Diapos chapitre 4 section 1 Fichier

Chapitre 4 : Analyse en repères polaire,
cylindrique et sphérique
Repère d’espace
Coordonnées cylindriques
3 coordonnées (r,q,z)
base
u , u ,u 
r
q
z
vecteur position:
OM  rur  zuz
P2
Chapitre 4 : Analyse en repères polaire,
cylindrique et sphérique
Repère d’espace
Coordonnées sphériques
3 coordonnées (r,q,f)

base u r , uq ,uf

vecteur position:
OM  rur
P2
Chapitre 4 : Analyse en repères polaire,
cylindrique et sphérique
Vecteurs vitesse
Coordonnées cylindriques

dr 
dq  dz 
V M / R0   U  r
 U
U
r
q
dt
dt
dt z
dq 
q 
dt
vitesse angulaire
autour de uz
Coordonnées sphériques

 d 
dr 
dq
V M / R0   U  r
sin U  r
q
dt r
dt
dt U 
!
df 
f
dt
vitesse angulaire
p/r à uz
vitesse relative au référentiel fixe R0 (0, ux, uy, uz)
exprimée dans un repère mobile
P2
Chapitre 4 : Analyse en repères polaire,
cylindrique et sphérique
Vecteurs accélération
Coordonnées cylindriques
 d 2 r  dq 

a M / R0    2  r  
 dt
 dt 

!
2
2
   d 2q


dr
d
q
d
z 

U  2 U
 r
2 
z
U r  dt 2
dt dt  q dt

Accélération relative au référentiel fixe R0 (0, ux, uy, uz)
exprimée dans un repère mobile
P2
Chapitre 4 : Analyse en repères polaire,
cylindrique et sphérique
Vecteurs accélération
Composantes intrinsèques – abscisse curviligne
ds 
V ( M / R0 )  T ( M )
dt
a( M / R0 )  ?
P2
Chapitre 4 : Analyse en repères polaire,
cylindrique et sphérique
Vecteurs accélération
Composantes intrinsèques – abscisse curviligne

ds 
ds 
V M / R0   T M   U q
dt
dt
2


dV
V M  
a  M / R0  
T M  
N M 
dt
r
P2
Chapitre 4 : Analyse en repères polaire,
cylindrique et sphérique
Mouvement de rotation autour d’un axe fixe
Définition de l’axe de rotation
Tous les points appartenant à l’axe


uz ont une vitesse nulle
Le vecteur u z défini un axe de rotation du solide
P2
Chapitre 4 : Analyse en repères polaire,
cylindrique et sphérique
Mouvement de rotation autour d’un axe fixe
Expression du vecteur rotation
Trajectoire de M autour de l’axe
 cercle de rayon HM
Définition de la vitesse angulaire:

dq 
q
dt
Expression du vecteur rotation:


dq 
( S R ) 
u z  q u z
dt

uz
P2
Chapitre 4 : Analyse en repères polaire,
cylindrique et sphérique
P2
Mouvement de rotation autour d’un axe fixe
Expression du vecteur vitesse d’un point d’un solide
Vitesse linéaire de M :
V (M R)  r  q HM


Vecteur vitesse nécessairement perpendiculaire à  et à ur



V (M R)  (S R)  HM  (S R)  OM
Chapitre 4 : Analyse en repères polaire,
cylindrique et sphérique
Mouvement de rotation quelconque
Généralisation de l’expression du vecteur vitesse
Repère R1 en rotation quelconque par
rapport au repère R0.
Solide S associé au repère R1
 d OM

 dt

avec
dq1 / dt

R1 / R0   dq 2 / dt
dq 3 / dt


  ( R1 R0 )  OM

 R0
où qi(t) correspond à la composante de
rotation du solide suivant l’axe i.
P2