Université Bordeaux 1 Algèbre 4 – Licence 3 Mathématiques Année

Université Bordeaux 1 Algèbre 4 – Licence 3
Mathématiques Année 2013–2014
FEUILLE D’EXERCICES no2
Anneaux, idéaux, anneaux quotients
Important : dans tout ce qui suit, les anneaux considérés sont commutatifs uni-
taires et lorsqu’on parle de morphismes d’anneaux ils sont implicitement unitaires.
Exercice 1 – Soit fun morphisme de l’anneau (R,+,×)dans lui-même.
1) Montrer que pour tout xde Qon a f(x) = x.
2) Montrer que pour tout x>0on a f(x)>0et en déduire que fest croissante.
3) Déterminer f.
Exercice 2 – Soit Aun anneau et N(A)l’ensemble de ses éléments nilpotents.
1) Montrer que N(A)est un idéal de A.
2) Soit Iin idéal de A. On pose
√I=nx∈A;∃n∈N\ {0}, xn∈Io.
Montrer que √Iest un idéal de Acontenant Iet N(A).
3) Soient Iet Jdeux idéaux de A. Montrer :
(i) √A=Aet p{0}=N(A);
(ii) I⊆J⇒√I⊆√J;
(iii) p√I=√I;
(iv) √I∩J=√I∩√J;
(v) √I+√J⊆√I+J=p√I+√J.
Remarque : avant de traiter (iv) et (v) on pourra s’intéresser à la question 1) et
au début de la question 5) de l’Exercice 3.
4) Soit un entier n > 0. Déterminer √nZ(dans l’anneau (Z,+,×)).
Exercice 3 – Soient Aun anneau et Iet Jdeux idéaux de A.
1) On note I+Jl’ensemble des i+j,(i, j)∈I×J.
I+J={i+j; (i, j)∈I×J}.
Montrer que I+Jest le plus petit idéal de Acontenant I∪J.

2) Montrer que
I∪Jest un idéal de A⇔I⊆Jou J⊆I⇔I∪J=I+J.
3) On note IJ l’ensemble des sommes finies de produits ij,(i, j)∈I×J(avec
la convention usuelle qu’une somme vide est nulle).
IJ =n
n
X
k=1
ikjk;n∈N,(ik, jk)∈I×Jo.
Montrer que IJ est le plus petit idéal de Acontenant tous les ij,(i, j)∈I×J.
4) Soient I, J, K des idéaux de A. Montrer que (I+J)K=IK +JK.
5) Montrer que I∩Jest un idéal et que IJ ⊆I∩J.
6) Montrer que si I+J=Aalors IJ =I∩J.
7) Supposons encore que I+J=A. Soient pIet pJles surjections canoniques
de Asur A/I et A/J. Soit f:A−→ A/I ×A/J l’application qui à x∈A
associe (pI(x), pJ(x)). Montrer que fest un morphisme d’anneaux qui induit un
isomorphisme A
IJ 'A I×A J.
8) Ce résultat est une généralisation d’un théorème bien connu. Lequel ? Énoncer
une généralisation au produit de nidéaux (n>2) et la prouver.
Exercice 4 – Soit Aun anneau. Montrer que les trois assertions suivantes sont
équivalentes :
(i) Aest un corps ;
(ii) A6={0}et les seuls idéaux de Asont {0}et A;
(iii) A6={0}et tout morphisme d’anneaux de Adans un anneau non nul est
injectif.
Exercice 5 – Soient A,Bdeux anneaux et fun morphisme d’anneaux surjectif
de Adans B.
1) Soit Iun idéal de A. Montrer que f(I)est un idéal de B.
2) Soit Jun idéal de B. Montrer que f−1(J)est un idéal de A(cette propriété
étant vraie même si fest non surjectif) et que l’on a un isomorphisme d’anneaux
A
f−1(J)'B J.
3) Soient Iun idéal de Aet Jun idéal de B. Comparer f−1(f(I)) et I+ Kerf
ainsi que f(f−1(J)) et J.
4) Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que f−1(f(I)) = I.
5) Montrer qu’il existe une bijection entre l’ensemble des idéaux de Acontenant
Kerfet l’ensemble des idéaux de B.
6) Application : déterminer les idéaux de Z/nZ(n>2).