Mécanique TD6

Mécanique TD6 Théorème du moment cinétique
Une masselotte assimilable à un point matériel M de masse m est suspendue à un fil inextensible de longueur l.
L’autre extrémité O du fil est un point fixe du référentiel terrestre.
On admet que M a un mouvement circulaire dans le plan Hxy (voir figure).
On considère un mouvement de vitesse angulaire positive :
dt
dθ
=θ
&
> 0
Le fil forme à tout instant un angle α constant avec la verticale.
On néglige tout frottement.
1°) Exprimer la position OM de la masselotte en fonction
des constantes l, α et de vecteurs unitaires de la base
cylindrique
r
e ,
θ
e ,
z
e .
2°) Exprimer la vitesse
dt
OMd
V= du point matériel
en fonction de l, α,
dt
dθ
=θ
&
et d’un vecteur unitaire
de la base cylindrique.
3°) En déduire l’expression du moment cinétique
O
L du
point matériel M par rapport à O. On donnera
O
L en fonction
de m, l, α,
dt
dθ
=θ
&
et de vecteurs unitaires de la base cylindrique.
4°) Déterminer l’expression littérale des moments par rapport au point O de chacune des forces agissant sur la
masselotte M.
5°) Appliquer le théorème du moment cinétique.
Démontrer ainsi que la rotation est forcément uniforme et déterminer la vitesse angulaire de rotation
dt
dθ
=θ
&
. On
donnera θ
&
en fonction de g, l et α.
6°) En déduire l’expression de la vitesse de rotation V = V en fonction de g, l et α.
7°) Retrouver ces résultats par application du principe fondamental de la dynamique dans la base de projection
cylindrique
r
e ,
θ
e ,
z
e .
g
x
y
z
H
x
e
y
e
z
e
r
e
θ
e
z
e
θ
O
M(m)
r
α
Référentiel R
l