PROBABILITÉS

Chapitre 13
PROBABILITÉS
I/ Vocabulaire
Définitions :
Un phénomène dont on ne peut pas prévoir de façon certaine le résultat ou
l’issue (mais dont on connait les issues possibles), s’appelle une expérience
aléatoire.
Les résultats ou issues possibles d’une expérience aléatoire sont appelées
éventualités.
Un événement est un ensemble d’éventualités. Quand il n’y a qu’une seule
éventualité on dit qu’il s’agit d’un événement élémentaire.
Deux événements sont dits incompatibles lorsqu’ils ne peuvent pas se
produire en même temps.
Exemple :
« Jeter un dé » est une expérience aléatoire.
Parmi les issues possibles (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6), on ne peut pas savoir de façon
certaine le numéro qui va apparaître.
Les éventualités sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6.
On peut définir l’événement M : « obtenir un multiple de 3 ». Cet
événement est constitué des éventualités 3 et 6.
Les événements M : « obtenir un multiple de 3 » et N : « obtenir un 5 » sont
incompatibles
Définition :
Si A désigne un événement, on appelle « non A » ou Ā (on lit « A barre »)
l’événement contraire de A. C’est-à-dire l’événement qui se réalise lorsque A ne se
réalise pas.
Exemples : Dans un jeu de dé
« obtenir un multiple de 3 » et « ne pas obtenir de multiple de 3 » sont des
événements contraires.
« obtenir un nombre pair » et « obtenir un nombre impair » sont des
événements contraires.
Remarque : Deux événements contraires sont incompatibles.

II/ Probabilité
Définition :
Quand une expérience aléatoire est répétée un très grand nombre de fois, la fréquence
d’un événement se rapproche d’une valeur particulière appelée la probabilité de cet
événement.
Exemple :
En lançant un dé à 8 faces un très grand nombre de fois, la fréquence de
l’événement « obtenir un 6 » se rapproche de 1/8 qui est sa probabilité.
Notation : Soit A un événement, on note p(A) (et on lit : « p de A ») sa probabilité.
Propriétés :
La probabilité d’un événement qui se produit nécessairement (événement
certain) est égale à 1.
La probabilité d’un événement qui ne peut pas se produire (événement
impossible) est égale à 0.
Quel que soit l’événement A, on a : 0 ≤ p(A) ≤ 1.
Exemples : On lance un dé à 6 faces
La probabilité de l’événement « obtenir un nombre inférieur ou égal à 6 » est
égale à 1.
La probabilité de l’événement « obtenir un 7 » est égale à 0.
La probabilité de l’événement « obtenir un 3 » est égale à 1/6.
Propriété : La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités
des éventualités qui le composent.
Conséquence : La somme des probabilités des événements élémentaires est égale à 1.
Exemple : On lance un dé à 6 faces.
Soient : A l’événement élémentaire « obtenir un 1 »
B l’événement élémentaire « obtenir un 2 »
C l’événement élémentaire « obtenir un 3 »
D l’événement élémentaire « obtenir un 4 »
E l’événement élémentaire « obtenir un 5»
F l’événement élémentaire « obtenir un 6 »
M l’événement « obtenir un multiple de 3 »

Chaque face a la même chance d’apparition, donc :
p(A) = p(B) = p(C) = p(D) = p(E) = p(F) = 1
6.
p(M) = p(C) + p(F) p(M) = 1
6 + 1 6 p(M) = 1 3
p(A) + p(B) + p(C) + p(D) + p(E) + p(F) = 1
6 + 1 6 + 1 6 + 1 6 +1 6 + 1 6
p(A) + p(B) + p(C) + p(D) + p(E) + p(F) = 1.
Définition :
Si tous les événements élémentaires ou éventualités d’une expérience aléatoire ont la
même probabilité, on dit que les événements élémentaires sont équiprobables ou qu’il
y a équiprobabilité.
Propriété :
Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement est égale au
quotient : nombre de résultats favorables à l'événement
nombre de résultats possibles
Exemple :
On reprend l’exemple précédent. On remarque qu’il s’agit d’une situation
d’équiprobabilité.
Soit T l’événement « obtenir un nombre inférieur à 5 ».
1 ; 2 ; 3 ou 4 sont les résultats favorables (donc il y en a 4).
Il y a 6 résultats possibles. Donc p(T) = 4
6 soit p(T) = 2 3
Propriété :
Si p est la probabilité d’un événement alors (1- p) est la probabilité de l’événement
contraire. C’est-à-dire que pour tout événement A : p(Ā) = 1 – p(A).
Exemple :
Dans un sac contenant des boules noires et des boules blanches, on prend au hasard
une boule. On sait également que la probabilité d’obtenir une boule noire est 2
5.
Dans ce cas la probabilité d’obtenir une boule blanche (qui est l’événement contraire
d’obtenir une boule noire) est : 1 – 2
5 = 3 5.