Mécanique TD6

Mécanique TD6
Théorème du moment cinétique
Une masselotte assimilable à un point matériel M de masse m est suspendue à un fil inextensible de longueur l.
L’autre extrémité O du fil est un point fixe du référentiel terrestre.
On admet que M a un mouvement circulaire dans le plan Hxy (voir figure).
z
dθ
On considère un mouvement de vitesse angulaire positive : θ& =
>0
dt
O
Le fil forme à tout instant un angle α constant avec la verticale.
α
l
On néglige tout frottement.
ez
1°) Exprimer la position OM de la masselotte en fonction
des constantes l, α et de vecteurs unitaires de la base
g
ez
ey
ex
H
θ
r
cylindrique e r , e θ , e z .
M(m)
2°) Exprimer la vitesse V =
dOM
du point matériel
dt
x
y
eθ
er
Référentiel R
dθ
en fonction de l, α, θ& =
et d’un vecteur unitaire
dt
de la base cylindrique.
3°) En déduire l’expression du moment cinétique L O du
point matériel M par rapport à O. On donnera L O en fonction
dθ
de m, l, α, θ& =
et de vecteurs unitaires de la base cylindrique.
dt
4°) Déterminer l’expression littérale des moments par rapport au point O de chacune des forces agissant sur la
masselotte M.
5°) Appliquer le théorème du moment cinétique.
dθ
Démontrer ainsi que la rotation est forcément uniforme et déterminer la vitesse angulaire de rotation θ& =
. On
dt
donnera θ& en fonction de g, l et α.
6°) En déduire l’expression de la vitesse de rotation V = V en fonction de g, l et α.
7°) Retrouver ces résultats par application du principe fondamental de la dynamique dans la base de projection
cylindrique e r , e θ , e z .