Vecteurs de Witt

Vecteurs de Witt
Dajano Tossici
Groupe de travail, 16-20 Avril 2012, Luminy, CIRM
1. Vecteurs de Witt
Soit p un nombre premier fixé. Pour tout n ≥ 0, on définit les polynômes de Witt
n
Φn (X0 , . . . , Xn ) = X0p + pX1p
n−1
n
+ · · · + Xnp ∈ Z[X0 , . . . , Xn ].
On définit le schéma en anneaux Wn comme le schéma AnZ avec la structure des anneaux donnée
par l’unique structure tel que le
Wn −→ Gna
donné, sur les algebras, par
Xi −→ ϕi (X0 , . . . , Xn )
est un morphisme de schemas en anneaux. Ici Gna indique la puissance n-iéme du schéma en
anneaux Ga . Le fait nontrivial est la prouve de l’existence de la structure.
En pratique ils existent, pour tout n, polynômes Sn (X0 , . . . , Xn ; Y0 , . . . , Yn ) et Pn (X0 , . . . , Xn ; Y0 , . . . , Yn )
tels que
Φn (S0 (X0 ; Y0 ), . . . , Sn (X0 , . . . , Xn ; Y0 , . . . , Yn )) = Φn (X0 , . . . , Xn ) + Φn (Y0 , . . . , Yn )
et
Φn (P0 (X0 ; Y0 ), . . . , Pn (X0 , . . . , Xn ; Y0 , . . . , Yn )) = Φn (X0 , . . . , Xn )Φn (Y0 , . . . , Yn ).
Exemple 1.1. Exemples des polynômes Sn et Pn pour n ≤ 2.
– S0 = X0 + Y0
P0 = X0 Y0 ;
X p +Y p −(X +Y )p
– S1 = X1 + Y1 + 0 0 p 0 0
P1 = X0p Y1 + Y0p Y1 + pX1 Y1 ;
2
– S2 = X2 + Y2 +
2
2
2
X0p +Y0p −(X0 +Y0 )p +p(X1p +Y1p −(X1 +Y1 +
p2
p
p
X0 +Y0 −(X0 +Y0 )p p
) )
p
2
2
P2 = X0p Y2 +X2 Y0p +X1p Y1p +p(X2 Y1p +Y2 X1p )+p2 X2 Y2 +
2
X0p Y1p +X1p Y0p −(X0p Y1 +X1 Y0p +pX1 Y1 )p
.
p
Remarque 1.2. On observe que Wn est isomorphe à Gna sur une base où p est inversible.
On peut définir
W := lim
Wn ,
n
←
oú les morphismes Wn+1 −→ Wn sont donnés par
Rn+1 : Wn+1 −→ Wn
Ti 7→ Ti if i ≤ n
Il est aussi un schéma en groupes (pas de type fini) sur Spec(Z). Comme schéma il est representé
par Spec(Z1 [T1 , . . . , Tn , . . . ]).
On obtient donc un foncteur (representable par définition)
hW : Schop −→ Anneux.
Il est un faisceau pour le gros site fppf.
1
2
1.1. Verschiebung et Frobenius. Il y a deux importants endomorphisms du schéma en anneaux Wn , pour.
Le premier est le Frobenius F.
Si F = (F1 , . . . , Fn ), il est determiné par la formula
Φr (F0 , . . . , Fr ) = Φr+1 (T0 , . . . , Tr+1 ).
On remarque que sur Fp (ou un schéma de caracteristique p) il est le Frobenius relatif usuelle.
En general il est different, par exemple
F0 (T0 , T1 ) = T0p + pT1
et
2
T p − (T0p + pT1 )p
F1 (T0 , T1 , T2 ) =
+ pT2 + 0
.
p
Le Frobenius est un endomorphisme de schémas en anneaux.
Le Verschiebung V = (V0 , . . . , Vn ) est défini par
T1p
Φr (V0 , . . . , Vr ) = pΦr−1 (T0 , . . . , Tr−1 ).
C’est immediat à verifier que V : Wn −→ Wn est donné par
T1 7→ 0
et
Ti 7→ Ti−1
si i = 1, . . . , n. Le Verschiebung est un endomorphisme de schémas en groupes pour la somme (et
pas d’anneaux). On a seulement
V (x)V (y) = pV (xy).
On remarque que V et F commutent avec les restrictions Rn et donc on obtient des endomorphisme sur W en passant au limite projectif.
Lemme 1.3. On a les suivant relations.
(i) F V = p,
(ii) Sur Fp on a aussi V F = p
(iii) Pour tout algèbre A et x, y ∈ W (R),
V (F(x)y) = xV (y).
Démonstration.
(i) On observe que, si F V = (U0 , . . . , Un ), pour tout r on a
Φr (U0 , . . . , Un ) = Φr+1 (V0 , . . . , Vr+1 ) = pΦr (T0 , . . . , Tr ),
qui implique que F V = p.
(ii) On a que si V F = (U1 , . . . , Un ) alors,
Φ0 (U0 ) = 0
et, si r ≥ 1,
Φr (U0 , . . . , Ur ) = pΦr−1 (F0 , . . . , Fr−1 ) = pΦr (U0 , . . . , Ur ).
Donc on a que Φ0 (p − V F) = p et Φr (p − V F) = 0, si r > 0. Donc on a que V F = p sur Fp .
iii) Il faut verifier que
Φr (xV (y)) = Φr (V (F(x)y)).
avce x, y generiques elements. Pour r = 0 l’égalité est trivial. On suppose r ≥ 1. On a que
Φr (xV (y)) = Φr (x)Φr (V (y)) = pΦr (x)Φr−1 (y) = pΦr−1 (F(x))Φr−1 (y) = Φr (V (F(x)y)).
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1.2. Propriétes universelles. Dans ce section on considére un corps k parfait de caracteristique
p > 0 et on considere l’anneau W (k). On commence avec un lemma
Lemme 1.4. Soit a = (a0 , a1 , . . . , an , . . . ) ∈ W (k). Alors
∞
X
1/p
a=
pi [ai ].
i=0
Ça implique que W (k) est un anneau de valuation discrete complet.
Démonstration. Il suffit de montrer, par induction sur r, que les r-émes composantes de deux
terms sont egaux. On utilise le fait que pi = V i Fi . On a donc que A est local complet. De plus
on a que W (k) est un domain integrale et on a la valuation discrete
v : W (k) −→ Z
definie par v(x) = k si k est le plus grand entier tel que x = pk y et y ∈ W (k).
Théorème 1.5. Soit A un anneau noethérien local complet de corps residuel k parfait de caracteristique p > 0 avec ideal maximal m et soit q : A −→ k la projection canonique.
a) Il y a une et une seule applcation τA : k −→ A tel que τA soit multiplicative et une section
de q.
b) L’application
1/p
1/p2
wA : (a0 , . . . , an , . . . ) 7→ (τA (a0 ) + pτA (a0 ) + pτA (a1 ) + p2 τA (a2
) + ...
est l’unique morphisme d’anneau w : W (k) −→ A tel que q ◦ w soit la projection sur la
premiere composante.
Démonstration. On prouve d’abord que τA est unique. Suppose il existe % et τ avec les proprietés
en a). On observe d’abord q(τ (1)) = q(%(1)) = 1, donc τ (1) et %(1) sont inversible dans A car A
est locale. Donc les deux morphismes envoient k ∗ dans A∗ . Par hypothése on a que, pour tout
(x)
∈ 1 + m. Donc, pour tout n, on considére
x ∈ k ∗ , %τA(x)
%
: k ∗ −→ (1 + m)/(1 + mn ),
τ
qui est un morphisme de groupes (on prends la multiplications dans le deuxieme expace et on
observe que, car A est complete, alors tout element de 1 + m est inversible). On observe que on
a un isomorphisme de groupes
mn−1 /mn −→ (1 + mn−1 )/(1 + mn )
donné par x −→ 1 + x. Donc (1 + m)/(1 + mn ) est un groupe abelien annulé par pn . Car p est un
isomorphisme de k ∗ on obtiens que
Hom(k ∗ , (1 + m)/(1 + mn )) = 0
pour tout n et donc, en particulier %τAA (x) ∈ 1 + mn pour tout n, c.à. d. %(x) = τA (x) pour tout
x, car A est separé pour le Théorème de Krull. Ça montre l’unicité de τA .
On considére maintenant le morphisme d’anneaux
Φn (A) : Wn (A) −→ A,
n
n−1
qui applique (a0 , . . . , an ) sur ap0 + pap1
+ · · · + pn an . On a que le noyau de Wn (q) : Wn (A) −→
Wn (k) est egal à J = {(a0 , . . . , an ) ∈ Wn (A)|ai ∈ m}. De plus Φn (A)(m) ⊆ mn+1 , donc on a,
pour tout n, un morphisme induit
ϕn : Wn (k) −→ A/mn+1 .
4
On pose wn = ϕn ◦ F−n (k) : Wn (k) −→ A/mn+1 et on a que
Wn+2 (k)
/ A/mn+1 .
Rn+2
/ A/mn
Wn+1 (k)
Donc par passage au limite inductive on obtient un homomorphisme
w : W (k) −→ A.
Et on pose τ (x) = w([x]), qui a les proprietés volues, car w est un morphisme d’anneaux.
Il viens du lemma precedent que w = wA . Et on a l’unicité pour l’unicite de τA .
Corollaire 1.6. Soit k un corps parfait de caracteristique p > 0. Alors W (k) est, à isomorphisme
près, l’unique anneau de valuation discréte complet avec corps residuel k et avec ideal maximal
engendré par p.
Démonstration. Soit A un anneau comme dans l’enoncé. Par la proposition precedent il existe
une unique morphisme d’anneaux wA : W (k) −→ A qui est l’identité mod p. Car A est complet
alors on peut écrir tout x ∈ A de façon unique comme
∞
X
a=
pi τA (ai )
i=0
où τA est l’unique systeme multiplicatif de representants de k dans A. Donc wA est un isomorphisme.
Remarque 1.7. Si on considére W (k) avec k un corps nonparfait alors W (k) est encore un anneau
local complete avec ideal maximal V (W (k)). Mais il n’est pas noétherian. De toute fao̧n il existe
encor le plut petit anneaux de valuation discréte de corps residuel k.
2. Foncteur des covecteurs de Witt
Dans cette section on va définir le foncteur CW des covecteurs de Witt. Pour tout anneau
commutatif R on va définir
CW (R) = {(. . . , an , . . . , a−1 , a0 ) t.q. l’ideal engéndré par les ar avec r ≥ n est nilpotent}.
La construction est functorial.
Proposition 2.1. Le foncteur CW est un functeur en groupe abelien où la somme est definie,
pour tout R, par
(. . . , a−n , . . . , a−1 , a0 ) + (. . . , b−n , . . . , b−1 , b0 ) = (. . . , s−n , . . . , s−1 , s0 )
avec
s−n =
lim
m−→+∞
Sm (a−m−n , . . . , an ; b−m−n , . . . , bn )
Démonstration. Il faut montrer que le limite existe. Aprés ce n’est pas difficil de prouver que il
est un loi de groupe. Voir [Fo, II. Prop. 1.1 et 1.4].
Définition 2.2. On appelle le foncteur de vecteurs de Witt unipotents le sousfoncteur de CW
avec tous les composantes nulles sauf un nombre fini.
On observe que
CW u = lim Wn
→
où les morphismes de passage sont donnés par le Verschiebung Vm : Wm −→ Wm+1 .
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2.1. Topologie sur CW . Soit R un anneau commutatif. On va définir sur CW (R) la suivante
topologie, dit topologie naturelle.
Pour tout ideal nilpotent n de R et tout r positif on définit le sous-groupe
CW (R, n, r) = {a = (. . . , a−n , . . . , a−1 , a0 ) tels que a−n ∈ n si n ≥ r}.
On munit ce ensemble de la topologie produit aprés l’identification naturelle avec Rr × nN . Et on
munit
CW (R) = lim CW (R, n, r)
→
de la topologie de la limite inductive, où les morphismes de passage CW (R, n, r) −→ CW (R, n0 , r0 )
sont les morphismes naturels (et continues), quand n ⊆ n0 et r ≤ r0 .
Il veut dire que un sous ensemble U de CW (R) est ouvert si et seulement si, pour tout ideal
nilpotent n de R et pour tout r l’ensemble U ∩ CW (R) est union des ouverts de CW (R, n, r).
Lemme 2.3. On a que CW (R) est un groupe topologique complet et separé pour cette topologie.
De plus CW u (R) est un sous-groupe dense de CW (R).
Démonstration. Le groupe CW (R, n, r) est un groupe topologique avec la topologie produit cidessus definie. On deduit que aussi CW (R) est un groupe topologique avec la topologie de la
limite inductive. CW (R) est bien sur separé car 0 est fermé. On vérifie facilement que il est
complet.
Le sous groupe CW u (R) est dense car tout ouvert de CW (R) contient des element avec un
nombre fini de composantes nonnulles.
2.2. Endomorphismes. Soit maintentant k un corps parfait de caractéristique positive p. On
considére le foncteur CWk par restriction à les k-algèbres. Par Lemma 1.3 on a, pour tout m, une
structure de W (k)-module sur Wm (R) definie par
a ·m x = F1−m (a)x.
On a que ce operation commute avec les morphismes de décalage Vm : Wm −→ Wm+1 . En fait si
a ∈ W (k) et x ∈ Wm (R) alors
Vm (a ·m x) = Vm (F1−m (a)x) = F−m (a)Vm (x) = a ·m+1 Vm (x).
Donc on obtient sur CW (R)u une structure de W (k)-module.
Si a = (a0 , . . . , an , . . . ) et x = (. . . , x−n , . . . , x0 ) alors, si a · x = (. . . , c−n , . . . , c0 ),
c−n = Pn (F−m−n (a0 ), . . . , F−m−n (an ); x−m−m , . . . , x−m−n ),
si x−i = 0 pour i > m + n.
On montre que ces polymoes sont stactionnaires sur CW et donc on peut mettre une structure
de W (k)-module donnée. En fait on montre que aussi les CW (R, n, r) sont A-modules et la
stactionairieté des polynômes implique que l’action est continue. Et donc il est continue aussi sur
CW (R).
Donc CW (R) est un A-module topologique.
Définition 2.4. On définit
F : CW (R) −→ CW (R)
par
F(a) = (. . . , F(a−n ), . . . , F(a−0 )).
Et
V : CW (R) −→ CW (R)
par
V (a) = (. . . , a−n , . . . , a−1 ).
On remarque que les deux morphismes sont bien sur continues.
6
Remarque 2.5. On remarque que, sur CW (R), F est la limite inductive des Frobenius sur Wm (R),
qui commutent avec les décalages.
Et également V , sur CW (R)u , est la limite des décalages sur Wm (R).
Je vais appeller σ le Frobenius de W (k).
Lemme 2.6. Pour tout a ∈ W (k) et x ∈ CW (R) on a les suivants égalités.
(i) F(ay) = σ(a) F(y)
(ii) aV (y) = V (σ(a)y)
(iii) F(V (a)) = V (F(a)) = p.
Démonstration. On remarque que le formulas sont vraies sur CW (R)u . Car tous le morphismes
en jeux sont continues, CW (R)u est dense dans CW (R) et CW (R) est separé alors les formulas
sont vrai sur CW (R).
3. Modules de Dieudonné
Définition 3.1. On appelle anneau de Dieudonné de k l’anneau D des polynômes noncommutifs
sur W (k) engéndré par deux élements F et V liés par les relations
FV = V F = p
σ(a)F = F a pour tout a ∈ W (k)
V σ(a) = aV pour tout a ∈ W (k)
engendré par W (k)
Remarque 3.2. Si k = Fp alors D = W (k)[F, V ]/(F V − p) est commutative, regular de dimension
2. C’est l’unique cas où D est commutative, car σ est trivial seulement sur Fp .
[k comme la restriction de CWk aux k-anneaux
On définit le k-foncteur en groupes formel CW
[
finis. On remarque que CWk est formellement lisse, c.à.d. envoie epimorphismes dans epimorphisme.
On remarque que
et ,
\
[k = CW
[c ⊕ CW
CW
k
k
où, si R = Ret ⊕ r avec r le radical de R, alors
[c (R) := {(a−i ) ∈ CW (R) et a−i ∈ r}
CW
k
et
u
et
et
\
[ et
CW
k (R) := CWk (R ) = CWk (R ).
[c (R) est ouvert et fermé.
Donc CWket (R) a la topologie discrete et il est fermé. Par contre CW
k
[c (R) est fait des élements annulé par une puissance de F. En
On verifie aussi facilement que CW
k
fait il est la composante connexe de l’unité. Et on montre que il a un systeme fondamental des
voisinages ouverts de 0 fait des W (k)[F ]-modules, c.à.d. il est un Dk -module W (k)[F ]-proartinien.
et
et
\
[
[c \
Car CW
k (R) est discret et CWk = CWk ⊕ CWk , alors est un Dk -module W (k)[F ]-proartinien.
Soit maintenant G un groupe formel, c.à.d. un foncteur formel en groupes isomorphe à Spf BG
pour un algébre profini BG . On définit
[k ).
M (G) = Homgr−f (G, CW
[k (BG ) où le deuxieme est l’ensemble de morphismes
On remarque que M (G) est un fermé de CW
comme k-schémas formels. Et il a une structure naturelle de Dk -module W (k)[F ]-proartinien,
c.à.d. les W (k)[F ]-modules ouverts forment un systeme fondamental des voisinages.
7
Si G est un p-groupe formel, c.à.d. un groupe formel de p-torsion, alors G = lim→ ker pn et
donc M (G) = lim← M ker pn et M (ker pn ) est annulé par pn . Donc
∩pn M (G) = 0.
On déduit que M (G) est W (k)[F]-profini.
On a donc un foncteur de la catégorie de p groupes formels dans la catégorie des Dk -modules
W (k)[F ]-profinis.
Inversamente on peut associer à un module M un groupe formel G(M ) en posant pour tout
k-anneau fini R
[
G(M )(R) = Homcont
Dk (M, CWk (R)).
[k (η) ◦ f . Il est pro-representable car il exacte à
Si on a η : R −→ S alors G(M )(η)(f ) = CW
gauche.
c
[k (R) est tué par une puissance de p alors pour tout f : M −→ CW
[k (R)
De plus, car CW
continue W (k)-linaire, on a que pn factorize pour la partie étale. Car M est W (k)-profini alors
pn f = 0. Donc G de p-torsione.
Références
[Fo] J.-M. Fontaine, Groupes p-divisibles sur un corps local, Asterisque 47-48, SMF, 1977