2.6 Idéaux maximaux Exercice 16 Exercice 17 : Théorème Chinois

2.6 Idéaux maximaux
Définition : un idéal I d’un anneau A est maximal ssi l’anneau quotient A/I est un corps.
On a donc l'implication : I idéal maximal ⇒ I idéal premier.
La proposition suivante donne une caractérisation des idéaux maximaux d’un anneau :
Proposition : Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) I est un idéal maximal de A;
(ii) I ≠ A et si J est un idéal de A distinct de A tel que I ⊂ J, alors J = I (autrement dit I est maximal pour l’inclusion
parmi les idéaux propres de A).
Démonstration :
(i)
⇒
(ii) : soit I un idéal maximal de A; A/I est différent de {0} donc I ≠ A. Soit J un idéal de A distinct de A tel que
I ⊂ J. Si I est distinct de J considérons x
∈
J – I. On a 0≠x donc x est inversible (car A/I est un corps) : il existe
y
∈
A tel que 1=y.x donc il existe z
∈
I tel que x.y = 1 + z soit 1 = x.y – z d’où 1
∈
J et on aurait J = A
contrairement à l’hypothèse. Donc J = I.
(ii)
⇒
(i) : si x appartenant à A/I – { 0} on a x
∉
I. L’idéal I + (x) engendré par I et x contient strictement I donc il
est égal à A par hypothèses. Par conséquent il existe z
∈
I et y
∈
A tels que 1 = z + x.y d’où y.x=1 et x est inversible
dans A/I. Comme A/I est non nul car A ≠ I c’est donc un corps et I est un idéal maximal de A.
Remarque : on peut démontrer le théorème de Krull : tout idéal propre de A est inclus dans un idéal maximal de A (la
démonstration utilise le lemme de Zorn qui équivaut à l’axiome de choix).
Exercice 16
Soit f : A
→
B un homomorphisme d’anneaux et J un idéal maximal de B. Que peut-on dire en général de l’idéal f -1(J)
de A ? Et si on suppose de plus f surjective ?
(pour un contre-exemple considérer l’injection canonique de
z [X] dans r [X] et J = (X)).
Exercice 17 : Théorème Chinois généralisé
1°/ Montrer que si I et J sont deux idéaux de A on a : IJ ⊂ I ∩ J.
2°/ On dit que deux idéaux I et J sont étrangers ssi I + J = A. Montrer que dans ce cas on a : IJ = I ∩ J (On notera que
deux idéaux I et J sont étrangers ssi il existe a
∈
I et b
∈
J tels que a + b = 1).
Montrer que deux idéaux distincts dont l’un est maximal sont étrangers.
3°/ Montrer que si n idéaux sont étrangers deux à deux on a un isomorphisme de A/I1.I2...In = A/I1∩I2∩...∩In dans
A/I1×A/I2×...×A/In (théorème chinois généralisé).
Exercice 18 : anneaux locaux
Un anneau A est local ssi il admet un seul idéal maximal.
Montrer qu’un anneau A est local ssi l’ensemble de ses éléments non inversibles forment un idéal de A.
(Pour la condition nécessaire utiliser le théorème de Krull).