Programme : récapitulatif

Programme : récapitulatif

Groupes
1. définition, élément neutre, inverse;
2. notations pour les lois :
·:a·bou ab
+:a+b
∗
3. actions des groupes :notions d’orbite, stabilisateur,équation
aux classes;

Groupes cycliques
Z/nZ
éléments : classes
¯
0 de 0
¯
1 de 1
...
n−1 de n−1.
Par abus de notation, on note souvent apour la classe de a(et pas
¯a)
Si b∈Z, on a ¯ b=la classe ¯rdu reste rde bde la division par n.
Régles de calcul : ¯a+¯ b=a+b.
Exemple :n=7, 3 +1=4, 6 +4=10 =3.

Anneaux
1. définition, deux lois +,·;
2. notations pour les lois :
+groupe commutatif, 0 élément neutre
·la loi multiplicative, 1 élément neutre
3. anneau intègre : définition;
4. idéaux;
5. idéal premier, deux définitions équivalentes :
Iun idéal I⊂Atel que A/Iest intègre ;
Iun idéal I⊂Atel que si fg ∈I, alors f∈Iou g∈I.
6. idéal maximal : un idéal I⊂Atel que A/Iest un corps.
7. idéaux dans k[x]:I= (P)est premier ⇔Iest maximal ⇔est
irréductible. Exemples : P=x,P=x+1, k=Ret
P=x2+1, Pun polynôme de degré 2 sans racines dans k.

Anneaux (exemples)
1. Anneaux principaux, exemples : Z,k[x],algorithme d’Euclide,
algorithme étendu.
2. Anneaux quotients :
2.1 Z/nZ, régles de calcul : ¯a+¯ b=a+b,¯a·¯ b=a·b.
2.2 A=k[x]/(P),P=anxn+an−1xn−1+. . . +a1x+a0
si αest la classe ¯xde xon a
anαn+an−1αn−1+. . . +a1α+a0=0 dans A
éléments de A: constantes de k,α, α2, . . . , αn−1,
tout élément s’écrit comme b0+b1α+. . . +bn−1αn−1
exemple A=R[x]/(x2+1),α2+1=0 et
α(α+2) = α2+3α=−1+3α.
3. la fonction indicatrice d’Euler.
4. polynômes irréductibles dans Z[X], critère d’Eisenstein.