Vecteurs de Witt

Vecteurs de Witt
Dajano Tossici
Groupe de travail, 16-20 Avril 2012, Luminy, CIRM
1. Vecteurs de Witt
Soit pun nombre premier fixé. Pour tout n≥0, on définit les polynômes de Witt
Φn(X0, . . . , Xn) = Xpn
0+pXpn−1 1+· · · +Xpn
n∈Z[X0, . . . , Xn].
On définit le schéma en anneaux Wncomme le schéma An
Zavec la structure des anneaux donnée
par l’unique structure tel que le
Wn−→ Gn
a
donné, sur les algebras, par
Xi−→ ϕi(X0, . . . , Xn)
est un morphisme de schemas en anneaux. Ici Gn
aindique la puissance n-iéme du schéma en
anneaux Ga. Le fait nontrivial est la prouve de l’existence de la structure.
En pratique ils existent, pour tout n, polynômes Sn(X0, . . . , Xn;Y0, . . . , Yn)et Pn(X0, . . . , Xn;Y0, . . . , Yn)
tels que
Φn(S0(X0;Y0), . . . , Sn(X0, . . . , Xn;Y0, . . . , Yn)) = Φn(X0, . . . , Xn)+Φn(Y0, . . . , Yn)
et
Φn(P0(X0;Y0), . . . , Pn(X0, . . . , Xn;Y0, . . . , Yn)) = Φn(X0, . . . , Xn)Φn(Y0, . . . , Yn).
Exemple 1.1. Exemples des polynômes Snet Pnpour n≤2.
–S0=X0+Y0
P0=X0Y0;
–S1=X1+Y1+Xp
0+Yp 0−(X0+Y0)p
p
P1=Xp
0Y1+Yp 0Y1+pX1Y1;
–S2=X2+Y2+Xp2
0+Yp2 0−(X0+Y0)p2+p(Xp 1+Yp 1−(X1+Y1+Xp
0+Yp 0−(X0+Y0)p
p)p)
p2
P2=Xp2
0Y2+X2Yp2 0+Xp 1Yp 1+p(X2Yp 1+Y2Xp 1)+p2X2Y2+Xp2
0Yp 1+Xp 1Yp2 0−(Xp 0Y1+X1Yp 0+pX1Y1)p
p.
Remarque 1.2.On observe que Wnest isomorphe à Gn
asur une base où pest inversible.
On peut définir
W:= lim
n
←
Wn,
oú les morphismes Wn+1 −→ Wnsont donnés par
Rn+1 :Wn+1 −→ Wn
Ti7→ Tiif i≤n
Il est aussi un schéma en groupes (pas de type fini) sur Spec(Z). Comme schéma il est representé
par Spec(Z1[T1, . . . , Tn, . . . ]).
On obtient donc un foncteur (representable par définition)
hW:Schop −→ Anneux.
Il est un faisceau pour le gros site fppf.
1

2
1.1. Verschiebung et Frobenius. Il y a deux importants endomorphisms du schéma en an-
neaux Wn, pour.
Le premier est le Frobenius F.
Si F = (F1,...,Fn), il est determiné par la formula
Φr(F0,...,Fr)=Φr+1(T0, . . . , Tr+1).
On remarque que sur Fp(ou un schéma de caracteristique p) il est le Frobenius relatif usuelle.
En general il est different, par exemple
F0(T0, T1) = Tp
0+pT1
et
F1(T0, T1, T2) = Tp
1+pT2+Tp2
0−(Tp 0+pT1)p
p.
Le Frobenius est un endomorphisme de schémas en anneaux.
Le Verschiebung V= (V0, . . . , Vn)est défini par
Φr(V0, . . . , Vr) = pΦr−1(T0, . . . , Tr−1).
C’est immediat à verifier que V:Wn−→ Wnest donné par
T17→ 0
et
Ti7→ Ti−1
si i= 1, . . . , n. Le Verschiebung est un endomorphisme de schémas en groupes pour la somme (et
pas d’anneaux). On a seulement
V(x)V(y) = pV (xy).
On remarque que Vet Fcommutent avec les restrictions Rnet donc on obtient des endomor-
phisme sur Wen passant au limite projectif.
Lemme 1.3. On a les suivant relations.
(i) FV=p,
(ii) Sur Fpon a aussi VF = p
(iii) Pour tout algèbre Aet x, y ∈W(R),
V(F(x)y) = xV (y).
Démonstration. (i) On observe que, si FV= (U0, . . . , Un), pour tout ron a
Φr(U0, . . . , Un) = Φr+1(V0, . . . , Vr+1) = pΦr(T0, . . . , Tr),
qui implique que F V =p.
(ii) On a que si VF=(U1, . . . , Un)alors,
Φ0(U0) = 0
et, si r≥1,
Φr(U0, . . . , Ur) = pΦr−1(F0,...,Fr−1) = pΦr(U0, . . . , Ur).
Donc on a que Φ0(p−VF) = pet Φr(p−VF) = 0, si r > 0. Donc on a que VF = psur Fp.
iii) Il faut verifier que
Φr(xV (y)) = Φr(V(F(x)y)).
avce x, y generiques elements. Pour r= 0 l’égalité est trivial. On suppose r≥1. On a que
Φr(xV (y)) = Φr(x)Φr(V(y)) = pΦr(x)Φr−1(y) = pΦr−1(F(x))Φr−1(y) = Φr(V(F(x)y)).

3
1.2. Propriétes universelles. Dans ce section on considére un corps kparfait de caracteristique
p > 0et on considere l’anneau W(k). On commence avec un lemma
Lemme 1.4. Soit a= (a0, a1, . . . , an, . . . )∈W(k). Alors
a=
∞
X
i=0
pi[a1/p
i].
Ça implique que W(k)est un anneau de valuation discrete complet.
Démonstration. Il suffit de montrer, par induction sur r, que les r-émes composantes de deux
terms sont egaux. On utilise le fait que pi=ViFi. On a donc que Aest local complet. De plus
on a que W(k)est un domain integrale et on a la valuation discrete
v:W(k)−→ Z
definie par v(x) = ksi kest le plus grand entier tel que x=pkyet y∈W(k).
Théorème 1.5. Soit Aun anneau noethérien local complet de corps residuel kparfait de carac-
teristique p > 0avec ideal maximal met soit q:A−→ kla projection canonique.
a) Il y a une et une seule applcation τA:k−→ Atel que τAsoit multiplicative et une section
de q.
b) L’application
wA: (a0, . . . , an, . . . )7→ (τA(a0) + pτA(a0) + pτA(a1/p
1) + p2τA(a1/p2 2) + . . .
est l’unique morphisme d’anneau w:W(k)−→ Atel que q◦wsoit la projection sur la
premiere composante.
Démonstration. On prouve d’abord que τAest unique. Suppose il existe %et τavec les proprietés
en a). On observe d’abord q(τ(1)) = q(%(1)) = 1, donc τ(1) et %(1) sont inversible dans Acar A
est locale. Donc les deux morphismes envoient k∗dans A∗. Par hypothése on a que, pour tout
x∈k∗,%A(x)
τ(x)∈1 + m. Donc, pour tout n, on considére
%
τ:k∗−→ (1 + m)/(1 + mn),
qui est un morphisme de groupes (on prends la multiplications dans le deuxieme expace et on
observe que, car Aest complete, alors tout element de 1 + mest inversible). On observe que on
a un isomorphisme de groupes
mn−1/mn−→ (1 + mn−1)/(1 + mn)
donné par x−→ 1 + x. Donc (1 + m)/(1 + mn)est un groupe abelien annulé par pn. Car pest un
isomorphisme de k∗on obtiens que
Hom(k∗,(1 + m)/(1 + mn)) = 0
pour tout net donc, en particulier %A
τA(x)∈1 + mnpour tout n, c.à. d. %(x) = τA(x)pour tout
x, car Aest separé pour le Théorème de Krull. Ça montre l’unicité de τA.
On considére maintenant le morphisme d’anneaux
Φn(A) : Wn(A)−→ A,
qui applique (a0, . . . , an)sur apn
0+papn−1 1+· · · +pnan. On a que le noyau de Wn(q) : Wn(A)−→
Wn(k)est egal à J={(a0, . . . , an)∈Wn(A)|ai∈m}. De plus Φn(A)(m)⊆mn+1, donc on a,
pour tout n, un morphisme induit
ϕn:Wn(k)−→ A/mn+1.

4
On pose wn=ϕn◦F−n(k) : Wn(k)−→ A/mn+1 et on a que
Wn+2(k)//
Rn+2
A/mn+1
Wn+1(k)//A/mn
.
Donc par passage au limite inductive on obtient un homomorphisme
w:W(k)−→ A.
Et on pose τ(x) = w([x]), qui a les proprietés volues, car west un morphisme d’anneaux.
Il viens du lemma precedent que w=wA. Et on a l’unicité pour l’unicite de τA.
Corollaire 1.6. Soit kun corps parfait de caracteristique p > 0. Alors W(k)est, à isomorphisme
près, l’unique anneau de valuation discréte complet avec corps residuel ket avec ideal maximal
engendré par p.
Démonstration. Soit Aun anneau comme dans l’enoncé. Par la proposition precedent il existe
une unique morphisme d’anneaux wA:W(k)−→ Aqui est l’identité mod p. Car Aest complet
alors on peut écrir tout x∈Ade façon unique comme
a=
∞
X
i=0
piτA(ai)
où τAest l’unique systeme multiplicatif de representants de kdans A. Donc wAest un isomor-
phisme. 
Remarque 1.7.Si on considére W(k)avec kun corps nonparfait alors W(k)est encore un anneau
local complete avec ideal maximal V(W(k)). Mais il n’est pas noétherian. De toute fa¸on il existe
encor le plut petit anneaux de valuation discréte de corps residuel k.
2. Foncteur des covecteurs de Witt
Dans cette section on va définir le foncteur CW des covecteurs de Witt. Pour tout anneau
commutatif Ron va définir
CW (R) = {(...,an, . . . , a−1, a0)t.q. l’ideal engéndré par les aravec r≥nest nilpotent}.
La construction est functorial.
Proposition 2.1. Le foncteur CW est un functeur en groupe abelien où la somme est definie,
pour tout R, par
(...,a−n, . . . , a−1, a0)+(...,b−n, . . . , b−1, b0) = (...,s−n, . . . , s−1, s0)
avec
s−n= lim
m−→+∞Sm(a−m−n, . . . , an;b−m−n, . . . , bn)
Démonstration. Il faut montrer que le limite existe. Aprés ce n’est pas difficil de prouver que il
est un loi de groupe. Voir [Fo, II. Prop. 1.1 et 1.4]. 
Définition 2.2. On appelle le foncteur de vecteurs de Witt unipotents le sousfoncteur de CW
avec tous les composantes nulles sauf un nombre fini.
On observe que
CW u= lim
→Wn
où les morphismes de passage sont donnés par le Verschiebung Vm:Wm−→ Wm+1.

5
2.1. Topologie sur CW .Soit Run anneau commutatif. On va définir sur CW (R)la suivante
topologie, dit topologie naturelle.
Pour tout ideal nilpotent nde Ret tout rpositif on définit le sous-groupe
CW (R, n, r) = {a= (...,a−n, . . . , a−1, a0)tels que a−n∈nsi n≥r}.
On munit ce ensemble de la topologie produit aprés l’identification naturelle avec Rr×nN. Et on
munit
CW (R) = lim
→CW (R, n, r)
de la topologie de la limite inductive, où les morphismes de passage CW (R, n, r)−→ CW (R, n0, r0)
sont les morphismes naturels (et continues), quand n⊆n0et r≤r0.
Il veut dire que un sous ensemble Ude CW (R)est ouvert si et seulement si, pour tout ideal
nilpotent nde Ret pour tout rl’ensemble U∩CW (R)est union des ouverts de CW (R, n, r).
Lemme 2.3. On a que CW (R)est un groupe topologique complet et separé pour cette topologie.
De plus CW u(R)est un sous-groupe dense de CW (R).
Démonstration. Le groupe CW (R, n, r)est un groupe topologique avec la topologie produit ci-
dessus definie. On deduit que aussi CW (R)est un groupe topologique avec la topologie de la
limite inductive. CW (R)est bien sur separé car 0est fermé. On vérifie facilement que il est
complet.
Le sous groupe CW u(R)est dense car tout ouvert de CW (R)contient des element avec un
nombre fini de composantes nonnulles. 
2.2. Endomorphismes. Soit maintentant kun corps parfait de caractéristique positive p. On
considére le foncteur CWkpar restriction à les k-algèbres. Par Lemma 1.3 on a, pour tout m, une
structure de W(k)-module sur Wm(R)definie par
a·mx= F1−m(a)x.
On a que ce operation commute avec les morphismes de décalage Vm:Wm−→ Wm+1. En fait si
a∈W(k)et x∈Wm(R)alors
Vm(a·mx) = Vm(F1−m(a)x)=F−m(a)Vm(x) = a·m+1 Vm(x).
Donc on obtient sur CW (R)uune structure de W(k)-module.
Si a= (a0, . . . , an, . . . )et x= (...,x−n, . . . , x0)alors, si a·x= (...,c−n, . . . , c0),
c−n=Pn(F−m−n(a0),...,F−m−n(an); x−m−m, . . . , x−m−n),
si x−i= 0 pour i>m+n.
On montre que ces polymoes sont stactionnaires sur CW et donc on peut mettre une structure
de W(k)-module donnée. En fait on montre que aussi les CW (R, n, r)sont A-modules et la
stactionairieté des polynômes implique que l’action est continue. Et donc il est continue aussi sur
CW (R).
Donc CW (R)est un A-module topologique.
Définition 2.4. On définit
F : CW (R)−→ CW (R)
par
F(a)=(. . . , F(a−n),...,F(a−0)).
Et
V:CW (R)−→ CW (R)
par
V(a) = (...,a−n, . . . , a−1).
On remarque que les deux morphismes sont bien sur continues.