramme
Le carré
composés des flèches verticales sont les
applications identiques Hn S ~X ) --~ Hn S (X ) et H~ S (X )
S(X) ~ puisque
(S ~~ ) o (’~ S ) est l’application identique du foncteur S . Il en résulte que
H~ S ~’ (X ) est l’isomorphisne réciproque de
et H~
(X)
l’isomorphisme réciproque de
S(X) ; de plus, le carré inférieur est
supérieur
est
les
commutatif ;
’
commutatif.
C. Q. F. D.
REi,iARQUE. - En
réalité,
on
PROPOSITION 3. - Soient
vi6nt de démontrer lE résultat suivant :
T : ~ --~
et S : ~) 2014~ C:L des
foncteurs
covariants
Soient :
deux morphismes de
identique
de la
foncteurs,
du foncteur
catégorie
tels que
S . Soient
dans
H
o
ct
H’
catégorie C ,
S)
soit le
deux foncteurs
morphisme
mène
variance)
(de
6t supposons que les
morphismes
soient des isomorphismes (i.e. pour chaque objet
H 03C8
t
A d6 C , H 03C8 (A) et H’ 03C8 (A) sont des isomorphismes de la catégorie e)
Alors l’application qui, à
morphisme de foncteurs U : H ~ H’ , associe
le morphisme de fonct6urs HS ~ M’S , cst bijective.
de foncteurs
et
une
Ht
BIBLIOGRAPHIE
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CARTAN
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Annals of
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