Courbes algébriques 1 Anneaux de Dedekind 2 Différentielles

2016-2017 M512
Université Lille 1 Arithmétique des courbes elliptiques
Courbes algébriques
1 Anneaux de Dedekind
Exercice 1.
Soient Aun anneau intègre, K= frac(A),L/K une extension algébrique, et
Bla fermeture intégrale de Adans L. Montrer que L= frac(B).
Exercice 2.
Montrer qu’un anneau factoriel est intégralement clos.
Exercice 3.
Soit Aun anneau de Dedekind.
1. Pour chaque i= 1,· · · N, soient pides idéaux premiers distincts, xi
des éléments de K= frac(A), et nides entiers relatifs. Montrer qu’il
existe x∈Ktel que vpi(x−xi)>nipour tout iet vq(x)>0pour q
distinct de p1,· · · ,pN. On pourra d’abord
(a) montrer que l’on peut se ramener à x2=· · · =xN= 0, et ni>0
pour i= 1,· · · N,
(b) supposer les xidans Aet chercher une solution xdans Aen consi-
dérant les valuations de l’idéal pn1
1+pn2 2pn3 3· · · pnN
N.
2. On suppose que Aa un nombre fini d’idéaux premiers p1,· · · ,pN
distincts. Montrer qu’il est principal (à l’aide du théorème des restes
chinois, montrer qu’il existe xj∈Atel que vpi(xj) = δi,j).
2 Différentielles
Exercice 4.
Soit Aun anneau commutatif. On pose R=A[X1,· · · , Xn]. Montrer que
Ω1
R/A est le R-module libre engendré par dX1,· · · ,dXn.
Exercice 5. Soit Run anneau commutatif, M1→M2→M3une suite de
R-modules.
1. Montrer que si pour tout R-module N, la suite exacte induite de
groupes abéliens :
HomR(M3, N)→HomR(M2, N )→HomR(M1, N)
est exacte, alors la suite de R-modules initiale est exacte.
1

2. Est-ce que la réciproque est vraie ?
Exercice 6. 1. Soit L/K une extension algébrique de corps de caracté-
ristique p > 0, montrer l’équivalence entre :
(a) L/K est purement inséparable (tout élément de L\Kn’est pas
séparable sur K),
(b) pour tout x∈L, il existe n∈Ntel que xpn∈K,
(c) tout x∈Ladmet un polynôme minimal sur Kde la forme Xpn−a.
2. Montrer que si on a une tour d’extensions algébriques M/L/K,M/K
est purement inséparable si et seulement si M/L et L/K le sont.
3 Riemann-Roch
Exercice 7.
Soit C/k une courbe. On dit qu’un diviseur effectif réduit D∈Divk(C)est
irréductible s’il ne s’écrit pas comme une somme non triviale de deux tels
diviseurs.
1. Montrer qu’il y a une bijection naturelle entre diviseurs effectifs irré-
ductibles réduits et idéaux maximaux de k[C].
2. Comment s’interprète le degré du diviseur en termes de l’idéal asso-
cié ?
Exercice 8.
Démontrer le théorème de Riemann-Roch pour C=P1.
Exercice 9.
Démontrer la formule de Hurwitz.
Exercice 10.
Soit C⊂P2une courbe projective lisse définie par l’équation homogène
F(X, Y, Z)=0de degré d. Montrer que le genre de Cest donné par :
gC=(d−1)(d−2)
2.
Exercice 11.
Sans admettre le théorème de Riemann-Roch, montrer que l(D)6deg D+1.
Exercice 12.
Soit Cune courbe projective lisse, montrer l’équivalence entre :
1. C'P1,
2. gC= 0,
3. il existe x6=y∈Ctels que le diviseur (x)−(y)est principal.
2