Autour du théorème de l`élément primitif

P UBLICATIONS MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUES DE R ENNES
B ERNARD A LFONSI
Autour du théorème de l’élément primitif
Publications des séminaires de mathématiques et informatique de Rennes, 1973, fascicule 4
« Séminaire d’algèbre et de logique », exp. no 5, p. 1-13
<http://www.numdam.org/item?id=PSMIR_1973___4_A5_0>
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AUTOUR DU THEOREME D E L'ELEMENT P R I M I T I F
par
Bernard ALFONSI
T o u s les anneaux sont commutatlfs et possèdent un élément u n i t é .
U n homomorphisme d'anneaux f : A — •
Si A — •
B est tel que f(1} = 1.
B est une A - a l g è b r e , on désigne par I
Q
(ou I lorsqu'il n'y
a pas d ' a m b i g u i t é ) , le n o y a u de l'homomorphisme canonique p : B ®
B — •
B
A
2
le B-module des d i f f é r e n t i e l l e s I / I .
défini par p(x ® y) = x y , et par
Q
//\
Q
°
On se p r o p o s e , dans ce qui s u i t , de caractériser le n o m b r e de g é n é rateurs d'une A-algèbre finie B en fonction du nombre de générateurs d u
B-module Q_. .
Je tiens à remercier Daniel F E R R A N D , sans l'aide et les conseils
de qui ce travail n'aurait pas vu le j o u r .
i l . LE RESULTAT P R I N C I P A L ,
Théorème 1• Soient A un anneau s e m i - l o c a l , B une A - a l g è b r e f i n i e . Supposons
que A soit à corps résiduels i n f i n i s , ou que pour tout idéal maximal m de A ,
il existe au plus deux idéaux maximaux de B au-dessus de
A l o r s , B est une A-algèbre engendrée par m o i n s de n éléments si et
seulement si Q
D
est un B-module engendré par m o i n s de n é l é m e n t s .
P r e u v e : L e théorème r é s u l t e r a de la proposition suivante :
- 2 -
P r o p o s i t i o n 1. Soient K un c o r p s , B une k-algèbre f i n i e . O n suppose que K est
i n f i n i , ou que B possède au plus deux idéaux m a x i m a u x . A l o r s , B e s t une ke s
algèbre m o n o g è n e si et seulement si ^Q/^
u n
*
B-module m o n o g è n e .
P r e u v e de la proposition :
Lemme 1. Soient A un a n n e a u , I un idéal de type fini de A , c o n t e n u dans t o u s
les idéaux maximaux de A , sauf au plus un nombre fini m ^ , . . . , m
la surjection c a n o n i q u e , et y ^ , . . . , y
1|
• a
i
; p : I —
un système g é n é r a t e u r d e 3Vj2* A l o r s , il
n
existe un système g é n é r a t e u r , x^,...,x
i
r
de I tel que p C x J = y^ pour tout
; fi «
En e f f e t , 1'homomorphisme A — > A/T X A /
x
x AA
est surjec-
tif ; il en est d o n c de même de l'application obtenue p a r tensorisation :
> I / o x 1/
w
I
Comme 1/ _ = 1/ ^
^j
j
T
.
m l
r
T
1
= A/
T
x ... x 3V
x
A
1
, 1/
est m o n o g è n e ; soit z. un g é n é r a t e u r .
T
j
j
II existe des éléments ^
€ I, tels q u e , p a r l'application s u r j e c -
tive considéré plus h a u t , l'image de x^ soit (y^, z^,...,z ), et pour i > 1,
l'image de x
soit (y^, 0 , . . . , 0 ) . P o u r voir que les x^ e n g e n d r e n t I, on peut
i
supposer A l o c a l , d'idéal maximal m : si m e s t distinct de l'un d e s mj ,
il contient I ,
(1/ j) = 0, et les y engendrant ( W ^ ) , il résulte de
j
m
N a k a y a m a que les x^ engendrent 1 ^ ; si. m . » iflj ,
( I /
i
)
I
2 m
=
j
0
=
( I /
m lV
k
si k
*
en résulte encore que Xj engendre 1^
j
:
.
2
j
e
n
S
e
n
d
r
a
n
t
( I /
)
m I m
j
J
'
1 1
C 0 F D
Lemme 2. Soient A un a n n e a u , I un idéal m o n o g è n e de A- P o u r que x £ l engendre
I, il faut et il suffit q u e , pour tout idéal maximal m de A tel q u e I ^ m l ,
on ait x f£ m l .
- 3 -
Ce n'est q u ' u n e traduction de N a k a y a m a : cela revient à dire que
x engendre I modulo m i , pour tout idéal maximal m de A .
Lemme 3, Soient k un c o r p s , E un k-espace vectoriel de dimension f i n i e ,
(F.).
— une famille de sous-espaces vectoriels stricts de E formant un
recouvrement de E .
A l o r s C a r d (I) > 1 + C a r d ( k ) .
C e l a résulte immédiatement de [T|
(Chap. I I . 5 7, ex. 5 ) .
Lemme 4. Soient k un c o r p s , B une k-algèbre f i n i e , I le noyau de 1'homomorphisme canonique p : B ®
B
> B . On suppose que k est i n f i n i , ou que B
k
possède au plus deux idéaux m a x i m a u x .
A J o r s , si I est monogèn.e, il existe x €, B tel que 1 g) x - x ® 1
engendre I.
Preuve
Soit V le k-espace vectoriel engendré par les 1 glaî - x ® 1, où tf£,B
u
C m l A V ) £ V, car s i n o n , vu les hypothèses sur k ou B , il e x i s meMsx(B$ B)
ml ^ I
t e r a i t , d'après le lemme 3, un idéal maximal m de
B ® Bv tel que V = m l Q, V et que m l A I, d'où V c m l , ce qui impliquerait que
k
I Cffil, puisque V engendre lidéal I ; d'où la c o n t r a d i c t i o n .
k
N o u s pouvons maintenant démontrer la proposition 1 : d'après les
lemmes 1 et 4, il existe x € B tel que 1 g) x - x <g) 1 engendre lidéal I.
Soit C = KQzTj la sous k-algèbre de B engendrée par x, et considérons le
diagramme cocartésien :
C ®
C
> B ®
k
B
k
P
q
v
C
-(
> B &
B
C
- 4 -
1 ® x - x ® 1
B ®
B — >
engendre J = Ker p , donc aussi Ker q , d'où Ker q = I, et donc
B.
C
>
O r , on a une suite B
B ®
>
B
> B, où les c o m p o s é s sont
B ®
B est d o n c un i s o m o r p h i s m e .
c
>
l'identité ; chacune des flèches B
>
c
C e c i é t a n t , la suite exacte de O m o d u l e s :
•
> C
> B
> B/
> 0
c
d o n n e , p a r t e n s o r i s a t i o n avec B eu-dessus de C , la suite exacte :
8
> B (g) B
0
d'où
B/
> B/ &
c
C
B
> 0
C
B • 0.
C
C
> B étant f i n i , on a : fi » S u p p ( B / ® B ) « S u p p C B / ) 0 S u p p ( B ) ;
C
comme S u p p ( B / ) C S u p p ( B ) , on a S u p p ( B / 3 = ji, d o n c B / = 0, i.e. B = C .
r
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
R e m a r q u e . Si k est f i n i , on ne peut supprimer l'hypothèse sur B , comme le
m o n t r e l'exemple suivant : K = ] I ^ ; B = I ^ x 3 ^
n'est pas m o n o g è n e .
l
P r o p o s i t i o n 2. Soient A un anneau s e m i - l o c a l , 3 une A - a l g è b r e f i n i e . S u p p o sons que A soit à corps résiduels i n f i n i s , ou que pour tout idéal maximal m
de A , il existe a u plus deux idéaux maximaux de B a u - d e s s u s de m .
A l o r s , pour que B soit une A - a l g è b r e m o n o g è n e , il faut et il
suffit que Q_
B /
soit un B-module m o n o g è n e .
A
P r e u v e : P o u r tout idéal maximal m de A , QB
monogène ; B/
I
B/
m 6 Max (A)
est donc une
m
TT
B/
mftMax(A)
est un B / _ - m o d u l e
A
w
A
m
/mB/ /m
est donc une A / -algèbre m o n o g è n e d'après la p r o p o s i t i o n 1.
I
Or
/
— >
B *>
A
'
«
A / -algèbre m o n o g è n e
m € Max(A)
TT
A/
m6Max(A)
M
-^-> B ®
A/
R a d ( A )
[4].
, et
N a k a y a m a m o n t r e une fois de plus que B est m o n o g è n e ,
C.Q.F.D.
- 5 -
N o u s sommes maintenant en mesure de démontrer le théorème : on
peut toujours se ramener au cas où A est un corps k.
D'autre p a r t , pour m e S p e c ( B ) , o
B/K
(R) B_
M
> Q
$ comme EL
M
E^/k
est une k-algèbre f i n i e , puisque f a c t e u r direct de B , si l'on suppose le
théorème démontré p o u r une k-algèbre finie et locale, on sait que
B — >
w
"1e S p e cT( B ) B
sera engendré par m o i n s de n éléments si k est infini C[ï])- Si k est f i n i ,
et si B possède deux idéaux m a x i m a u x , soient (a^,...,a ) (resp. tb^,...,b ))
n
n
un système générateur de la k-algèbre B^ (resp. B ^ ) ^ où B^ et 3^ désignent
les deux composants locaux de B .
B
> B^ x B^ est une k [ a ^ x k f a ^ ] -
algèbre engendrée par m o i n s de n-1 é l é m e n t s , et la proposition 1 montre que
KJja^ x k f ^ j est m o n o g è n e , puisqu'elle n'a que deux idéaux m a x i m a u x . Il
résulte alors de jVI
aue B est engendrée sur k par m o i n s de n é l é m e n t s . On
peut d o n c supposer que B est locale.
D a n s ce c a s , comme d(B) est un système générateur de
> on
peut en extraire un système minimal de générateurs (Nakayama..,3 ;
Il existe donc x^,...,x
B/k
dans B tels que d x ^ , . , d x
engendrent
M
. P o s o n s A = kfx. ,..-,x „"1 . La suite exacte :
1
n-11
%
Vk
m o n t r e que Û
8
—
>
"B/K ~
>
° B / A —
>
°
- est engendré par un é l é m e n t , l'image de d x d a n s S . , d o n c
b/A
n
D/n
que B est une A-algèbre monogène : B = ApbJ, d'où B « kjjK^, ... > „<\ 'b] •
n / A
n
x
n
C.Q.F.D.
- 6 -
S 2. CAS DES C O R P S R E S I D U E L S F I N I S ,
On peut améliorer les résultats p r é c é d e n t s , en remplaçant 1'hypothèse faite sur la A-algèbre B par des hypothèses sur les cardinaux des corps
résiduels de A :
P r o p o s i t i o n 3. Soient A un anneau s e m i - l o c a l ,
A - a l g è b r e f i n i e , n . - rg,
î
K
(B$
k.K
i
A
±
ses corps r é s i d u e l s , B une
S i , pour tout i, on a :
card (k.) > n.(n.-1 ),
i
i l
les conditions suivantes sont é q u i v a l e n t e s :
( i ) & /
B
(ii)
B
A
est un B-module m o n o g è n e ;
est une A-algèbre m o n o g è n e .
P r e u v e : Comme dans le cas de la proposition 2, il suffit de f a i r e la d é m o n s tration lorsque A est un corps K. B se décompose alors en composants locaux
B j,...,Bp. D'après la proposition 1, chaque Bj est m o n o g è n e :
y
B, ~^->
j
k M / flcrj .J
U
J
On suppose que r^ <_
;
soit r. = deg (F.) (j=1,...,p) ;
j
£ ... £ r . D'après [4]
c a r d K > (r. + ... + r
n = rg
B =
. )r
p i
p
j
(prop. 3 ) , si
, B est m o n o g è n e . O r
^ r. ;
j-1
K
3
d'autre p a r t , 1 <_ r^ £ n , d o n c :
(r +...+ r
) r = (n-r ) r < ( n ^ ) n ,
1
p-1
p
p
p A
d'où le résultat en vertu de l'hypothèse faite sur card ( K ) .
C o r o l l a i r e . S o u s les mêmes h y p o t h è s e s , les conditions suivantes sont é q u i valentes :
( i ) fi , est un 3-module engendré par m o i n s de n é l é m e n t s ;
B/
(ii)
B
A
est une A-algèbre engendrée par m o i n s d e n é l é m e n t s .
- 7 -
On peut supposer que A est un corps k. D'après la théorème 1, chaque c o m p o sant local Bj de B est engendré par moins de n é l é m e n t s , soit :
x ^ J - i
B. = k [ x ^ .
désignons par C . la sous k-algèbre k [x, .
J
' *3
x
engendré par m o i n s de n-1 éléments (récurrence), et îï
algèbre m o n o g è n e Cprop. 3 ) , donc M B.
j
m o i n s de n é l é m e n t s .
C.Q.F.D.
> B
P
Iî C . est
j =1 J
, .] .
^-1,j
B.
c
est une H *
~
est bien engendrée sur k par
3
S 3. G L O B A L I S A T I O N .
Le théorème 1 admet la forme globale suivante :
Théorème 2. Soit A
> B une A-algèbre f i n i e . Les conditions suivantes sont
équivalentes :
i)
1
Il existe une A-algèbre A
telle que Spec (A")
étale et surjectif et telle que B' = A' ®
> Spec (A) soit
B soit une A*-algèbre
A
engendrée par n é l é m e n t s .
ii)
Il existe une B-algèbre C telle que S p e c CC)
étale et surjectif et telle que
> Spec (B) soit
soit un C-module engendré
par n é l é m e n t s .
iii}
P o u r tout idéal premier q de B, Q
Q
^
est un B^-module engendré
A
par n éléments.
Preuve :
i)
ii) Il suffit de prendre pour C la B-algèbre étale B' et
d'utiliser l'exactitude de la suite
0
=
fi
A'/A® .
A
ii)
=sasss=
B
' ~ *
» iii) Comme B
°B/A
%
C
— *
"C/A
°B'/A — *
<W
—
>
°
> C est é t a l e , on a un isomorphisme
-
8
-
Soit K un idéal premier de C tel que q = B 0 K, On a un i s o m o r -
phisme :
donc
et on conclut par N a k a y a m a .
iii) = = > i) On peut supposer que A est local strictement h e n s é l i e n , puis par N a k a y a m a , que A est un corps k séparablement c l o s , d o n c
infini j B est alors isomorphe au produit de ses composants locaux
et
l'hypothèse iii) dit que pour tout i, fl , est engendré par n é l é m e n t s .
es
D o n c , ^g/k " t un B-module engendré par n éléments et le théorème 1 permet
de conclure puisque k est infini»
$ 4. C O N T R E - E X E M P L E S ,
On ne peut e s p é r e r améliorer les résultats d u $ 1 dans le cas
général :
C o n t r e - E x e m p l e 1 : II existe
libre
B^ telle
que ^ /
B
A
un anneau
soit monogènej
principal
mais
A^ une b-algèbre
que
B ne soit pas
finie
et
monogène.
Soient k un c o r p s infini de caractéristique o, non algébriquement clos ;
A * k[xj
i p , q deux polynômes irréductibles tels que deg(p) - deg(q)
3
2
3
2
(mod3) ; K
s
K(X) ; L le corps cubique KflQ, où u
= p q (T
o
- p q est i r r é -
ductible par le critère d'Eisentein) j v = p q / u ; B = A + A u + Av ;
A
1
l'anneau des entiers de L ; montrons que A
1
- B :
3
2
i) On vérifie aisément que le polynôme minimal de v sur K est T - pq , que
2
v
2
= q u , et u
= pv ; e n f i n , que B est un sous-anneau de A ' , et un A - m o d u l e
libre de rang 3, dont (l,u,v) est une base (sinon le polynôme m i n i m a l de u
serait de degré £ . 2 ) .
- 9 -
ii) A' = B + qA' : il faut m o n t r e r que 1 'homomorphisme canonique :
A/ i
p
B/
qQ
>
e s t
qA
surjectif j o r B /
et A 7
q Q
q
A
,
sont des A /
-espaces
q f t
vectoriels de dimension 3 ; il suffit donc de m o n t r e r que cet homomorphisme
est i n j e c t i f , i.e. que qA' 0 B = q B . Soient q un idéal premier de A' c o n t e 3
nant qA', et a + bu + cv é q A ' A B ; comme u
3
et v
1
sont dans q A , donc dans q,u
et v appartiennent à q H B , et a £ [q n B) 0 A » qA ; il faut d o n c m o n t r e r
que bu + cv e q B .
O r , bu * cv C q A ' O B
ss=sss
_
2
^> utbu + cv) * b u • c p q e q A ' A B
S3as=S!
>
2
s
bu
qx
avec x 6 A'. Prenant la norme des deux m e m b r e s , on a :
3
2
b (p q)
b
3
p
2
= q
3
4
« q N(x)
N(x)
3
Comme p et q sont étrangers d a n s A , on en tire b e q A d'où
b^qA.
On montrerait de même que c € qA.
D e façon a n a l o g u e , on a A' = B • p A ' , d'où A' * B + pqA'.
iii) Soit x « a + bu + cv (a, b , c € K) un entier de L . Tr(X) * 3a €.A, d'où
a € A : Tr(vx) = 3 bpq € A , d'où b p q € A ; de m ê m e cpq € A , d'où pqx £ B,
et
d o n c pqA' c B , ce qui m o n t r e que A ' « B .
iv) B n'est pas m o n o g è n e : pour le v o i r , calculons les d i s c r i m i n a n t s :
2 2
D(1,u,v) = (p q ) î si x
a + b u + c v ë B , on a :
2,
2'2>. 3
3 ,2
D M ,x,x ) = p q (b q - c p)
a
3
P o u r que x soit un générateur, il faut ((V),
3
c h a p . V) que b q - c p
soit i n v e r s i b l e , ce qui implique que 3 deg(b) + deg(q) - 3 deg(c) + deg(p)
donc que 3 divise deg(p) - d e g ( q ) , ce qui est impossible vu les h y p o t h è s e s .
^o/a
B/ A
e s t
u n
B-module monogène d'après le résultat suivant :
- 10 -
P r o p o s i t i o n 4. Soient A un anneau de Dedekind tel q u e , pour tout idéal m a x i mal m d e A , A /
m
soit un corps p a r f a i t , et B la clôture intégrale de A dans
une extension finie séparable de son corps d e s f r a c t i o n s . A l o r s &
est
P / A
G/ A
monogène.
P r e u v e : Soient K le corps des fractions de A , L celui de B . Comme K
est s é p a r a b l e , ^,«(25 K = 0
L3/A f\
considéré comme A - m o d u l e , Œ
D/A
Q / A
> L
a d o n c un
support fini { m ^ , . . „ ,m } d'idéaux maximaux de A . P o s o n s E - ^b//\* L'applican
tion : E
> .n. E
étant b i i e c t i v e , il suffit de voir que chaque E _ est
i=1 i
i
un B -module m o n o g è n e , et on peut d o n c supposer que A est de v a l u a t i o n
i
discrète.
m
m
m
m
Soient alors A' un hensélisé de A , 3' = B ®
A ' ; E étant un A A
m o d u l e de t o r s i o n , une puissance m
comme,A/ d
m
même de E
de l'idéal maximal de A annule E , et
> A V ^ , est un isortiorphisme ([eQ c h a p . V I I I ) , il en est d e
> Ex
A' = E '
>
A
est un B'-module m o n o g è n e .
ft« .
•VA '
Il suffit d o n c d e m o n t r e r a u e E '
l/AP
O r B étant n o r m a l , et A' une A-algèbre locale i n d - é t a l e , B' est
normal ([Vf c h a p . VIII) ; de p l u s , d i m B
chaque composant local
?
= d i m A* = 1
on en déduit q u e
de B ' est un anneau de valuation discrète ([2], 1,
p r o p . 11). E n o u t r e , il suffit de m o n t r e r que chaque f a c t e u r E ^ d u m o d u l e
des d i f f é r e n t i e l l e s est un B^-mcdule m o n o g è n e . F i n a l e m e n t , on peut donc
supposer que A et B sont des anneaux de valuation discrète ; soit n l'idéal
maximal de B . On a la suite exacte 1
2
n/n —>a
B
/
A
<g) K'-—>
B
o
A
où k et k' sont les corps résiduels d e
puisque k
k
V
k
—>'o
R
et
respectivement ; ^ » / k ~
0
> k' est séparable par hypothèse 1 comme B est de valuation
d i s c r è t e , n est un B-module m o n o g è n e , d'où le r é s u l t a t .
C.Q.F.D.
- 11 -
On peut se demander si le résultat du 5 1 peut se généraliser à un
anneau non nécessairement s e m i - l o c a l , sous la forme suivante :
"si Ig est m o n o g è n e , alors B est une A-algèbre m o n o g è n e " .
C e c i impliquerait en particulier qu'une algèbre finie et nette
est monogène ; de m ê m e , si A
> B est fini r a d i c i e l , et si ^ g / ^ est m o n o -
g è n e , B serait m o n o g e n e , puisque I
Q
étant n i l p o t e n t , il serait m o n o g è n e .
V o i c i donc :
Contre-Exemple 2 : II existe
libre
et étale
qui n'est
un anneau
pas
principal
A et une h-algèbre
finie^
monogène.
Soient K un corps de caractéristique 3 ; F e K[X,Y] le polynôme
X
2
- Y (Y
dans B .
2
- 1) ; A = k[x]
; B = k[x,Yj/
( F J
; x et y les images de X et Y
B est l'anneau d'une cubique passant par l'origine 0 ,* on pose I
I - div ( 0 ) . On sait {[s], c h a p . VI) que I est un idéal de B qui est l o c a 2
lement p r i n c i p a l , m a i s - n o n p r i n c i p a l , et que I
est principal ; il existe
donc (loc. c i t . p r o p . 2) sur le B-module C = B ® I
une structure de B -
algèbre finie étale ; A étant p r i n c i p a l , C est en outre un A-module libre.
D'autre p a r t , fig^ est le B-module engendré par dY, avec la r e l a tion
dY = dY = 0 (car K = 3 ) .
B est d o n c une A-algèbre finie é t a l e , et par
t r a n s i t i v i t é , il en est de même de C.
C n'est pas une A-algèbre monogène car ce n'est pas une B-algèbre
m o n o g è n e : en e f f e t , C est un B-module localement libre de rang 2 ; si C
*
était m o n o g è n e , ce serait un B-module libre, et on aurait C
2
A
C
*
2
> A
n
Comme
A
2
(B )
*
> B,
p
q
> ® ( A E ) ® ( A F ) , o n a
(E 9 F)
aussi :
p • q « n
A" C - ^ - > A B
^
A I - ^ - > I, et I serait m o n o g è n e .
B
2
> B , donc
- 12 -
Remarques.
(i)
Nous n'avons pas réussi à trouver de contre-exemple en caractéristique
0, ce qui conserve l'intérêt du premier contre-exemple $
(ii) Si l'on s u p p o s e , dans le second c o n t r e - e x e m p l e , que car k=o, on obtient
toujours que C est une 3-algèbre étale non m o n o g è n e
en o u t r e , dans ce
2
2
c a s , B est un anneau de D e d e k i n d , car la courbe d'équation x - y(y - 1)
n'a pas de point singulier. D'où un contre-exemple a v e c un anneau de
D e d e k i n d , en caractéristique résiduelle 0.
5 5. U N E A P P L I C A T I O N .
L e m m e . Soient A un anneau i n t è g r e , B une A-algèbre p l a t e . Si f1 est A - m o d u l e
sans t o r s i o n , M $
B
est un B-module sans t o r s i o n .
A
P a r passage à la limite inductive, on peut supposer que M est de
type f i n i . Fi est alors un sous-module d'un A-module libre de type fini L :
l'hypothèse de platitude entraîne que M ®
B est un sous-module du B-module
A
libre L (50
W
B , d'où le r é s u l t a t .
A
P r o p o s i t i o n 5 . Soient un anneau qui est un produit fini d'anneaux intègres
et intégralement c l o s , 3 une A-algèbre finie sans t o r s i o n .
A l o r s , si Πg /
A
est un B-module ponctuellement m o n o g è n e , B est un
A-module p r o j e c t i f .
P r e u v e : Il est clair qu'on peut supposer A intègre et intégralement c l o s ,
toutes les propriétés se vérifiant sur chaque c o m p o s a n t e . D a n s ce c a s , il
suffit ([3]) de m o n t r e r que A + B est plat ; pour c e l a , on p e u t , d'après le
lemme, supposer A local et h e n s é l i e n . P o u r tout idéal m a x i m a l m de B, B
alors une A-algèbre f i n i e m o n o g è n e , et on peut supposer B locale.
m
est
- 13 -
Soient x un g é né ra te ur de B, K le corps des fractions de A, F le
polynôme m i n i m a l de x sur K ; comme A est intégralement clos, F 6 A [x] ;
posons C * A D 0 / ( p ) *
1
s
^
s r
IC
B ) . On a un diagramme commutatif d e
suites e x a c t e s :
0
>
I
> C
•1 \
0 - — > I8 K
A
>C& K—>
> B
> 0
1
B9 K
ft
> 0
Comme I 8 K * 0, I » 0 et B est libre sur A .
A
M
C.Q.F.D.
BIBLIOGRAPHIE
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: A l g è b r e . C h a p . II (Hermann)
[2]
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[3] C.U.
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: A R e m a r k o n flat and projective m o d u l e s .
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sur un anneau semi-local h e n s é l i e n .
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[5] M. RAYNAUO
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Lecture Notes in M a t h é m a t i c s n° 169
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: Commutative A l g e b r a . T.1 (Van Nostrand)