Programme : récapitulatif Groupes 1. définition, élément neutre, inverse; 2. notations pour les lois : · : a · b ou ab + : a+b ∗ 3. actions des groupes :notions d’orbite, stabilisateur,équation aux classes; Groupes cycliques Z/nZ éléments : classes 0̄ de 0 1̄ de 1 ... n − 1 de n − 1. Par abus de notation, on note souvent a pour la classe de a (et pas ā) Si b ∈ Z, on a b̄ = la classe r¯ du reste r de b de la division par n. Régles de calcul : ā + b̄ = a + b. Exemple :n = 7, 3 + 1 = 4, 6 + 4 = 10 = 3. Anneaux 1. définition, deux lois +, ·; 2. notations pour les lois : + groupe commutatif, 0 élément neutre · la loi multiplicative, 1 élément neutre 3. anneau intègre : définition; 4. idéaux; 5. idéal premier, deux définitions équivalentes : I I un idéal I ⊂ A tel que A/I est intègre ; un idéal I ⊂ A tel que si fg ∈ I , alors f ∈ I ou g ∈ I . 6. idéal maximal : un idéal I ⊂ A tel que A/I est un corps. 7. idéaux dans k[x]: I = (P) est premier ⇔ I est maximal ⇔ est irréductible. Exemples : P = x, P = x + 1, k = R et P = x 2 + 1, P un polynôme de degré 2 sans racines dans k. Anneaux (exemples) 1. Anneaux principaux, exemples : Z, k[x], algorithme d’Euclide, algorithme étendu. 2. Anneaux quotients : 2.1 Z/nZ, régles de calcul : ā + b̄ = a + b, ā · b̄ = a · b. 2.2 A = k[x]/(P), P = an x n + an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0 si α est la classe x̄ de x on a an αn + an−1 αn−1 + . . . + a1 α + a0 = 0 dans A éléments de A : constantes de k, α, α2 , . . . , αn−1 , tout élément s’écrit comme b0 + b1 α + . . . + bn−1 αn−1 exemple A = R[x]/(x 2 + 1), α2 + 1 = 0 et α(α + 2) = α2 + 3α = −1 + 3α. 3. la fonction indicatrice d’Euler. 4. polynômes irréductibles dans Z[X ], critère d’Eisenstein. Corps 1. extensions de corps, corps de rupture, corps de décomposition: définitions. 2. corps finis : 2.1 2.2 2.3 2.4 Fp , Fq , Fq 6= Z/qZ si q n’est pas premier; F∗q est cyclique; construction de F∗q en utilisant les polynômes irréductibles, génératereurs du groupe cyclique F∗q .