Sur la théorie des x-idéaux

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
K ARL E GIL AUBERT
Sur la théorie des x-idéaux
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 14, no 1 (1960-1961), exp. no 6,
p. 1-9
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6-01
Séminaire DUBREIL-PISOT
(Algèbre et Théorie des Nombres)
14e année, 1960/63 y n° 6
19 décembre 1960
x-IDÉAUX
SUR LA THÉORIE DES
par Karl
Egil
AUBERT
l ~ Axiomes et définitions.
à
d’ idéal, le passage d’un sous-ensemble
propriétés simples qui peuvent servir de base
Pour de nombreuses formes de la notion
l’idéal qui l’engendre admet des
à une théorie générale des idéaux.
Soit
D
défini
sur
défini
une
demi-groupe commutatif noté multiplicativement. On dit que l’on
D un système de x-idéaux, ou simplement un x-système, si l’on a
application A -~ A x de l’ensemble des parties de D en
un
a
telle que
La condition
(3) équivaut
à la
conj onction
des deux axiomes suivants 1
suppos é commutatif il faut remplacer ~3") par B x
pour avoir un x-système à gauche. Nous nous bornerons dans la suite au cas commutatif. Nous appelons x-opération le passage de A à
x est appelé le
x-idéal engendré par A , et A est appelé un
si A = A . Un x-système est dit de caractère
fini, si le x-idéal engendré par A est égal à la réunion
des x-idéaux engendrés par les parties finies de A . Nous nommons (3") l’axiome
de continuité, puisqu’il exprime que les
applications 03C6a : b ~ ab sont continues par rapport à l’opération de fermeture -4 - A .
Si
D
n’est pass
L’ axiomatique ci-dessus
généralise
manière suivante. Soit
B c
E ,
nous
notons
D
B
le
La si tuation dans
un anneau
demi-groupe multiplicatif
l’idéal
(au
sens
(commutatif)
de l’anneau
usuel) engendré
par
de la
E . Si
B , On voit aussi-
t8t que l’application A ~
A d vérifie les axiomes (1) à (3) . L’axiome de continuité est ici essentiellement une conséquence de la distributivité dans E . Donnons
d’autres
exemples
de notions d’idéal
qui
vérifient les axiomes
(1 )
à
(3) :
1° Les idéaux dans les
A -
demi-groupes, l’opération A .~
étant celle de
Ax
SA uA;
2° Les idéaux dans les treillis distributifs ;
3° Les idéaux différentiels radicaux dans
D
groupe
5° Les sous-groupes
a o
différentiel
anneau
réticulée l’opération
de
D
b =jaj( n)b) ;
étudiés par
v-idéaux d’Artin-Van der Waerden et les autres
6° Les
le demi-
topologique ;
réticulés d’un groupe
convexes
A ~
A ;
étant toujours le demi-groupe multiplicatif de
4° Les idéaux fermés d’un
étant
un anneau
KRULL et LORENZEN.
En affaiblissant
on
(3")
peut aussi inclure
7° Les idéaux
ab
=
les
exemples
monadiques
8° Les sous-groupes
étant
en
de
Halmos ;
invariants , l’opération
remarqué CROISOT
des idéaux ne dépendent que de
à fait indispensable pour tant
Comme l’ont
2.
nous
de
demi-groupe
(non-associative)
ab
9° Les idéaux différentiels d’un
déaux,
suivants :
allons
Opérations sur
toujours
les
anneau
et LESIEUR
(3~~ ~
différentiel*
~4~ ~
certaines
parties
de la théorie
niais étant donné que l’ axiome
(3")
est tout
de théorèmes fondamentaux dans la théorie des i-
le supposer satisfait dans la suite.
x-idéaux. Conditions équivalentes à l’ axiome de continuité.
L’intersection d’une famille de
x-idéaux est
ensembles)
encore un
x-idéal’
tandis que
produit (au sens de la multiplication des complexes dans D ) ne sont pas en général des x-idéaux. Par xunion d’une famille
de sous-ensembles de D , nous entendons le x-idéal
engendré par la réunion des A(i) . Cette opération est notée u . De même, le
x-produit de A et B est défini comme le x-idéal engendré par le complexe produit A.B. Cette opération est appelée x-multiplication, et notée °x ou simplement
nous n’allons jamais considérer plusieurs
x-systèmes à la fois. Enfin, l’opération de résiduation est définie de la manière habituelle par
l’union
(au
sens
de la théorie des
{A(i)}
et le
considérant A
(3’)
fermeture satisfaisant à
mes
équivalentes
(A
:
seulement
Ax
opération
comme une
de
le théorème suivant donnant diverses for-
nous avons
à l’ axiome de continuité.
THÉORÈME 1.-Il
10°
-~
B) :
y
a
équivalence
C
=
A :
(B
o
entre les
C)
(si
D
propriétés
suivantes 3
possède
élément
un
neutre).
Nous notons que toutes les formes de l’axiome de continuité données dans le
théorème 1 font intervenir des sous-ensembles
B
de
D
qui
sont pas des
ne
x-idéaux. On peut démontrer que ceci est inévitable dans n’importe quelle formulation de l’axiome de continuité. De façon précise, on a le théorème suivant !
THEOREME
de continuité
2. -
de de x-idéaux,
opéra tions o et u . En d’autres termes, cet
propriété du treillis multiplicatif des x-idéaux.
pas
une
Donnons
une
esquisse
opération
x~~union
et de
Mais l’ensemble des
catif par
deux
de la
de fermeture
rapport à
demi-groupes,
démonstration de
qui vérifie
ce
(1) ~ (2)
(3").
x*-système
Pour
x*-idéaux
on
D
de
ces
opérations.
D
et
D2 ,
ne
forme pas
toujours
Pour démontrer le
munis de deux
tivement tels que les conditions suivantes sont
axiome
théorème. Appelons
et (3") ~ mais non nécessairement
les x*-idéaux, peut définir
x.~-multiplication de la m~me manière que pour
l’axiome de continuité
de
peut pas être formulé uniquement à
et des
n’ exprime
une
ne
un
remplies :
opérations
les
x-idéaux.
treillis
théorème,
x*-systèmes,
les
x;
multipli-
il f ~,ut exhiber
respec-
~
1°
(i = 1, 2)
2° Les
Posons
x~
ne
le vérifie pas.
multiplicatifs isomorphes.
forment deux treillis
demi-groupe multiplicatif
D =
système
le
=
x~
vérif ie l’axiome de continuité tandis que
On voit aisément que
des idéaux différentiels de
x*2-idéaux
de
vérifie pas l’axiome de continuité, mais que les
quand même un treillis multiplicatif L~ . Posons maintenant
multiplicatif
de
m , où
et
Lz
Z[x] ,
de l’anneau différentiel
un
ne
x~
forment
demi-groupe
d’un treillis multiplicatif
M
m-idéal
Z [x]
et
L
’
est défini par les deux conditions suivantes :
1°
=> a u b e
2°
a e
M ,p
m-idéaux de
Les
M
L2
principal à cause de la condition
treillis multiplicatif Li des m-idéaux
est
L2
continuité,
vérifient l’ axiome de
et
chaque
m-idéal dans
Le
de chaîne ascendante dans
dans
L2
isomorphe à
devient ainsi
et le théorème est démontré.
L2
3. Certains aspects de la théorie des
Il
de soi que
va
nous ne
ties des théories d’idéaux
bord
une
rie des
pouvons pas discuter
particulières
(3)
sur
E
idéal premier dans
est
intégralement
E
simplifier,
de
un
A
de
A
que
D
soit
clos dans
simplifiable,
élément neutre. Soit
G
dans
G
G
est dit fractionnaire
aA e D
de
les trois axiomes suivants :
e
G)
un
Alors
si
on
son
corps des
x-système
à savoir ;
sous-ensemble
quotients.
fractionnaire.
ac =
le groupe des
quotients
(ou borné),
s’il existe
dit que l’on a défini
fait
E.
est maximal.
il faut définir la notion de
(ou
Prenons d’a-
aux
La condition de chaîne ascendante pour les idéaux de
(2) Chaque
que
s’étendent
théorie classique qui est parfaitement adaptée à l’axiomatique de la
à savoir la théorie des idéaux dans un anneau de Dedekind E .
Cette théorie due à Eo NOETHER repose
(1)
ici quelles par-
systématiquement
un
bc
de
un
x-système
~
a
Supposons , pour
= b , et possè-
D . Un sous-ensemble
élément
a e
D ,
tel
fractionnaire dans
correspondre à chaque sous-ensemble fractionnaire
de
G
tel que :
D
NOETHER, il n’y a que (3) qui ne se
comme l’avait
prête pas immédiatement à une généralisation aux x-idéaux.
déjà remarqué FRÜFER, cette condition est équivalente à la relation B : Bd ç E
(1~ ~ (2)
Parmi les conditions
cet
pour chaque idéal fractionnaire
gralement
x-clos,
tionnaire
E
1°
dans
de
de ~G
Bd
de l’anneau E . On dit donc que
simplement x-clos,
ou
D
D . Nous dirons que
si
B :
D
B ç
pour tout
D
est inté-
x-idéal frac-
x-dedekindien si :
est
satisfait à la condition de chaîne ascendante pour les
D
x-idéaux contenus
D ~
2° Chaque
3°
(3)
D
Alors
premier
THÉORÈME
démontre
3. - Dans
re comme un
première de
plicité
que
produit
ceux
que
comme
un
dans le
est maximal dans
D .
demi-groupe
fini de
classique le théorème suivant s
cas
x-dedekindien
x-idé[tux premiers.
contient tous les idéaux
~’i
le existence e t
Remarquons
D
x-clos.
est
on
contenu dans
Si
premiers,
chaque
A
c
et
avec au
qui figurent dans la factorisation de
unicité de factorisation entraîne que
nous avons
que dans la théorie de
pu déduire
Prüfer-Lorenzen,
ce
théorème
peut s’écridécomposition
D
B .
D
sous
où l’on suppose
moins la même multi-
Inversement,
est
une
tel-
x-dedekindien.
des conditions moins fortes
en
outre qu.e l’axiome
est vérifie.
Nous allons appeler principal
système non-principal
{x}03B4 ~ Z[x].x .
un
x-système qui vérifie (5) .
Un
exemple
de
x~-
est fourni par les idéaux différentiels radicaux :
Disons qu’un
x-système
dans
D
possède
la
propriété de groupe,
ou
simplement la propriété G si les x-idéaux fractionnaires de D forment un groupe par rapport à la x-multiplication. Il est bien connu que , dans la théorie des
idéaux d’un anneau E , il y a dans le cas x
d équivalence entre les proprié=
tés :
1°
E
est
2°
x
possède
x-dedekindien ;
En montrant par
cipal,
propriété
la
équivalence
en
nérale de
un
anneaux
de Dedekind ont
un
et il n’ est donc pas très inattendu que cette théorie
multiplicatif
x
est
prin-
général.
Les démonstrations dans la théorie des
cilement à
,
d’abord que 1° et ?° entraînent chacun que
exemple
déduit leur
on
dans E .
G
caractère très
se
prête
fA.-
généralisation aux x-idéaux une fois qu’on a trouvé la notion géclôture intégrale. Il est bien plus surprenant que des théories qui ont
une
caractère
additif
assez
traduisent d’une manière presque immédiate
se
en
x-
idéaux. Un tel exemple est fourni par la théorie des idéaux relativement premiers
(avec les deux derniers théorèmes de décomposition de Eo NOETHER) exposée dans
~~~ ~ pA80~.83~ Mais il y a évidemment des théorèmes qu.i ne se laissent pas traduire
x-idéaux
en
[3]
Dans la théorie de KRULL
monstrations
se
si
duction directe dans le
priété
ce
anneaux sans
propriété simple
hors d’un
mée dans
des
traduisent facilement à
essentiellement la
langage
langage. Hais
des
il y ? des
additive mentionnée
l’exception
que la
et
E ~x
a
Mentionnons deux exemples.
condition de chaîne, toutes les dé-
hypothèses supplémentaires.
faire des
sans
ci-.dessus,
somme
d’une seule où l’on utilise
de deux éléments
a ~ b
ceci n’admet pas
trouve
se
une traEvidemment,
l’opération additive étant suppripropriétés. qui dépendent fortement de la pro-
et
qui peuvent
se
formuler
en
langage
de
x-idéaux.
Nous dirons qu’un
si
x-idéal A
un
x
idéaux, alors A c
(ce qui
x-système
est additif s’il vérifie la condition suivante ~
est contenu dans la réunion ensembliste
B
u
x
B
ou
exclut seulement le
C
x
de deux
x-
A c Cx . En neconsidérant que des x-systèmes additifs
s-système parmi
exemples que nous avons mention-
démontre aussi le passage "additif" dans la théorie de Krull. Comme deuxième exemple: nous pouvons mentionner la théorie des anneaux noethériens. Ici,
on
il y
également un seul point qui présente des difficultés. Il est en général faux
(x supposé de caractère fini et vérifiant la condition de chaîne pour les xirréductible est primaire. Ici il faut encore supposer que
idéaux) qu’un
cette propriété est vérifiée , ou bien que x satisfait à une autre condition qui
a
l’entraîne.
4. Les notions
Soient
Dl
d’homomorphisme
et
D
deux
et de congruence dans
demi-groupes
théorie des
commutatifs chacun muni d’un
x-idéaux.
x-système
et
noté respectivement
Nous dirons qu’une
un (x1 , x2)-homomorphisme
est
Dz
x2 .
application 03C6
de
dans
D1
si les deux conditions suivantes sont satis-
faites :
La deuxième condition
exprime
données pr
Si
est
p
une
Si
x
est
D2
en
posant
un
une
03C6
et
xz a
application multiplicative
x-système donné
B =
Bx
de
D
un
(B)) x
que
(
Dz
sur
Ceci induit
dans D1 ,
chaque fois
rapport
est "continue" par
aux
topologies
1),
vérifiant
x-système x
et
dans
-1(B) .
"homomorphismes canoniques" aboutissant
quotient
D~A x correspondant à ~.? notion
À C D ,
peut cependant, pour chaque
le cas des anneaux est, à certains titres, com-
de définition évidente des
Il
à
x~
que
définition de "quotient"
dans la théorie des
anneaux.
définir
une
parable
à la congruence
congruence
On démontre facilement
on
qui,
Nous définissons
(en
utilisant l’axiome
(3"))
que ceci définit
relation
une
parler du demi-groupe quotient
x qui,
lui aussi, d’après le procédé général décrit ci-dessus, est muni d’une manière naen notant
turelle d’un x-système x
par (p l’application canonique
de congruence de sorte que
nous
pouvons
théorie des idéaux d’un anneau, bien des
Comme dans
propriétés
de
Ax
peuvent
mais les dernières
s’ exprimer à l’aide des propriétés correspondantes de
x
prennent ici une forme plus triviale. Exemple: A x est un x-idéal maximal dans
D , si et seulement si D/A x est composé de deux éléments.
5, Deux applications.
Indiquons
cadre des
Dans la
pour terminer à titre
le
anneaux.
première application,
~ x ~ -isomorphisme
paces
d’ exemples deux applications qui dépassent
compacts à l’aide
il
s’agit d’utiliser
pour démontrer
un
de la structure
théorème
algébrique
la notion
générale
de
général qui caractérise
des
demi-groupes
des
es-
de fonctions
continues définies
numériques
sur
ces
espaces.
Supposons que D(X) est un demi-groupe de fonctions complexes continues sur
l’espace topologique X . Pour l’instante l’opération de demi-groupe n’est pas
spécifiée. Dans des cas particuliers, cette opération peut être la multiplication
ordinaire des fonctions ou bien l’opéréltion fog==)f)njg)e Nous supposons
D(X)
que
x-système
est muni d’un
x-neutre
dans
D(X)
(D(X))~
.
e
de
caractère fini tel qu’il existe
un
élément
vérifiant les deux conditions suivantes
lo
2°
e
e
On voit que dans le
un
élément
cas
nous
D (X)
sépare
4°
D(X)
sépare points
les
si
X
est
demi-groupe
D
et ensembles ternes dans
=
0}
compacta
(X)
conditions 1 à 4 est
est
e
est pour
il
n’y
a
X ;
chaque a
X
~
un
xi(1éal maximal de
x-idéaux maximaux~
pas d’autres
de fonctions
appelé
un
numériques continues sur
demi-groupe caractéristique de
X
qui vérifie les
X. Voici la raison
terminologie:
Soient
deux espaces compacts, et soit
X~ ~ X
un demi-groupe caractéristique
D (X) .
(x. ~
e , cet élément
X ;
dans
points
f (a)
5° L’ensemble
de cette
élément neutre
supposons que :
3°
Un
anneau avec
d-neutreo
En outre
D (X) et,
d’un
de
Alors
X.
par
rapport
homéomorphes~
Pour la démonstration et
l’application
,s.i
aux cas
au
x-système
(i
x.
=
1~ ~
défini dans
et
D
particuliers,
nous
renvoyons à
[i].
En
ce
qui
concerne
la deuxième
application,
théorème de Krull-Stone-Raudenbush dans le
peut ~tre appliqué
des structures
pour obtenir
un
cas
nous nous
des
théorème très
algébriques réticulées
dans des
bornons à remarquer que le
x-systèmes
général
de caractère fini :
concernant l’immersion
produits directs
de structures
6-09
totalement ordonnées du même
type.
algébrique réticulée que nous appelons C-algèbre. Pour une définition précise, nous renvoyons
le lecteur à [2]. Indiquons seulement la généralité de la notion de C-algèbre en
Le théorème
disant
en
question
qu’elle comprend
est démontré pour
comme cas
type
un
particulier
les
de structure
quatre structures réticulées
suivantes : les groupes réticulés (abéliens ou non) , les anneaux réticulés, les
espaces vectoriels réticulés et les algèbres réticulées sur un corps totalement
ordonné.
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t.
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Idealtheorie in
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