I Module et Argument d`un nombre complexe

Chapitre 10 : Les nombres complexes (2ème partie)
TS
I
2012-2013
Module et Argument d’un nombre complexe
M
Tout point M du plan peut être repéré par un couple de coordonnées polaires
(r, θ) (r > 0, θ réel)
r = OM
• r est la distance OM ;
−−→
• θ est une mesure de l’angle (~u, OM ).
Lien entre coordonnées cartésiennes et coordonnées polaires :
(r, θ) est un couple de coordonnées polaires de M et (x, y) les coordonnées
~v
cartésiennes de M :
0
On a : x = rcosθ et y = rsinθ ⇔ r =
I.1
b
θ
~u
p
x
y
x2 + y 2 et cos(θ) = , sin(θ) = .
r
r
Définition :
Définition 1 Soit z un nombre complexe non nul, M le point d’affixe z et (r, θ) un couple de coordonnées polaires
de M . On décide des termes suivants :
• r est le module de z et cela se note r = |z| ;
• θ est un argument de z et cela se note θ =arg(z)[2π] ;
I.2
Propriétés :
• z = x + iy, on a : |z| =
p
x2 + y 2 ou encore |z|2 = x2 + y 2 = zz
−−→
→
• Soit M d’affixe z, arg(z) = (−
u ; OM ) (2π)
• Pour tout réel x, le module de x est la valeur absolue de x et :
∗ si x > 0, arg(x) = 0 (2π) ;
∗ si x < 0, arg(x) = π 2π) ;
π
• z 6= 0, z imaginaire pur ⇔ arg(z) = ± (2π)
2
• |z| = |z| et arg(z) = −arg(z) (2π) ;
• | − z| = |z| et arg(−z) = π+arg(z) (2π) ;
√
Exemple 1 Calculer le module et l’argument de z1 = 1 + i, z2 = 1 + i 3, z3 = −3i et z4 = 2 + 3i
I.3
Forme trigonométrique d’un nombre complexe
Théorème 1 Tout nombre complexe z non nul peut s’écrire sous la forme
z = r(cosθ + isinθ) où r = |z| et θ =arg(z) (2π).
Réciproquement : Si un nombre complexe non nul z s’écrit sous la forme z = r(cosθ + isinθ) avec r > 0 alors
|z| = r et arg(z) = θ (2π).
L’écriture z = r(cosθ + isinθ) s’appelle la forme trigonométrique de z.
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EXERCICE 1
2012-2013
√
1. Quelle est la forme trigonométrique de z1 = −1 + i 3.
π
2. z2 est un nombre complexe de module 3 et d’argument − . Quelle est la forme algébrique de z2 ?
4
3. z3 = −3(cos θ + i sin θ). z3 est-il écrit sous forme trigonométrique ?
Théorème 2 Soit z = r(cosθ + isinθ) et z ′ = r′ (cosθ′ + isinθ′ ) deux nombres complexes. Alors, on a :
• zz ′ = rr′ (cos(θ + θ′ ) + isin(θ + θ′ )) ;
•
r
z
= ′ (cos(θ − θ′ ) + isin(θ − θ′ )) (z ′ 6= 0) ;
′
z
r
Tableau récapitulatif des propriétés vérifiées par module et argument :
Quels que soient les nombres complexes z et z ′ (z ′ 6= 0) :
P roduit
|z × z ′ | = |z| × |z ′ |
arg(zz ′) =arg(z)+arg(z ′) (2π)
P uissance
|z n | = |z|n
1
= 1
z |z|
z
|z|
′ = ′
z
|z |
arg(z n ) = narg(z) (2π)
1
= −arg(z) (2π)
arg
z
z
arg ′ =arg(z)−arg(z ′) (2π)
z
|z| = |z|
arg(z) = −arg(z) (2π)
| − z| = |z|
arg(−z) = π+arg(z) (2π)
Inverse
Quotient
Conjugué
Opposé
Exemple 2 d’utilisation de la forme trigonométrique :
√
1. Calculer (1 + i 3)5 ;
√
− 3+i
.
−1 − i
√
√
3. Déterminer une forme trigonométrique de ( 3 + 3i)(3 − i 3).
2. Déterminer une forme trigonométrique de
EXERCICE 2 On considère le nombre complexe :
z =1−
√
√
3 + i(1 + 3)
1. Écrire z 2 sous forme algébrique.
2. Déterminer le module et un argument de z 2 .
3. Indiquer le signe de la partie réelle de z et celui de la partie imaginaire, puis, à l’aide des propriétés sur module
et arguments, déterminer le module et un argument de z.
7π
π
4. Déduire de ce qui précéde les lignes trigonométriques de
, puis de
.
12
12
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II
2012-2013
Notation Exponentielle
II.1
Notation
Si l’on pose f (θ) = cosθ + isinθ, le théorème 2 prouve que f (θ + θ′ ) = f (θ) × f (θ′ )
De plus si l’on applique la formule de la dérivée d’une somme à la fonction f = cos + isin, on obtient : f ′ (θ) = if (θ),
d’où par analogie avec les relations vérifiées par l’exponentielle, on définit :
Définition : Pour tout réel θ, on pose eiθ = cosθ + isinθ
Conséquences :
• Tout nombre complexe z non nul, de module r et d’argument θ s’écrit z = reiθ : cette écriture est appelée forme
exponentielle de z et réciproquement, de la même manière qu’avec la forme trigonométrique : si z = reiθ et
r > 0, alors |z| = r et arg(z) = θ[2π].
• (important) |eiθ | = 1 et arg(eiθ ) = θ[2π].
• Grâce aux propriétés des formes trigonométriques (th.2.) vues précédemment, l’exponentielle complexe possède
des propriétés qui rappellent celles de l’exponentielle réelle :
′
′
eiθ × eiθ = ei(θ+θ ) ;
eiθ
′
= ei(θ−θ ) ; (eiθ )n = einθ ; eiθ = e−iθ .
eiθ′
EXERCICE 3 :
π
π
Écrire les nombres suivants sous forme algébrique : ei 6 et 4ei 4 .
√
3
1
Donner la forme exponentielle des nombres suivants : 1 ; −1 ; i ; −i ; + i
; 1 + i ; (1 − i)8 .
2
2
II.2
FORMULES de MOIVRE et D’EULER
Théorème 3 Formules de MOIVRE : Pour tout θ et tout entier n :
• (cosθ + isinθ)n = cos(nθ) + isin(nθ) (reformulation de (eiθ )n = einθ )
• (cosθ − isinθ)n = cos(nθ) − isin(nθ) (changement en −θ dans la formule précédente)
Formules d’EULER :
Pour tout réel θ : cosθ =
III
III.1
eiθ + e−iθ
eiθ − e−iθ
et sinθ =
2
2i
Nombres complexes en géométrie
Module et argument de l’affixe d’un vecteur
−→
Soit w
~ un vecteur d’affixe zw~ et A le point tel que OA = w.
~
−
→ = zA − zO = zA car zO = 0,
D’après ce qui précède, zw~ = z−
OA
donc nous avons :
A
b
w
~
r = OA
|zw~ | = |zA | = OA = ||w||
~
−→
arg(zw~ ) = arg(zA ) = (~u, OA) = (~u, w)[2π]
~
0
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θ
~v
~u
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Chapitre 10 : Les nombres complexes (2ème partie)
TS
III.1.1
2012-2013
Module et argument de zB − zA
Théorème 4 A et B sont deux points d’affixes respectives zA et zB dans le plan complexe repéré par (O ; ~u, ~v )
orthonormé. On a :
|zB − zA | = AB
démonstration : ......
Exemple 3 Soit A(1 − 2i), B(3 + 2i) et C(−3). Quelle est la nature du triangle ABC ?
=⇒ Utilisation dans la recherche d’ensemble de points :
• M (z) vérifie |z − z1 | = r (r > 0). On pose ......
• M (z) vérifie |z − z1 | = |z − z2 |. On pose ......
Exemple 4 Quel est l’ensemble des points M (z) qui vérifient |z + 3i| = |z − 1 + i| ?
Théorème 5 A et B sont deux points d’affixes respectives zA et zB dans le plan complexe repéré par (O ; ~u, ~v )
orthonormé direct. On a :
−
−
→
→
arg(zB − zA ) = (−
u ; AB)
démonstration : ......
−→
−
Exemple 5 Soit A(−2 − 2i), B(3 + 3i). Calculer (→
u ; BA).
Remarque 1 Il faudra être vigilant car |zB − zA | = |zA − zB | en effet AB = BA mais arg(zB − zA ) 6=arg(zA − zB ).
A vérifier .......
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III.1.2
Module et argument de
2012-2013
zD −zC
zB −zA
~ ′ des vecteurs non nuls d’affixes respectives zw~ et z ~′ , on a :
Propriété 1 Soit w
~ et w
w
arg
zw̃′
zw̃
= (w̃, w̃′ ) (2π)
démonstration : ......
Propriétés :
Soit w̃ et w̃′ des vecteurs non nuls d’affixes respectives zw~ et zw~′ .
zw̃′
réel ;
zw̃
z ′
• w̃ et w̃′ orthogonaux ⇔ w̃ imaginaire pur .
zw̃
• w̃ et w̃′ colinéaires ⇔
Exemple 6 d’utilisation :
A, B, C et D sont quatre points deux à deux distincts d’affixes respectives zA , zB , zc et zD . Exprimer en fonction d’un angle orienté
zD − zC
zD − zC de vecteurs arg
. Exprimer en fonction de AB et CD.
zB − zA
zB − zA
Propriété 2 En résumé,
zD − zC CD
−−
→ −−→
zD − zC
=
= (AB; CD) (2π)
et
arg
zB − zA AB
zB − zA
zC − zA . . . . . .
zC − zA
=
= ...................... (2π)
et
arg
Remarque 2 En particulier, zB − zA . . . . . .
zB − zA
EXERCICE 4 Reprendre l’exemple 3 et prouver, en utilisant la relation avec les angles orientés de vecteurs que le
triangle ABC est rectangle en A.
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