Université de Bordeaux DS Topologie Exercice 1 Soit (X, d) un

Universit´e de Bordeaux DS Topologie
Exercice 1 Soit (X, d) un espace m´etrique.
a) Donner la d´efinition d’une partie ouverte de X.
Oest ouvert si ∀x∈O:∃r > 0 : B(x, r)⊆O.
b) Montrer que pour tout x∈Xet r > 0,B(x, r)est un ouvert de X.
Soit y∈B(x, r), c’est `a dire d(x, y)< r. Soit a > 0 tel que d(x, y) + a < r. Pour
tout ztel que d(z, y)< a, on a d(x, z)< d(x, y) + d(y, z) = d(x, y) + a<r, ce qui
prouve B(y, a)⊂B(x, r).
Exercice 2 Soit X=Nmuni de la topologie induite de R. D´ecrire les parties
compactes de X.
Observons que {n}=N∩(n−1 /
2, n +1
/
2) `a l’effet que {n}est ouvert pour tout n. Ainsi,
A⊂Nquelconque est un ouvert car A=Sn∈A{n}. Autrement dit, la topologie induite
est P(N). Soit Kun compact de (X, P(N)). Or K=Sn∈K{n}est un recouvrement
d’ouverts, permettant un ss-recouvrement fini, Kest fini. Ainsi tout compact est fini.
Reciproquement, il est facile de voir des parties finies sont des compacts (peu importe
la topologie!).
Exercice 3 Soit Xun espace topologique. Montrer que Xest s´epar´e (Hausdorff) si
et seulement si la diagonale ∆ = {(x, x) : x∈X}est un ferm´e de X×X.
Soit Xs´epar´e et (x, y)6∈ ∆. Alors, par s´eparation, il existe des ouverts disjoints U, V
tels que x∈Uet y∈V. On observe qu’alors (U×V)∩∆ = ∅, car sinon U∩V6=∅.
Ainsi, pour tout point (x, y) de ∆{, il existe un ouvert (notemment U×V) inclus dans
∆{, ce qui prouve ∆{ouvert, donc ∆ ferm´e.
Soit ∆ ferm´e et x6=y. Donc (x, y)∈∆{qui est ouvert. Il existe un O∈X×X
ouvert contenant (x, y), et par la definition de la topologie produit Oconvient un U×V
contenant (x, y). Il est clair que x∈U,y∈Vet U∩V=∅.
Exercice 4 (lemme pr´eparatif) Soit Xun espace topologique (quasi-) compact et
Yun espace topologique s´epar´e (ou Hausdorff). Soit f:X→Yune bijection continue.
Montrer que f−1est continue.
Soit g=f−1. Il suffit de montrer que g−1(A) est ferm´e pour tout ferm´e de X. Mais
g−1(A) = f(A). Or, si Aest ferm´e dans un quasicompact X, il est quasicompact
lui-mˆeme (ajoutons a un recouvrement de Apar ouverts encore A{, puis prenons un
ss-recouvrement fini...). Donc, Aferm´e est quasicompact, et par continuit´e de f,f(A)
´egalement. Or Ys´epar´e, Aest alors ferm´e.
Exercice 5 (application) Soit X= (0,1) et Y=X∪ {∞} sa compactification
Alexandroff. Soit S1={(x, y)∈R2:x2+y2= 1}muni de la topologie induite de R2
et
f:
Y→S1
t7→ (cos(2πt),sin(2πt)) si t∈(0,1)
∞ 7→ (1,0)

a) Montrer que fest bijectif.
fest surjectif: le point (1,0) a pour pr´eimage ∞, les autres s’´ecritvent de la forme
(cos(x),sin(x)) avec x∈]0,2π[, donc t∈]0,1[. Cette ´ecriture ´etant unique, fest
´egalement injectif.
b) Montrer que fest continue en tout point t∈(0,1).
La continuit´e de sin et cos donnent imm´ediatement que limtn→tf(tn) = (cos(2πt, sin(2πt))
pour tout t∈]0,1[.
c) Pour montrer la continuit´e en ∞, soit Vun voisinage de (1,0).
i) Montrer qu’il existe ε > 0tel que Vcontient l’arc
(cos(2πt),sin(2πt)),−ε<t<ε.
Un voisinage de (1,0) contient un ouvert (relatif), donc un ensemble de la
forme O ∩ S1avec (1,0) ∈ O et Oouvert de R2.Ocontient une boule de
rayon r > 0 autour de (1,0), et donc O ∩ S1un “arc”, comme demand´e.
ii) Montrer que f−1(V)contient O:= Y\[, 1−].
Par la p´eriodicit´e de cos et sin,f−1(V) contient X\[, 1−]. De plus, par
(1,0) ∈V,∞ ∈ f−1(V), donc O ⊂ f−1(V).
iii) D´eduire que f−1(V)est un voisinage de ∞dans Y.Observons que O=
{∞} ∪ K{o`u K= [, 1−] est un compact de X. Ainsi, Oest ouvert dans
Y.
d) Montrer que fest continue. On a vu que fest continue en tout point!
Par l’exercice pr´ec´edent, f−1est continue, c’est `a dire Yet S1sont hom´eomorphes. On
identifie Yavec S1grˆace `a f.